【备考2024】2023年高考数学新高考Ⅱ卷真题变式分层精准练：第16题

试卷更新日期：2023-11-21 类型：二轮复习

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一、原题

1. 已知函数 $f （ x ） = s i n （ ω x + φ ）$ ，如图A，B是直线 $y = \frac{1}{2}$ 与曲线 $y = f （ x ）$ 的两个交点，若 $| A B | = \frac{π}{6}$ ，则 $f （π） =$ .

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二、基础

2. 函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则 $f (π) =$ .

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3. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ)$ 的部分图象如图所示，则 $f (- \frac{π}{4}) =$ .

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4. 函数 $f (x) = s i n (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图像如图所示，则 $f (\frac{5 π}{4}) =$

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5. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， 0 < φ < π)$ 的部分图像如图所示，则 $f (\frac{π}{6}) =$ .

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6. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，若在锐角 $△ A B C$ 中， $f (A) = \frac{1}{2}$ ，则 $A =$ ．

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7. 记函数 $f (x) = c o s (ω x + \frac{π}{3})$ （ $ω > 0$ ）的最小正周期为 $T$ ，且 $y = f (x)$ 的图象关于 $x = \frac{π}{6}$ 对称，当 $ω$ 取最小值时， $f (\frac{T}{2}) =$ .

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8. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， 0 \leq φ < π)$ 的图象如图所示. 则函数 $f (x)$ 的解析式为.

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9. 函数 $y = A s i n (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， 0 < φ < π)$ 在一个周期内的图象如图所示，此函数的解析式为．

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10. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x + φ)$ （ $ω > 0$ ， $| ϕ | < \frac{π}{2}$ ）部分图像如图所示， $ω =$ ．

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11. 已知函数 $f (x) = 2 s i n (ω x + φ) (ω > 0 ， 0 < φ < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则 $ω =$ .

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三、提升

12. 函数 $f (x) = s i n (ω x + φ)$ $(ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则 $f (\frac{5 π}{4}) =$ .

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13. 函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， 0 < φ < π)$ 的部分图象如图中实线所示，图中圆C与 $f (x)$ 的图象交于M、N两点，且M在y轴上，圆的半径为 $\frac{5 π}{12}$ ，则 $f (\frac{π}{6}) =$ ．

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14. 函数 $f (x) = 2 s i n (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图， $A ， B ， C$ 是曲线 $y = f (x)$ 与坐标轴的交点，过点 $C$ 的直线 $y = 1$ 与曲线 $y = f (x)$ 的另一交点为 $D$ ．若 $| C D | = \frac{2 π}{3}$ ，则 $| A B | =$ .

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15. 已知 $f (x) = 2 s i n (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示， $A (\frac{π}{2} ， 1)$ ， $B (\frac{11 π}{8} ， \sqrt{2})$ 为 $y = f (x)$ 的图象上两点，则 $f (2 π) =$ ．

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16. 已知函数 $f (x) = 4 s i n (ω x + φ) s i n (ω x + φ + \frac{π}{2})$ ， $ω > 0$ ， $| ϕ | < \frac{π}{2}$ ，如图是 $y = f (x)$ 的部分图象，则 $f (\frac{π}{4}) =$

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17. 函数 $f (x) = 2 s i n (ω x + φ)$ $(ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则下列关于 $f (x)$ 的结论正确的序号为.
① $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ ；
② $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{6}$ 对称；
③若 $x_{1} ， x_{2} \in (- \frac{π}{6} ， \frac{π}{3})$ 且 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ ，则 $f (x_{1} + x_{2}) = \sqrt{3}$ ；
④ $f (x)$ 的图象向左平移θ（θ＞0）个单位得到 $g (x)$ 的图象，若 $g (x)$ 图象的一个对称中心是 $(\frac{π}{6} ， 0)$ ，则θ的最小值为 $\frac{π}{6}$ .

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18. 如图是函数 $f (x) = K s i n (ω x + φ) (K > 0 ， ω > 0 ， - \frac{π}{2} < φ \frac{π}{2})$ 的部分图象，A是图象的一个最高点，D是图象与y轴的交点，B，C是图象与x轴的交点，且 $D (0 ， - 1)$ ， $△ A B C$ 的面积等于 $\frac{π}{2}$ ．若 $x \in (\frac{π}{12} ， π)$ 时，关于x的方程 $[f (x)]^{2} - (m + 1) f (x) + m = 0$ 恰有3个不同的实数根，则m的取值范围是．

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19. 已知 $f (x) = s i n x + c o s x$ 的图象向右平移 $a (a > 0)$ 个单位后得到 $g (x)$ 的图象，则函数 $g (x)$ 的最大值为；若 $f (x) + g (x)$ 的值域为 ${0}$ ，则a的最小值为．

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20. 已知点 $A (x_{1} ， f (x_{1}))$ 、 $B (x_{2} ， f (x_{2}))$ 是函数 $f (x) = \sqrt{2} s i n (ω x + φ) (ω > 0 ， 0 < φ < \frac{π}{2})$ 图像上的任意两点，且角 $φ$ 的终边经过点 $P (\sqrt{3} ， 1)$ ，若 $| f (x_{1}) - f (x_{2}) | = 2 \sqrt{2}$ ， $| x_{1} - x_{2} |$ 的最小值为 $\frac{π}{3}$ ，则 $f (\frac{π}{6}) =$ .

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21. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示．将函数 $y = f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位，得到 $y = g (x)$ 的图象，则下列有关 $f (x)$ 与 $g (x)$ 的描述正确的有．（填序号）
①方程 $f (x) + g (x) = \sqrt{6} (x \in (0 ， \frac{3 π}{2}))$ 所有根的和为 $\frac{7 π}{12}$ ；
②不等式 $\frac{g (x)}{f (x)} \geq \sqrt{3}$ 的解集为 $[\frac{π}{3} + \frac{k π}{2} ， \frac{5 π}{6} + \frac{k π}{2})$ ， $k \in Z$
③函数 $y = f (x)$ 与函数 $y = g (x)$ 图象关于 $x = \frac{7 π}{24}$ 对称．

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22. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示.将函数 $y = f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位，得到 $y = g (x)$ 的图象，则下列有关 $f (x)$ 与 $g (x)$ 的描述正确的有（填序号）.
① $g (x) = 2 s i n (2 x - \frac{π}{3})$ ；
②方程 $f (x) + g (x) = \sqrt{6} (x \in (0 ， \frac{3 π}{2}))$ 所有根的和为 $\frac{7 π}{12}$ ；
③函数 $y = f (x)$ 与函数 $y = g (x)$ 图象关于 $x = \frac{7 π}{24}$ 对称.

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四、培优

23. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，同时满足 $f (\frac{3 π}{4} - x) = f (x)$ ，若函数 $g (x) = f (x) - 1$ 在区间 $(0 ， λ)$ 上共有8个零点，则这8个零点之和为.

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24. 若函数 $f (x) = s i n (ω x + \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 在 $(- \frac{π}{6} ， \frac{π}{18})$ 上具有单调性，且 $x = \frac{2 π}{9}$ 为 $f (x)$ 的一个零点，则 $f (x)$ 在 $(- \frac{π}{6} ， \frac{π}{18})$ 上单调递（填增或减），函数 $y = f (x) - l g x$ 的零点个数为．

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25. 如图，一台发电机产生的电流是正弦式电流，即电压U（单位：V）和时间t（单位：s）满足 $U = 311 s i n (ω t + φ)$ $(ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ .在一个周期内，电压的绝对值超过 $\frac{311}{2}$ 的时间为.（答案用分数表示）.

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26. 将函数 $f (x) = c o s x$ 图象上各点的横坐标变为原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，然后再向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位得到函数 $y = g (x)$ 的图象，则 $g (x)$ 的解析式为；若方程 $g (x) = \frac{2}{5}$ 在 $x \in (0 ， π)$ 的解为 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ ，则 $c o s (x_{1} - x_{2}) =$ .

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27. 水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征，如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点 $A (1 ， - \sqrt{3})$ 出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时6秒，经过t秒后，水斗旋转到P点，设点P的坐标为 $(x ， y)$ ，其纵坐标满足 $y = f (t) = R s i n (ω t + φ) (t \geq 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ ﹐则 $φ =$ ；当 $t = 5$ 时， $| P A | =$ .

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28. 如图，一半径为4米的水轮，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点P₀)开始计时，当水轮转动90秒时，点P距离水面米．

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29. 智能主动降噪耳机工作的原理是：通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪音，然后通过听感主动降噪芯片生成相等的反向波抵消噪音（如图）.已知某噪音的声波曲线类似于正弦函数 $y = A \sin (ω x + φ)$ （ $A > 0$ ， $0 \leq φ < \frac{π}{2}$ ）或余弦函数 $y = A \cos (ω x + φ)$ （ $A > 0$ ， $0 \leq φ < \frac{π}{2}$ ）图象，其振幅为2，周期为 $2 π$ ，且经过点（ $\frac{π}{6}$ ， $\sqrt{3}$ ），则通过听感主动降噪芯片生成相等的反向波曲线的一个方程为.（写出任意一个即可）

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30. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，设 $g (x) = | f (x) |$ ，给出以下四个结论：
①函数 $g (x)$ 的最小正周期是 $\frac{π}{3}$ ；
②函数 $g (x)$ 在区间 $(\frac{7 π}{18} ， \frac{5 π}{9})$ 上单调递增；
③函数 $g (x)$ 的图象过点 $(0 ， \frac{\sqrt{3}}{2})$ ；
④直线 $x = \frac{13 π}{18}$ 为函数 $g (x)$ 的图象的一条对称轴．
其中所有正确结论的序号是．

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