【备考2024】2023年高考数学新高考Ⅱ卷真题变式分层精准练：第15题

试卷更新日期：2023-11-21 类型：二轮复习

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一、原题

1. 已知直线 $x - m y + 1 = 0$ 与⊙C： $（ x - 1)^{2} + y^{2} = 4$ 交于A，B两点，写出满足“ $△ A B C$ 面积为 $\frac{8}{5}$ ”的 $m$ 的一个值

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二、基础

2. 已知点 $P (4 ， 2)$ 在动直线 $m (x - 2) + n (y + 2) = 0$ 上的射影为点M，若点 $N (5 ， 4)$ ，则 $| M N |$ 的最大值为．

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3. 若方程 $\sqrt{4 - x^{2}} = \sqrt{3} x + b$ 有实数解，则 $b$ 的取值范围是．

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4. 点 $P$ 在圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 上运动，点 $Q$ 在直线 $3 x + 4 y - m = 0$ 上运动，若 $| P Q |$ 的最小值是1，则 $m =$ .

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5. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知圆 $C ： x^{2} + y^{2} - (6 - 2 m) x - 4 m y + 5 m^{2} - 6 m = 0$ ，直线 $l$ 经过点 $(- 1 ， 2)$ ，若对任意的实数 $m$ ，直线 $l$ 被圆 $C$ 截得的弦长都是定值，则直线 $l$ 的方程为.

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6. 点 $P$ 在圆 $C$ ： ${(x - 3)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 4$ 上， $A (2 ， 0)$ ， $B (0 ， 1)$ ，则 $∠ P B A$ 最大时， $| P B | =$ .

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7. 瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在非等边 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，点 $B$ 坐标为 $(- 2 ， 2)$ ，点 $C$ 坐标为 $(3 ， - 1)$ ，且其“欧拉线”与圆 $M ： x^{2} + y^{2} = r^{2} (r > 0)$ 相切，则 $△ A B C$ 的“欧拉线”方程为，圆M的半径 $r =$ ．

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8. 已知 $A (- 2 ， 0) ， B (4 ， 0)$ ，在直线 $l ： 4 x + 3 y + m = 0$ 上存在点P，使 $P A ⊥ P B$ ，则m的最大值是.

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9. 已知圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 4$ （O为坐标原点），直线 $l ： y = k x + \sqrt{3}$ 与圆O相交于A，B，则 $\vec{O A} \cdot \vec{A B}$ 的最大值为.

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10. 已知点 $P$ 是直线 $3 x + 4 y - 2 = 0$ 上的点，点 $Q$ 是圆 $(x + 1)^{2} + (y + 1)^{2} = 1$ 上的点，则 $| P Q |$ 的最小值是.

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11. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的右顶点为 $A$ ，以 $A$ 为圆心， $b$ 为半径作圆 $A$ ，圆 $A$ 与双曲线 $C$ 的一条渐近线交于 $M$ ， $N$ 两点，若 $∠ M A N = 60 °$ ，则 $C$ 的离心率为.

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12. 已知圆 $M$ 的方程为 $x^{2} + y^{2} - 6 x - 8 y = 0$ ，过点 $P (0 ， 4)$ 的直线 $l$ 与圆 $M$ 相交的所有弦中，弦长最短的弦为 $A C$ ，弦长最长的弦为 $B D$ ，则四边形 $A B C D$ 的面积为.

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三、提升

13. 已知圆C₁：x2+y2＝4和圆C₂：（x﹣3）2+（y﹣2）2＝1，则过点 $M (1 ， \frac{7}{4})$ 且与C₁ ， C₂都相切的直线方程为．

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14. 已知直线 $l ： k x - y - k + 1 = 0$ 与圆 $C ： x^{2} + y^{2} - 4 x + 2 y - 4 = 0$ 交于 $A ， B$ 两点，以线段 $A B$ 为直径作圆，该圆的面积的取值范围为.

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15. 写出过点 $(3 \sqrt{3} ， 1)$ ，且与x轴和直线 $y = \sqrt{3} x$ 都相切的一个圆的方程．

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16. 在平面直角坐标系xOy中，已知直线 $l ： y = k (x + 4)$ 和点 $A (- 2 ， 0) ， B (2 ， 0)$ ，动点P满足 $| P A | = \sqrt{2} | P B |$ ，且动点P的轨迹上至少存在两点到直线l的距离等于 $\sqrt{2}$ ，则实数的 $k$ 取值范围是.

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17. 已知平面向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = | \vec{a} + \vec{b} | = 1$ ， $\vec{a} \cdot \vec{b} = - \frac{1}{2}$ ，向量 $\vec{p}$ 满足 $\vec{p} = (2 - λ) \vec{a} + λ \vec{b}$ ，当 $\vec{p}$ 与 $\vec{p} - \vec{a}$ 的夹角余弦值取得最小值时，实数 $λ$ 的值为.

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18. 已知圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 4$ ，直线l过点 $(1 ， 1)$ 且与圆O交于A，B两点，当 $△ A O B$ 面积最大时，直线l的方程为．

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19. 关于 $x$ 的方程 $\sqrt{4 - x^{2}} = k x - 2 k + 3$ 有实数解，则实数 $k$ 的取值范围是.

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20. 已知点 $A$ 为直线 $l : y = 3 x$ 上一点，且 $A$ 位于第一象限，点 $B (10, 0)$ ，以 $A B$ 为直径的圆与 $l$ 交于点 $C$ (异于 $A$ )，若 $∠ C B A \geq 60^{\circ}$ ，则点 $A$ 的横坐标的取值范围为.

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21. 已知圆 $C$ 的方程为 $x^{2} + y^{2} = 2$ ，点 $P$ 是直线 $x - 2 y - 5 = 0$ 上的一个动点，过点作圆 $C$ 的两条切线 $P A$ ､ $P B$ ， $A$ ､ $B$ 为切点，则四边形 $P A C B$ 的面积的最小值为；直线 $A B$ 过定点.

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四、培优

22. 已知点 $P (3 ， 4)$ ，直线 $l$ 与圆： $x^{2} + y^{2} = 25$ 交于 $A B$ 两点，若 $△ P A B$ 为等腰直角三角形，则直线 $l$ 的方程为 $. ($ 写出一条即可 $)$

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23. 从点 $P (2 ， 3)$ 射出两条光线的方程分别为： $l_{1} ： 4 x - 3 y + 1 = 0$ 和 $l_{2} ： 3 x - 4 y + 6 = 0$ ，经 $x$ 轴反射后都与圆 $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = 1$ 相切，则圆的方程为.

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24. 已知直线 $y = - x + 2 m + 4$ 和圆 $x^{2} + y^{2} = m^{2} + 14 m + 3$ 和曲线 $y = \frac{n}{x}$ 都经过同一点 $P$ ，则 $n$ 的取值范围是.

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25. 已知直线l的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 1 + t c o s φ \\ y = 1 + t s i n φ \end{array}$ （t为参数， $0 \leq φ < π$ ），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 $ρ = 4 \sqrt{2} s i n (θ + \frac{π}{4})$ ，若直线l与曲线C相交于M，N两点，且线段MN的中点坐标为 $(1 ， 1)$ ，则直线l的倾斜角为．

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26. 已知以C为圆心的圆 $x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y + 4 = 0$ ．若直线 $2 a x + b y - 2 = 0$ （a，b为正实数）平分圆C，则 $\frac{2}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值是；设点 $M (x_{0} ， 3)$ ，若在圆C上存在点N，使得∠CMN＝45°，则 $x_{0}$ 的取值范围是．

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27. 曲线C上任意一点P到点 $(1 ， 0)$ 的距离比到y轴的距离大1，A，B是曲线C上异于坐标原点O的两点，直线OA，OB的斜率之积为 $- \frac{1}{2}$ ，若直线AB与圆 ${(x - 11)}^{2} + y^{2} = 25$ 交于点E，F，则 $| E F |$ 的最小值是.

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28. 如图，已知圆 $C_{1} ： x^{2} + {(y - s)}^{2} = s^{2} (s > 0)$ 内切于圆 $C_{2} ： x^{2} + {(y - t)}^{2} = t^{2} (t > 0)$ ，直线 $l ： y = k x (k > 0)$ 分别交圆 $C_{1}$ 、 $C_{2}$ 于 $A$ 、 $B$ 两点（ $A$ 、 $B$ 在第一象限内），过点 $A$ 作 $x$ 轴的平行线交圆 $C_{2}$ 于 $M$ 、 $N$ 两点，若点 $A$ 既是线段 $O B$ 的中点，又是线段 $M N$ 的三等分点，那么 $k$ 的值为.

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29. 点 $P$ 在直径为 $A B = 1$ 的半圆上移动，过点 $P$ 作圆的切线 $P T$ ，且 $P T = 1$ ， $∠ P A B = ∠ T P B = α$ ，当四边形 $A B T P$ 的面积最大时， $α =$ .

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30. 已知直线 $l$ 经过抛物线 $C ： y = \frac{x^{2}}{8}$ 的焦点，与抛物线交于 $A ， B$ ，且 $x_{A} + x_{B} = 8$ ，点D是弧 $\overset{⌢}{A O B}$ （ $O$ 为原点）上一动点，以D为圆心的圆与直线 $l$ 相切，当圆D的面积最大时，圆D的标准方程为.

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