【备考2024】2023年高考数学新高考Ⅱ卷真题变式分层精准练：第18题

试卷更新日期：2023-11-21 类型：二轮复习

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一、原题

1. 已知 ${a_{n}}$ 为等差数列， $b_{n} = {\begin{cases} a_{n} - 6 ， n 为奇数 \\ 2 a_{n} ， n 为偶数 \end{cases}$ ，记 $S_{n}$ ， $T_{n}$ 为 ${a_{n}}$ ${b_{n}}$ 的前n项和， $S_{4} = 32$ ， $T_{3} = 16$

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式.

(2)、证明：当n>5时， $T_{n}$ > $S_{n}$ .

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二、基础

2. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 1} + a_{n} = 4 n + 2$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若数列 ${b_{n} - a_{n}}$ 是公比为3的等比数列，且 $b_{1} = 3$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和Sn ，

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3. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1} + a_{4} = 14 ， S_{5} = 45$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}} ， T_{n}$ 为数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和，证明： $T_{n} < \frac{1}{4}$ ．

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4. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $2 a_{2} - a_{3} = 2$ ， $S_{5} = 30$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = \frac{1}{(n + 1) a_{n}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

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5. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{4} = 7$ ， $a_{3} + 2 a_{8} = 35$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $3 b_{n} - 2 S_{n} = 1$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $c_{n} = \frac{a_{n}}{b_{n}}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ .

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6. 已知递增等差数列 ${a_{n}}$ 等比数列 ${b_{n}}$ ，数列 ${c_{n}}$ ， $a_{1} = c_{1} = 1$ ， $c_{4} = 9$ ， $a_{1}$ 、 $a_{2}$ 、 $a_{5}$ 成等比数列， $b_{n} = a_{n} + c_{n}$ ， $n \in N^{*}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 、 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${c_{n}}$ 的前n项和 $S_{n}$ .

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7. 设Sₙ是公差不为0的等差数列{aₙ}的前n项和，已知 $\frac{1}{3} S_{3}$ 与 $\frac{1}{4} S_{4}$ 的等比中项为 $\frac{1}{5} S_{5} ，$ 且 $\frac{1}{3} S_{3}$ 与 $\frac{1}{4} S_{4}$ 的等差中项为 $- \frac{5}{4} .$

(1)、求数列{aₙ}的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} \cdot a_{n + 1}} ，$ 求数列{bₙ}的前n项和Tₙ.

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8. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 3$ ， $a_{n + 1} = \frac{6 a_{n} - 4}{a_{n} + 2} (n \in N^{*})$ ．

(1)、求证：数列 ${\frac{1}{a_{n} - 2}}$ 是等差数列；

(2)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式．

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9. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 0$ ，且有 $\frac{a_{n + 1} + 2}{2} = a_{n} + n$ ．

(1)、证明：数列 ${a_{n} + 2 n}$ 是等比数列；

(2)、求数列 ${\frac{n}{a_{n} + 2 n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．

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10. 等比数列 ${a_{n}}$ 的公比为2，且 $a_{2} ， a_{3} + 2 ， a_{4}$ 成等差数列.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = l o g_{2} a_{n} + a_{n}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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三、提升

11. 已知数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，满足 $2 S_{n} = 3 (b_{n} - 1)$ ，等差数列 ${c_{n}}$ 中 $， c_{1} = 5 ， c_{1} + c_{2} + c_{3} = 27$ .

(1)、求 ${b_{n}}$ 和 ${c_{n}}$ 的通项公式；

(2)、数列 ${b_{n}}$ 与 ${c_{n}}$ 的共同项由小到大排列组成新数列 ${a_{n}}$ ，求数列 ${a_{n}}$ 的前20的积 $T_{20}$ .

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12. 在等比数列 ${a_{n}}$ 和等差数列 ${b_{n}}$ 中， $a_{1} = 2 b_{1} = 2$ ， $a_{2} = 2 b_{2}$ ， $a_{3} = 2 b_{3} + 2$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、令 $c_{n} = \frac{b_{n}^{2}}{a_{n}}$ ， $n \in N^{*}$ ，记数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项积为 $T_{n}$ ，证明： $T_{n} \leq \frac{9}{16}$ ．

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13. 已知数列{aₙ}中，a₂=1，设Sn为{aₙ}前n项和， $2 S_{n} = n a_{n} .$

(1)、求{aₙ}的通项公式；

(2)、求数列 ${\frac{a_{n} + 1}{2^{n}}}$ 的前n项和Tₙ.

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14. 已知各项为正的数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，满足 $S_{n} = \frac{1}{4} {(a_{n} + 1)}^{2}$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = \frac{a_{n + 1}}{2^{n}}$ ，求 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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15. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1} = 3$ ， $S_{n} = a_{n} + n^{2} - 1$ ．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = \frac{1}{a_{n}}$ ， $T_{n} = b_{1} b_{2} + b_{2} b_{3} + \dots + b_{n} b_{n + 1}$ ，求 $T_{n}$ ．

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16. 已知 ${(\frac{1}{4} + x)}^{6} = \sum_{i = 0}^{6} a_{i} x^{i}$ .

(1)、无穷等比数列 ${b_{n}}$ 的首项 $b_{1} = a_{3}$ ，公比 $q = a_{4}$ .求 $\sum_{i = 1}^{+ \infty} b_{i}$ 的值.

(2)、无穷等差数列 ${c_{n}}$ 的首项 $c_{1} = a_{5}$ ，公差 $d = a_{6}$ .求 ${c_{n}}$ 的通项公式和它的前10项和 $C_{10}$ .

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17. 已知数列 ${a_{n}}$ 是正项等比数列，且 $a_{4} - a_{1} = 7$ ， $a_{2} a_{3} = 8$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = (2 n - 1) a_{n}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $S_{n}$ .

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18. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的各项均为正数，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $3 a_{1}$ ， $a_{3}$ ， $5 a_{2}$ 成等差数列， $S_{4} + 5 = 5 a_{3}$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = a_{n} \cdot l o g_{3} a_{n + 1}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 各项都不为0，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $3 a_{n} - 2 = S_{n}$ ，数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{1} = - 1 ， b_{n + 1} = b_{n} + n$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、令 $c_{n} = \frac{2 a_{n} b_{n}}{n + 1}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ .

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20. 设 ${a_{n}}$ 是首项为1，公差不为0的等差数列，且 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{6}$ 成等比数列.

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、令 $b_{n} = (- 1)^{n} a_{n}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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21. 已知数列 ${a_{n}}$ 是等差数列， ${b_{n}}$ 是各项均为正数的等比数列，数列 ${b_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1} = b_{1} = 1$ ， $a_{2} = b_{2} + 1$ ， $a_{4} = S_{3}$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、令 $c_{n} = {\begin{array}{l} a_{n} ， n = 2 k - 1 \\ b_{n} ， n = 2 k \end{array} (k \in N^{*})$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前12项和 $T_{12}$ ．

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四、培优

22. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 2$ ， $a_{n + 1} = {\begin{array}{l} a_{n} + 1 ， n 为奇数 \\ 2 a_{n} ， n 为偶数 \end{array}$

(1)、记 $b_{n} = a_{2 n} + 1$ ，求证： ${b_{n}}$ 为等比数列；

(2)、设数列 ${c_{n}}$ 满足： $c_{1} = \frac{3}{2}$ ， $c_{n + 1} = c_{n} - \frac{l o g_{2} (a_{2 n - 1} + 2)}{b_{n}} (n \in N^{*})$ ，若不等式 $λ + \frac{3 n + 13}{2^{n}} \geq 4 c_{n} (n \in N^{*})$ 恒成立，求实数 $λ$ 的取值范围.

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23. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = \frac{2}{3}$ ，且 $a_{n + 1} = \frac{2 a_{n}}{a_{n} + 1}$ .

(1)、求证：数列 ${\frac{1}{a_{n}} - 1}$ 是等比数列；

(2)、若 $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \frac{1}{a_{3}} + ⋯ + \frac{1}{a_{n}} < 100$ ，求满足条件的最大整数n.

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24. 已知数列 ${a_{n}}$ 成等比数列， $S_{n}$ 是其前 $n$ 项的和，若 $S_{k + 1} ， S_{k + 3} ， S_{k + 2} (k \in N^{*})$ 成等差数列.

(1)、证明： $a_{k + 1} ， a_{k + 3} ， a_{k + 2}$ 成等差数列；

(2)、比较 $S_{k + 1}^{2} + S_{k + 2}^{2}$ 与 $2 S_{k + 3}^{2}$ 的大小.

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25. 已知函数 $f (x) = x + \frac{1}{2} ， S_{n} = f (\frac{1}{n}) + f (\frac{2}{n}) + ⋯ + f (\frac{n - 2}{n}) + f (\frac{n - 1}{n})$ ，其中 $n \in N^{*}$ ，且 $n \geq 2$ ．

(1)、当 $n \geq 2$ 时，求 $S_{n}$ ；

(2)、设 $a_{1} = \frac{1}{2} ， a_{n} = \frac{1}{(S_{n} + 1) (S_{n + 1} + 1)} (n \in N^{*} ， n \geq 2)$ ，记数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求使得 $T_{n} < \frac{m}{2}$ 恒成立的 $m$ 的最小正整数．

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26. 在数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = \frac{1}{2}$ ， $a_{n + 1} = \frac{n a_{n}}{(n + 1) (n a_{n} + 1)} (n \in N^{*})$ ， ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项为 $S_{n}$ ．

(1)、求证： ${\frac{1}{n a_{n}}}$ 为等差数列，并求 ${a_{n}}$ 的通项公式 $；$

(2)、当 $n \geq 2$ 时， $16 a_{n} + \frac{1}{a_{n - 1}} \geq λ S_{n}$ 恒成立，求 $λ$ 的取值范围．

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27. 设正项等比数列 ${a_{n}}$ 的公比为 $q$ ，且 $q \neq 1$ ， $q \in N *$ .令 $b_{n} = \frac{n^{2} + n}{l o g_{q} a_{n}}$ ，记 $T_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项积， $S_{n}$ 为数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和.

(1)、若 $4 a_{2} = a_{1} a_{3}$ ， $S_{2} + T_{3} = 67$ ，求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 ${b_{n}}$ 为等差数列，且 $S_{99} - l o g_{2} T_{99} = 99$ ，求 $q$ .

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28. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} > 0 ， a_{n + 1} = {\begin{array}{l} l o g_{2} a_{n} ， n 为奇数， \\ 2^{a_{n} + 2} ， n 为偶数 . \end{array}$

(1)、判断数列 ${a_{2 n - 1}}$ 是否是等比数列？若是，给出证明；否则，请说明理由；

(2)、若数列 ${a_{n}}$ 的前10项和为361，记 $b_{n} = \frac{1}{(l o g_{2} a_{2 n + 1}) \cdot a_{2 n + 2}}$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求证： $T_{n} < \frac{7}{16}$ .

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29. 记数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足 $a_{1} = 1 ， 2 S_{n} - a_{n} = n^{2} .$

(1)、求数列 $a_{n}$ 的通项公式

(2)、数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = \frac{1}{a_{n}}$ ，证明对任意 $n \in N^{*}$ ， $l n (n + 1) + \frac{n}{2 (n + 1)} < b_{1} + b_{2} + b_{3} + \dots + b_{n} \leq l n (n) + 1$

(3)、某铁道线上共有 $84$ 列列车运行，且每次乘坐到任意一列列车的概率相等，设随机变量 $X$ 为恰好乘坐一次全部列车所乘坐的次数，试估算 $\frac{E (X)}{84}$ 的值（结果保留整数）
参考数据： $l n 2 \approx 0.6931$ ， $l n 3 \approx 1.0986$ ， $l n 7 \approx 1.9459$

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30. 已知数列 ${a_{n}}$ 中， $S_{n}$ 是其前 $n$ 项的和， $5 S_{2} = 11 S_{1}$ ， $\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = 2 - a_{n + 1}$ .

(1)、求 $a_{1}$ ， $a_{2}$ 的值，并证明 ${\frac{1}{a_{n}} - 1}$ 是等比数列；

(2)、证明： $n - 1 + \frac{1}{2^{n}} < S_{n} < n - \frac{1}{2} + \frac{1}{2^{n + 1}}$ .

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