【北师大版·数学】2024年中考一轮复习之解直角三角形的应用-仰角俯角问题

试卷更新日期：2023-11-20 类型：一轮复习

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一、选择题

1. 如图，从热气球A看一栋楼底部C的俯角是（）

A、 $∠ B A D$ B、 $∠ A C B$ C、 $∠ B A C$ D、 $∠ D A C$

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2. 如图，在教室前面墙壁 A 处安装了一个摄像头，当恰好观测到后面墙壁与底面交接处点 C 时，摄像头俯角约为 17°，受安装支架限制，摄像头观测的俯角最大约为 54° ，已知教室的长 (教室前后墙壁之间的距离 BC 的值) 是 9米，若摄像头与安装的墙壁之间距离忽略不计，则摄像头安装点高度 AB 约为（）米.(sin17° ≈ 0.29，tan17° ≈ 0.30，sin54° ≈ 0.8 ，tan54° ≈ 1.33，精确到 0.1 米) .

A、2 B、2.7 C、3 D、3.2

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3. 某中学九年级数学兴趣小组的同学准备测量校内旗杆 $A B$ 的高度，他们在 $C$ 点测得旗杆顶端 $A$ 的仰角 $∠ B C A = 30 °$ ，向前走了30米到达 $D$ 点，在 $D$ 点测得旗杆顶端A的仰角 $∠ B D A = 60 °$ ，则旗杆 $A B$ 的高为多少米？（）

A、15米 B、 $15 \sqrt{3}$ 米 C、 $15 \sqrt{2}$ 米 D、 $15 \sqrt{5}$ 米

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4. 如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道（点A，B在同一水平面上）.为了测量A，B两地之间的距离，一架直升飞机从A地出发，垂直上升600米到达C处，在C处观察B地的俯角为α，则A，B两地之间的距离为（）

A、600sinα米 B、600tanα米 C、 $\frac{600}{s i n α}$ 米 D、 $\frac{600}{t a n α}$ 米

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5. 小致利用测角仪和皮尺测量学校旗杆的高度，如图，小致在 $D$ 处测得顶端 $P$ 的仰角∠ $P D C$ ＝ $α$ ， $D$ 到旗杆的距离 $C D$ ＝5米，测角仪 $B D$ 的高度为1米，则旗杆 $P A$ 的高度表示为（）.

A、5 $tan α$ ＋1 B、5 $sin α$ ＋1 C、5 $cos α$ ＋1 D、 $\frac{5}{tan α}$ ＋1

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6. 如图，从航拍无人机 $A$ 看一栋楼顶部 $B$ 的仰角 $α$ 为 $30 °$ ，看这栋楼底部 $C$ 的俯角 $β$ 为 $60 °$ ，无人机与楼的水平距离为 $120 m$ ，则这栋楼的高度为（）

A、 $140 \sqrt{3} m$ B、 $160 \sqrt{3} m$ C、 $180 \sqrt{3} m$ D、 $200 \sqrt{3} m$

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7. 日照灯塔是日照海滨港口城市的标志性建筑之一，主要为日照近海及进出日照港的船舶提供导航服务．数学小组的同学要测量灯塔的高度，如图所示，在点B处测得灯塔最高点A的仰角 $∠ A B D = 45 °$ ，再沿 $B D$ 方向前进至C处测得最高点A的仰角 $∠ A C D = 60 °$ ， $B C = 15.3 m$ ，则灯塔的高度 $A D$ 大约是（）（结果精确到 $1 m$ ，参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.41$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73$ ）

A、 $31 m$ B、 $36 m$ C、 $42 m$ D、 $53 m$

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8. “儿童放学归来早，忙趁东风放纸鸢”，小明周末在龙潭公园草坪上放风筝，已知风筝拉线长100米且拉线与地面夹角为 $65 °$ （如图所示，假设拉线是直的，小明身高忽略不计），则风筝离地面的高度可以表示为（）

A、 $100 s i n 65 °$ B、 $100 c o s 65 °$ C、 $100 t a n 65 °$ D、 $\frac{100}{s i n 65 °}$

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9. 如图2，在两建筑物之间有一旗杆，高15米，从点A经过旗杆顶点恰好可观测到矮建筑物的最底端点C处，从点A测得点C的俯角α为60°，测得点D的俯角β为30°，若旗杆底部G为BC的中点，则，矮建筑物的高CD为（）

A、18米 B、20米 C、10 $\sqrt{3}$ 米 D、(45-15 $\sqrt{3}$ )米

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10. 如图，某数学活动小组要测量校园内旗杆 $A B$ 的高度，点B、C在同一条水平线上，测角仪在D处测得旗杆最高点A的仰角为 $α$ ．若测角仪 $C D = a$ ， $B C = b$ ，则旗杆 $A B$ 的高度为（）

A、 $a + b c o s α$ B、 $a + \frac{b}{c o s α}$ C、 $a + b t a n α$ D、 $a + \frac{b}{t a n α}$

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二、填空题

11. 如图，某飞机在离地面垂直距离 $1000$ 米的上空 $A$ 处，测得地面控制点 $B$ 的俯角为 $60 °$ ，那么飞机与该地面控制点之间的距离 $A B$ 等于米 $($ 结果保留根号 $)$ ．

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12. 如图，某飞机于空中 $A$ 处探测到某地面目标在点 $B$ 处，此时飞行高度 $A C = 1200$ 米，从飞机上看到点 $B$ 的俯角为 $37 °$ ，飞机保持飞行高度不变，且与地面目标分别在两条平行直线上同向运动 $.$ 当飞机飞行 $943$ 米到达点 $D$ 时，地面目标此时运动到点 $E$ 处，从点 $E$ 看到点 $D$ 的仰角为 $47.4 °$ ，则地面目标运动的距离 $B E$ 约为米 $. ($ 参考数据： $t a n 37 ° \approx \frac{3}{4}$ ， $t a n 47.4 ° \approx \frac{10}{9})$

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13. 在一次综合实践活动中，某学校数学兴趣小组对一电视发射塔的高度进行了测量．如图，在塔前C处，测得该塔顶端B的仰角为 $50 °$ ，后退 $60 m$ （ $C D = 60 m$ ）到D处有一平台，在高 $2 m$ （ $D E = 2 m$ ）的平台上的E处，测得B的仰角为 $26.6 °$ ．则该电视发射塔的高度 $A B$ 为 $m$ ．（精确到 $1 m$ ．参考数据： $t a n 50 ° \approx 1.2 ， t a n 26.6 ° \approx 0.5$ ）

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14. 综合实践课上，航模小组用航拍无人机进行测高实践．如图，无人机从地面 $C D$ 的中点A处竖直上升30米到达B处，测得博雅楼顶部E的俯角为 $45 °$ ，尚美楼顶部F的俯角为 $30 °$ ，已知博雅楼高度 $C E$ 为15米，则尚美楼高度 $D F$ 为米．（结果保留根号）

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15. 如图，无人机在空中A处测得某校旗杆顶部B的仰角为30^o ，底部C的俯角为60^o ，无人机与旗杆的水平距离AD为6m，则该校的旗杆高约为m．（ $\sqrt{3} \approx 1.73$ ，结果精确到0.1）

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三、解答题

16. 如图，在一个坡度 $($ 或坡比 $) i = 1$ ： $2.4$ 的山坡 $A B$ 上发现有一棵古树 $C D .$ 测得古树底端 $C$ 到山脚点 $A$ 的距离 $A C = 26$ 米，在距山脚点 $A$ 水平距离 $6$ 米的点 $E$ 处，测得古树顶端 $D$ 的仰角 $∠ A E D = 48 ° ($ 古树 $C D$ 与山坡 $A B$ 的截面、点 $E$ 在同一平面上，古树 $C D$ 与直线 $A E$ 垂直 $)$ ，求古树 $C D$ 的高度 $. ($ 参考数据： $s i n 48 ° \approx 0.74$ ， $c o s 48 ° \approx 0.67$ ， $t a n 48 ° \approx 1.11)$

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17. 某校学生开展综合实践活动，测量某小区公园内路灯 $M N$ 的高度 $.$ 如图，已知观测点 $A$ ， $B$ 与路灯底端 $N$ 位于同一直线的水平线上，在点 $A$ 处测得路灯 $M N$ 顶端 $M$ 的仰角为 $33 °$ ，在点 $B$ 处测得路灯 $M N$ 顶端 $M$ 的仰角为 $58 °$ ，两个观测点 $A$ ， $B$ 相距 $3.8 m$ ，求路灯 $M N$ 的高度 $($ 结果精确到 $0.1)$ ．
参考数据： $t a n 33 ° \approx 0.65$ ， $t a n 58 ° \approx 1.60$

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18. 某校数学社团开展“探索生活中的数学”研学活动，准备测量一栋大楼 $B C$ 的高度．如图所示，其中观景平台斜坡 $D E$ 的长是 $20$ 米，坡角为 $37 °$ ，斜坡 $D E$ 底部 $D$ 与大楼底端 $C$ 的距离 $C D$ 为 $74$ 米，与地面 $C D$ 垂直的路灯 $A E$ 的高度是 $3$ 米，从楼顶 $B$ 测得路灯 $A E$ 顶端 $A$ 处的俯角是 $42.6 ° .$ 试求大楼 $B C$ 的高度．
$($ 参考数据： $s i n 37 ° \approx \frac{3}{5}$ ， $c o s 37 ° \approx \frac{4}{5}$ ， $t a n 37 ° \approx \frac{3}{4}$ ， $s i n 42.6 ° \approx \frac{17}{25}$ ， $c o s 42.6 ° \approx \frac{34}{45}$ ，
$t a n 42.6 ° \approx \frac{9}{10})$

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四、综合题

19. 如图1所示是一种太阳能路灯，它由灯杆和灯管支架两部分构成如图2， $A B$ 是灯杆， $C D$ 是灯管支架，灯管支架 $C D$ 与灯杆间的夹角 $∠ B D C = 60 °$ .综合实践小组的同学想知道灯管支架 $C D$ 的长度，他们在地面的点E处测得灯管支架底部D的仰角为60°，在点F处测得灯管支架顶部C的仰角为30°，测得 $A E = 3$ m， $E F = 8$ m（A，E，F在同一条直线上）.根据以上数据，解答下列问题：

(1)、求灯管支架底部距地面高度 $A D$ 的长（结果保留根号）；

(2)、求灯管支架 $C D$ 的长度（结果精确到0.1m，参考数据： $\sqrt{3} \approx 1.73$ ）.

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20. 小亮利用所学的知识对大厦的高度 $C D$ 进行测量，他在自家楼顶B处测得大厦底部的俯角是 $30 °$ ，测得大厦顶部的仰角是 $37 °$ ，已知他家楼顶B处距地面的高度 $B A$ 为40米（图中点A ， B ， C ， D均在同一平面内）．

(1)、求两楼之间的距离 $A C$ （结果保留根号）；

(2)、求大厦的高度 $C D$ （结果取整数）．
（参考数据： $s i n 37 ° \approx 0.60$ ， $c o s 37 ° \approx 0.80$ ， $t a n 37 ° \approx 0.75$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73$ ）

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21. $2023$ 年 $5$ 月 $30$ 日 $9$ 点 $31$ 分，“神舟十六号”载人飞船在中国酒泉卫星发射中心点火发射，成功把景海鹏、桂海潮、朱杨柱三名航天员送入到中国空间站．如图，在发射的过程中，飞船从地面 $O$ 处发射，当飞船到达 $A$ 点时，从位于地面 $C$ 处的雷达站测得 $A C$ 的距离是 $8 k m$ ，仰角为 $30 °$ ； $10 s$ 后飞船到达 $B$ 处，此时测得仰角为 $45 °$ ．

(1)、求点 $A$ 离地面的高度 $A O$ ；

(2)、求飞船从 $A$ 处到 $B$ 处的平均速度．(结果精确到 $0.1 k m / s$ ，参考数据： $\sqrt{3}$ $\approx 1.73$ )

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