【北师大版·数学】2024年中考一轮复习之矩形的判定与性质

试卷更新日期：2023-11-20 类型：一轮复习

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一、选择题

1. 下列说法错误的是（）

A、矩形的对角线相等 B、正方形的对称轴有四条 C、平行四边形既是中心对称图形又是轴对称图形 D、菱形的对角线互相垂直且平分

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2. 下列说法中正确的是（）

A、有两个角为直角的四边形是矩形 B、矩形的对角线互相垂直 C、平行四边形的对角线互相平分 D、对角线互相垂直的四边形是菱形

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3. 如图，直线 $y = x + 1$ 、 $y = x - 1$ 与双曲线 $y = \frac{k}{x} (k > 0)$ 分别相交于点 $A 、 B 、 C 、 D$ ．若四边形 $A B C D$ 的面积为4，则 $k$ 的值是（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、1

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4. 如图，在平面直角坐标中，矩形 $A B C D$ 的边 $A D = 5 ， O A ： O D = 1 ： 4$ ，将矩形 $A B C D$ 沿直线 $O E$ 折叠到如图所示的位置，线段 $O D_{1}$ 恰好经过点 $B$ ，点 $C$ 落在 $y$ 轴的点 $C_{1}$ 位置，点 $E$ 的坐标是（）

A、 $(1 ， 2)$ B、 $(- 1 ， 2)$ C、 $(\sqrt{5} - 1 ， 2)$ D、 $(1 - \sqrt{5} ， 2)$

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5. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = 10 ， B C = 6 ， A C = 8$ ，点P为线段 $A B$ 上的动点，以每秒1个单位长度的速度从点A向点B移动，到达点B时停止．过点P作 $P M ⊥ A C$ 于点M、作 $P N ⊥ B C$ 于点N，连接 $M N$ ，线段 $M N$ 的长度y与点P的运动时间t（秒）的函数关系如图所示，则函数图象最低点E的坐标为（）

A、 $(5 ， 5)$ B、 $(6 ， \frac{24}{5})$ C、 $(\frac{32}{5} ， \frac{24}{5})$ D、 $(\frac{32}{5} ， 5)$

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6. 如图，以钝角三角形ABC最长边BC为边向外作矩形 $B C D E$ ，连结 $A E ， A D$ ，设 $△ A E D$ ， $△ A B E$ ， $△ A C D$ 的面积分别为 $S ， S_{1} ， S_{2}$ ，若要求出 $S - S_{1} - S_{2}$ 的值，只需知道（）

A、 $△ A B E$ 的面积 B、 $△ A C D$ 的面积 C、 $△ A B C$ 的面积 D、矩形 $B C D E$ 的面积

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7. 如图， $E$ ， $F$ 为矩形 $A B C D$ 内两点， $A E ⊥ E F$ ， $C F$ 垂直 $E F$ ，垂足分别为 $E$ 、 $F$ ，若 $A E = 1$ ， $C F = 2$ ， $E F = 4$ ，则 $B D =$ （）

A、 $\frac{10}{3}$ B、5 C、 $\frac{5}{3}$ D、6

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8. 如图，正六边形 $A B C D E F$ ， P点在 $E F$ 上，记图中的面积为 $S_{1} ， S_{2} ， S_{3} ， S_{4} ， S_{5} ， S_{6}$ ，已知正六边形边长，下列式子中不能确定的式子的是（）

A、 $S_{3} + S_{6}$ B、 $S_{4} + S_{5}$ C、 $S_{5} + S_{6}$ D、 $S_{1} + S_{3} + S_{5}$

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9. 如图，矩形 $A B C D$ 的对角线 $A C ， B D$ 相交于点O， $A B = 6 ， B C = 9$ ，分别过点D，点C作 $A C ， B D$ 的平行线，两线相交于点E，连接 $B E$ 交 $A C$ 于点F，则 $A F$ 的值是（）

A、7 B、 $\frac{9}{4} \sqrt{13}$ C、8 D、 $\frac{7}{2} \sqrt{13}$

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10. 我们知道订书针的两条短边垂直长边.如图是由三枚完全相同的订书针ABCD，EFGH，IJKL拼成的图形，点B，E，C，F在同一条直线上，点D，K，L分别在JK，GF，HG上， 4B=CD=EF=GH=IJ=LK=1， BC=FG=JK=2.当点4， I重合时， HL的长度为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{2}{5}$

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二、填空题

11. 如图是一个圆形餐盘的正面及其固定支架的截面图，凹槽ABCD是矩形.当䝳盘正立且紧靠支架于点A，D时，恰好与BC边相切，则此餐盘的半径等于 $c m$ .

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12. 如图，点A，B在 $x$ 轴上，分别以OA，AB为边，在 $x$ 轴上方作正方形OACD，ABEF.反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0)$ 的图象分别交边CD，BE于点P，Q.作 $P M ⊥ x$ 轴于点 $M ， Q N ⊥ y$ 轴于点 $N$ .若 $O A = 2 A B ， Q$ 为BE的中点，且阴影部分面积等于6，则 $k$ 的值为.

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13. 如图，将 $45 °$ 的 $∠ A O B$ 按下面的方式放置在一把刻度尺上：顶点O与尺下沿的端点重合， $O A$ 与尺下沿重合， $O B$ 与尺上沿的交点B在尺上的读数恰为 $2 c m$ ，若按相同的方式将 $22.5 °$ 的 $∠ A O C$ 放置在该刻度尺上，则 $O C$ 与尺上沿的交点C在尺上的读数为 $c m$ ．

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14. 如图，已知 $A$ 是反比例函数 $y = \frac{1}{x} (x > 0)$ 图象上的一点，过点 $A$ 作 $A B / / x$ 轴交 $y = - \frac{4}{x}$ 的图象于点 $B .$ 以 $O B$ ， $B A$ 为边作▱ $O B A C$ ，连结 $B C$ 交 $y$ 轴于点 $D$ ，则 $S_{△ C O D} =$ ．

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15. 如图，将 $45 °$ 的∠AOB按图摆放在一把刻度尺上，顶点O与尺下沿的端点重合，OA与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点B在尺上的读数为2cm，若按相同的方式将 $37 °$ 的∠AOC放置在该尺上，则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数约为cm
（结果精确到0.1cm，参考数据： $s i n 37 ° \approx 0.60$ ， $c o s 37 ° \approx 0.80$ ， $t a n 37 ° \approx 0.75$ ）

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三、作图题

16. 已知：如图 $1$ ，线段 $a$ ， $b$ ．
求作：矩形 $A B C D$ ，使得 $A B = a$ ， $B C = b$ ．

作法：如图 $2$ ．
$①$ 在直线 $l$ 上截取 $A B = a$ ．
$②$ 过点 $B$ 作直线 $m ⊥ l$ ，在直线 $m$ 上截取 $B C = b$ ．
$③$ 分别以点 $A$ 和点 $C$ 为圆心， $b$ ， $a$ 的长为半径画弧，两弧的交点为 $D$ ．
$($ 点 $D$ 与点 $C$ 在直线 $l$ 的同侧 $)$
$④$ 连接 $A D$ ， $C D$ ．
则四边形 $A B C D$ 为所求的矩形．
根据上面设计的尺规作图过程，

(1)、使用直尺和圆规，在图 $2$ 中补全图形 $($ 保留作图痕迹 $)$ ；

(2)、完成下面的证明：
证明： $∵ A D = B C = b$ ， $A B = D C = a$ ，
$∴$ 四边形 $A B C D$ 是平行四边形 $（） . ($ 填推理的依据 $)$
$∵$ 直线 $m ⊥ l$ ，
$∴ ∠ A B C =$ ▲ $°$ ，
$∴$ 四边形 $A B C D$ 是矩形 $（） ($ 填推理的依据 $)$ ．

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17.

(1)、已知线段 $m ， n$ ，求作 $R t △ A B C$ ，使得 $∠ C = 90 ° ， C A = m ， C B = n$ ；（请用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．）

(2)、求证：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．（请借助上一小题所作图形，在完善的基础上，写出已知、求证与证明．）

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18. 如图所示，四边形 $A B C D$ 是半圆O的内接四边形， $A B$ 是半圆O的直径，点C是弧 $B D$ 的中点，请仅用无刻度的直尺，按下列要求作图．（保留作图痕迹）

(1)、在图（1）中，作一个等腰三角形 $A B E$ ；

(2)、在图（2）中，作一个以 $O D$ 为对角线的矩形．

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四、解答题

19. 已知 $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，点 $C$ 是 $⊙ O$ 上一点，点 $D$ 是 $⊙ O$ 外一点， $D C$ 是 $⊙ O$ 的切线， $C$ 为切点，连接 $D A$ ， $C B$ ．

(1)、如图 $①$ ，若 $D A$ 与 $⊙ O$ 相切， $A$ 为切点， $∠ A D C = 70 °$ ，求 $∠ A B C$ 的大小；

(2)、如图 $②$ ，若 $D A$ 与 $⊙ O$ 相交于点 $E$ ，恰有 $A D ⊥ C D$ ，且 $C D = 4$ ， $A B = 10$ ，求 $E D$ 的长．

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20. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $A D$ 是 $B C$ 边的中线， $A G$ 平分 $△ A B C$ 的外角 $∠ B A F$ ， $B E ⊥ A G$ ，垂足为 $E$ ．

(1)、求证：四边形 $A D B E$ 是矩形；

(2)、连接 $D E$ ，交 $A B$ 于点 $O$ ，若 $B C = 8$ ， $A O = \frac{5}{2}$ ，则 $△ A B C$ 的面积是：．

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21. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，点 $P$ 是 $A B$ 边上一点 $($ 不与 $A$ ， $B$ 重合 $)$ ，过点 $P$ 作 $P Q ⊥ C P$ ，交 $A D$ 边于点 $Q$ ，且 $∠ Q P A = ∠ P C B$ ， $Q P = Q D$ ．

(1)、求证：四边形 $A B C D$ 是矩形；

(2)、求证： $C D = C P$ ．

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五、综合题

22. 如图 $1$ ，正方形 $A B C D$ 的边长为 $a$ ， $E$ 为边 $C D$ 上一动点 $($ 点 $E$ 与点 $C$ ， $D$ 不重合 $)$ ，连接 $A E$ 交对角线 $B D$ 于点 $P$ ，过点 $P$ 作 $P F ⊥ A E$ 交 $B C$ 于点 $F$ ，连接 $P C$ ．

(1)、求证： $P A = P C$ ；

(2)、如图 $2$ ，过点 $F$ 作 $F O ⊥ B D$ 于 $Q$ ，在点 $E$ 的运动过程中， $P Q$ 的长度是否发生变化？若不变，求出 $P Q$ 的长；若变化，请说明变化规律．

(3)、证明：在点 $E$ 的运动过程中，总有 $A B + B F = \sqrt{2} B P$ 成立．

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23. 如图，在 $▱ A B C D$ 中，过点 $D$ 作 $D E ⊥ A B$ 于点 $E$ ，点 $F$ 在边 $C D$ 上， $C F = A E$ ，连接 $A F$ ， $B F$ ．

(1)、求证：四边形 $B F D E$ 是矩形；

(2)、已知 $∠ D A B = 60 °$ ， $A F$ 是 $∠ D A B$ 的平分线，若 $A D = 3$ ，求 $D C$ 的长度．

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24. 如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E点，延长BC至F点使CF=BE，连接AF，DE，DF．

(1)、求证：四边形AEFD是矩形；

(2)、若AB=6，DE=8，BF=10，求AE的长．

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