山东省威海市文登区2023-2024学年八年级上学期期中联考数学(五四学制)

试卷更新日期：2023-11-20 类型：期中考试

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一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1. 在下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（）

A、2a²-3a+1＝a（2a-3）+1 B、 $x y - 1 = x y (1 - \frac{1}{x y})$ C、（a+1）（a-1）＝a²-1 D、-4-x²y²+4xy＝-（2-xy）²

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2. 分式 $\frac{x + 1}{x^{2} - x} ， \frac{2}{x^{2} - 1} ， - \frac{x}{x^{2} + 2 x + 1}$ 的最简公分母是（）

A、（x²-x）（x+1） B、（x²-1）（x+1）² C、x（x-1）（x+1）² D、x（x+1）²

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3. 下列各式中，能用公式法分解因式的有（）
①-x²-y²；②- $\frac{1}{4}$ a²b²+1；③a²+ab+b²；④-x²+2xy-y²；⑤ $\frac{1}{4}$ -mn+m²n² ．

A、2个 B、3个 C、4个 D、5个

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4. 下面是马小虎的答卷，他的得分应是（）

姓名马小虎得分？

判断题（每小题20分，共100分）

（1）代数式 $\frac{6}{x}$ ， $\frac{m + n}{m - n}$ 是分式．（√）（2）当x＝-1时，分式 $\frac{x}{x + 1}$ 无意义．（×）

（3） $\frac{a^{2} + b^{2}}{a + b}$ 不是最简分式．（×）（4）若分式 $\frac{| x | - 2}{x + 2}$ 的值为0，则x的值为±2．（√）

（5）分式 $\frac{y^{2}}{x + y}$ 中x ， y的值均扩大为原来的2倍，分式的值保持不变．（×）

A、40分 B、60分 C、80分 D、100分

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5. 一组数据的方差计算公式为： $s^{2} = \frac{1}{4} [(6 - \bar{x})^{2} + (6 - \bar{x})^{2} + (7 - \bar{x})^{2} + (9 - \bar{x})^{2}]$ ，下列关于这组数据的说法错误的是（）

A、平均数是7 B、中位数是6.5 C、众数是6 D、方差是1

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6. 试卷上一个正确的式子（ $\frac{1}{a - b} - \frac{1}{a + b}$ ）÷＝ $\frac{2}{a + b}$ 被莹莹不小心滴上墨汁，被墨汁遮住的部分的代数式是（）

A、 $\frac{a}{a - b}$ B、 $\frac{a}{a + b}$ C、 $\frac{b}{a + b}$ D、 $\frac{b}{a - b}$

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7. 为迎接中国共产党建党101周年，某班40名同学进行了党史知识竞赛，测试成绩统计表如下，其中有两个数据被遮盖．下列关于成绩的统计量中，与被遮盖的数据无关的是（）
成绩
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
人数
1
3
2
3
5
5
8
10
■
■

A、平均数，方差 B、中位数，方差 C、平均数，众数 D、中位数，众数

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8. 一项工程，甲单独做需m小时完成，若与乙合作20小时可以完成，则乙单独完成需要的时间是（）

A、 $\frac{20 m}{m - 20}$ 小时 B、 $\frac{20 m}{m + 20}$ 小时 C、 $\frac{m - 20}{20 m}$ 小时 D、 $\frac{m + 20}{20 m}$ 小时

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9. 某校初二年级的同学乘坐大巴车去北京展览馆参观“砥砺奋进的五年”大型成就展．北京展览馆距离该校12千米.1号车出发3分钟后，2号车才出发，结果两车同时到达．已知2号车的平均速度是1号车的平均速度的1.2倍，求2号车的平均速度，设1号车的平均速度为xkm/h，可列方程为（）

A、 $\frac{12}{x} - \frac{12}{1.2 x} = \frac{3}{60}$ B、 $\frac{12}{x} - \frac{12}{1.2 x} = 3$ C、 $\frac{12}{1.2 x} - \frac{12}{x} = \frac{3}{60}$ D、 $\frac{12}{x} + \frac{12}{1.2 x} = 3$

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10. 已知 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 是 $△ A B C$ 的三边长，且满足 $a^{2} + 2 b^{2} + c^{2} = 2 a b + 2 b c$ ，那么据此判断 $△ A B C$ 的形状是（）

A、等边三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、等腰直角三角形

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二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）

11. 分解因式x²+ax+b ，甲看错了a值，分解的结果是（x-3）（x+2），乙看错了b值，分解的结果是（x-2）（x-3），那么x²+ax+b分解因式正确的结果应该是．

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12. 如果一组数据3，5，x，6，8的众数为3，那么这组数据的方差为 .

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13. 关于x的分式方程 $\frac{2 x - a}{x - 1} - \frac{1}{1 - x} = 3$ 的解为非负数，则a的取值范围为．

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14. 对于a ， b ， c ， d ，规定一种运算 $| \begin{array}{l} a & b \\ c & d \end{array} |$ ＝ad-bc ，如 $| \begin{array}{l} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array} |$ ＝1×4-2×3＝-2，那么因式分解 $∣ \begin{array}{l} x & - 3 \\ 3 & x - 6 \end{array} |$ 的结果是．

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15. 若关于x的分式方程 $\frac{2}{x - 2} + \frac{m x}{x^{2} - 4} = \frac{3}{x + 2}$ 无解，则m= ．

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16. 某同学使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中一个数据105输入为15，所求得的平均数为83，则实际平均数是．

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三、解答题（共8大题，总分72分）

17. 把下列各式分解因式：

(1)、 $a^{4} - 8 a^{2} b^{2} + 16 b^{4}$

(2)、 $2 a (x - y)^{2} - 20 a (x - y) + 50 a$

(3)、 $16 (a + b)^{2} - 4 (a - b)^{2}$

(4)、 $(a^{2} + 2 a)^{2} - 2 (a^{2} + 2 a) - 3$

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18. 计算

(1)、 ${(- \frac{a^{2} b}{c})}^{3} \cdot {(- \frac{c^{2}}{a^{2}})}^{2} \div {(- \frac{b c}{a})}^{4}$

(2)、 $(\frac{x + 1}{x - 1} - \frac{x - 1}{x + 1}) \div \frac{x}{x^{2} - 1}$ ；

(3)、 $\frac{2 a}{a + 1} - \frac{2 a - 4}{a^{2} - 1} \div \frac{a - 2}{a^{2} - 2 a + 1}$

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19. 解方程：

(1)、 $\frac{1}{x + 3} - \frac{2}{3 - x} = \frac{12}{x^{2} - 9}$

(2)、 $\frac{4}{x^{2} - 1} + \frac{x + 2}{1 - x}$ ＝-1．

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20. 先化简（ $\frac{3}{a + 1}$ -a+1）÷ $\frac{a^{2} - 4 a + 4}{a + 1}$ ，然后从-2≤a≤2的范围内选择一个合适的整数作为a的值代入求值．

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21. 为了加强心理健康教育，某校组织七年级（1）（2）两班学生进行了心理健康常识测试（分数为整数，满分为10分），已知两班学生人数相同，根据测试成绩绘制了如下所示的统计图．

(1)、填好表格中所缺的数据：
统计量
平均数
众数
中位数
方差
（1）班
8
8
c
1.16
（2）班
a
b
8
1.56

(2)、从表中选择合适的统计量，说明哪个班的成绩更均匀?

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22. 为应对新冠疫情，某药店到厂家选购A、B两种品牌的医用外科口罩，B品牌口罩每个进价比A品牌口罩每个进价多0.7元，若用7200元购进A品牌数量是用5000元购进B品牌数量的2倍．

(1)、求A、B两种品牌的口罩每个进价分别为多少元？

(2)、若A品牌口罩每个售价为2元，B品牌口罩每个售价为3元，药店老板决定一次性购进A、B两种品牌口罩共6000个，在这批口罩全部出售后所获利润不低于1800元．则最少购进B品牌口罩多少个？

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23. 【阅读学习】阅读下列文字：我们知道，图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．例如，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学等式．
例1：如图1，可得等式：a（b+c）＝ab+ac．
例2：由图2，可得等式：（a+2b）（a+b）＝a²+3ab+2b²．
借助几何图形，利用几何直观的方法在解决整式运算问题时经常采用．

(1)、如图3，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为a+b+c的正方形．利用不同的形式可表示这个大正方形的面积，你能发现什么结论？请用等式表示出来为；

(2)、利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38．求a²+b²+c²的值；

(3)、利用此方法也可以求出一些不规则图形的面积．如图4，将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B、C、G三点在同一直线上，连接BD和BF，若这两个正方形的边长满足a+b＝10，ab＝20，请求出阴影部分的面积．

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24. 对于两个不等的非零实数a，b，若分式 $\frac{(x - a) (x - b)}{x}$ 的值为0，则x＝a或x＝b.
因为 $\frac{(x - a) (x - b)}{x} = \frac{x^{2} - (a + b) x + a b}{x} = x + \frac{a b}{x} - (a + b)$ ，所以关于x的方程x+ $\frac{ab}{x}$ ＝a+b的两个解分别为x₁＝a，x₂＝b.

利用上面建构的模型，解决下列问题：

(1)、若方程x+ $\frac{p}{x}$ ＝q的两个解分别为x₁＝﹣1，x₂＝4.则p＝， q＝；（直接写出结论）

(2)、已知关于x的方程2x+ $\frac{n^{2} + n - 2}{2 x + 1}$ ＝2n的两个解分别为x₁ ， x₂（x₁＜x₂）.求 $\frac{2 x_{1}}{2 x_{2} - 3}$ 的值.

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统计量	平均数	众数	中位数	方差
（1）班	8	8	c	1.16
（2）班	a	b	8	1.56

成绩	91	92	93	94	95	96	97	98	99	100
人数	1	3	2	3	5	5	8	10	■	■