北京市丰台区2023-2024学年九年级上学期数学期中考试试卷
试卷更新日期：2023-11-20 类型：期中考试
一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.
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1. 下列四个品牌图标中，是中心对称图形的是（ ）A、
B、
C、
D、
2. 用配方法解一元二次方程x2-8x+3＝0，此方程可化为（ ）A、（x-4）2＝13 B、（x+4）2＝13 C、（x-4）2＝19 D、（x+4）2＝193. 如图中的五角星图案，绕着它的中心O旋转n°后，能与自身重合，则n的值至少是（ ）
A、60 B、72 C、120 D、1444. 在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y＝2x2先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线为（ ）A、y＝2（x-2）2+3 B、y＝2（x-2）2-3 C、y＝2（x+2）2-3 D、y＝2（x+2）2+35. 在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示示，关于a、c的符号判断正确的是（ ）
A、a＞0，c＞0 B、a＞0，c＜0 C、a＜0，c＞0 D、a＜0，c＜06. 雷达通过无线电的方法发现目标并测定它们的空间位置，因此雷达被称为“无线电定位”．现有一款监测半径为5km的雷达，监测点的分布情况如图，如果将雷达装置设在P点，每一个小格的边长为1km ， 那么能被雷达监测到的最远点为（ ）
A、M点 B、N点 C、P点 D、Q点7. 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线G ， 自变量x与函数y的部分对应值如下表：x
…
-3
-2
-1
0
1
2
…
y
…
4
0
-2
-2
0
4
…
下列说法错误的是（ ）
A、抛物线G的开口向上 B、抛物线G的对称轴是 C、抛物线G与y轴的交点坐标为（0，-2） D、二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的最小值为-28. 两块完全相同的含30°角的直角三角板ABC和A'B'C′重合在一起，将三角板A'B'C'绕直角顶点C'按逆时针方向旋转α（0°＜α≤90°），如图所示．以下结论错误的是（ ）
A、当α＝30°时，A'C与AB的交点恰好为AB中点 B、当α＝60°时，A'B'恰好经过点B C、在旋转过程中，存在某一时刻，使得AA'＝BB' D、在旋转过程中，始终存在AA'⊥BB'二、填空题（本题共16分，每小题2分）
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9. 方程x2＝1的解是 ．10. 在平面直角坐标系xOy中，点（1，-3）关于原点对称的点的坐标为 ．11. 请写出一个图象开口向上，且与y轴交于点（0，2）的二次函数的解析式 ．12. 如图，将△ABC绕点C顺时针旋转35°得到△DEC ， 边ED ， AC相交于点F ， 若∠A＝30°，则∠EFC＝ ．
13. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝2（x-1）2+k经过点A（2，m），B（3，n）．则mn（填“＞”，“＝”或“＜”）．14. 二次函数y＝x2-6x+c的图象与x轴只有一个公共点，则c的值为 ．15. 《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，其中第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之、深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用几何语言表达为：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E ， EB＝1寸，CD＝10寸，则直径AB长为 寸．
16. 我国三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了求一元二次方程正数解的几何解法．例如求方程x2+2x-35＝0的正数解的步骤为：将方程变形为x（x+2）＝35；
构造如图1所示的大正方形，其面积是（x+x+2）2 ， 其中四个全等的矩形面积分别为x（x+2），中间的小正方形面积为22；
大正方形的面积也可表示为四个矩形和一个小正方形的面积之和，即4×35+22＝144；
由此可得方程：（x+x+2）2＝144，则方程的正数解为x＝5．
根据赵爽记载的方法，在图2中的三个构图（矩形的顶点均落在边长为1的小正方形网格格点上）①②③中，能够得到方程x2+3x-10＝0的正数解的构图是 （只填序号）．
三、解答题（共68分，第17-19题，每题5分，第20题6分，第21-22题，每题5分，第23题6分，第24题5分，第25-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）
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17. 解方程：x2+2x﹣3＝0（公式法）18. 如图，矩形ABCD的对角线AC ， BD相交于点O ．
求证：A ， B ， C ， D四个点在以点O为圆心的同一个圆上．
19. 已知：关于x的方程x2+4x+2m＝0有两个不相等的实数根．(1)、求m的取值范围；(2)、若m为正整数，求此时方程的根．20. 在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx+3（a≠0）的图象经过点A（-1，4），B（1，0）．
(1)、求二次函数的解析式；(2)、画出二次函数的图象；(3)、当y＞0时，直接写出x的取值范围．21. 如图，在Rt△OAB中，∠OAB＝90°，且点B的坐标为（4，2）．
(1)、画出△OAB绕点O逆时针旋转90°后的△OA1B1；(2)、求点B旋转到点B1的路径长（结果保留π）．22. 某学校要设计校园“数学嘉年华”活动的项目介绍展板．如图，现有一块长25dm ， 宽8dm的矩形展板，展示区域为全等的四个矩形，其中相邻的两个矩形展示区域之间及四周都留有宽度相同的空白区域．如果四个矩形展示区域的面积之和为120dm2 ， 求空白区域的宽度．
23. 如图，在等边△ABC中，D是BC的中点，过点A作AE∥BC ， 且AE＝DC ， 连接CE ．
(1)、求证：四边形ADCE是矩形；(2)、连接BE交AD于点F ， 连接CF ． 若AB＝4，求CF的长．24. 在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数y＝x的图象平移得到，且经过点（1，2）．(1)、求这个一次函数的解析式；(2)、当x＞1时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值大于一次函数y＝kx+b的值，直接写出m的取值范围．25. 如图，一位足球运动员在一次训练中，从球门正前方8m的A处射门，已知球门高OB为2.44m ， 球射向球门的路线可以看作是抛物线的一部分．当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点，此时球的竖直高度为3m ．现以O为原点，如图建立平面直角坐标系．
(1)、求抛物线表示的二次函数解析式；(2)、通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）；(3)、若运动员射门路线的形状、最大高度均保持不变，则他应该带球向正后方移动 米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处．26. 在平面直角坐标系xOy中，点M（2，m），N（4，n）在抛物线y＝ax2+bx（a＞0）上，设该抛物线的对称轴为x＝t ．(1)、若m＝n ， 求t的值；(2)、若mn＜0，求t的取值范围．27. 如图，在正方形ABCD中，点P是线段AC延长线上一动点，连接DP ， 将线段DP绕点D逆时针旋转60°得到线段DQ ， 连接PQ ， BP ， 作直线BQ交AC于点E ．
(1)、依题意补全图形；(2)、求证：∠PBQ＝∠PQB；(3)、用等式表示线段EP ， EQ ， EB之间的数量关系，并证明．28. 在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：将图形M绕直线x＝3上某一点P顺时针旋转90°，得到图形M'，再将图形M'关于直线x＝3对称，得到图形N ． 此时称图形N为图形M关于点P的“二次变换图形”．已知点A（0，1）．
(1)、若点P（3，0），直接写出点A关于点P的“二次变换图形”的坐标；(2)、若点A关于点P的“二次变换图形”与点A重合，求点P的坐标；(3)、若点P（3，-3），⊙O半径为1．已知长度为1的线段AB ， 其关于点P的“二次变换图形”上的任意一点都在⊙O上或⊙O内，直接写出点B的纵坐标yB的取值范围．