北京市海淀区民大附中2023-2024学年八年级上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2023-11-20 类型：期中考试

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一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 在平面直角坐标示系 $x O y$ 中，点 $P (- 3 ， 5)$ 关于 $y$ 轴对称的点的坐标是（）

A、 $(- 3 ， - 5)$ B、 $(3 ， - 5)$ C、 $(3 ， 5)$ D、 $(5 ， - 3)$

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2. 在下列长度的四根木棒中，能与 $3 c m$ ， $8 c m$ 长的两根木棒钉成一个三角形的是（）

A、 $3 c m$ B、 $5 c m$ C、 $7 c m$ D、 $12 c m$

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3. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $A D$ 是 $△ A B C$ 的边 $B C$ 上的中线，那么可以证明 $△ A B D$ ≌ $△ A C D$ ，这里证明全等所使用的判定方法是（）

A、 $S A S$ B、 $A A S$ C、 $A S A$ D、 $S S S$

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4. 如图， $∠ C = 90 °$ ， $A D$ 平分 $∠ B A C$ 交 $B C$ 于 $D$ ，若 $B C = 5 c m$ ， $B D = 3 c m$ ，则点 $D$ 到 $A B$ 的距离为（）

A、 $5 c m$ B、 $3 c m$ C、 $2 c m$ D、不能确定

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5. 如图所示， $A B = A C$ ， $A D = A E$ ， $∠ B A C = ∠ D A E$ ， $∠ 1 = 25 °$ ， $∠ 2 = 30 °$ ，则 $∠ 3 =$ （）

A、 $60 °$ B、 $55 °$ C、 $50 °$ D、无法计算

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6. 两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形 $A B C D$ 是一个筝形，其中 $A D = C D$ ， $A B = C B$ ，在探究筝形的性质时，得到如下结论：
$① A C ⊥ B D$ ； $② A O = C O = \frac{1}{2} A C$ ； $③ △ A B D$ ≌ $△ C B D$ ，
其中正确的结论有（）

A、 $0$ 个 B、 $1$ 个 C、 $2$ 个 D、 $3$ 个

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7. 如图，已知 $∠ B O P$ 与 $O P$ 上的点 $C$ ，点 $A$ ，小临同学现进行如下操作： $①$ 以点 $O$ 为圆心， $O C$ 长为半径画弧，交 $O B$ 于点 $D$ ，连接 $C D$ ； $②$ 以点 $A$ 为圆心， $O C$ 长为半径画弧，交 $O A$ 于点 $M$ ； $③$ 以点 $M$ 为圆心， $C D$ 长为半径画弧，交第 $2$ 步中所画的弧于点 $E$ ，连接 $M E .$ 下列结论不能由上述操作结果得出的是（）

A、 $∠ O D C = ∠ A E M$ B、 $O B / / A E$ C、 $∠ A M E = 2 ∠ A O D$ D、 $C D / / M E$

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8. 如图 $1$ ， $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $D$ 为 $B C$ 中点，把 $△ A B C$ 纸片沿 $A D$ 对折得到 $△ A D C$ ，如图 $2$ ，点 $E$ 和点 $F$ 分别为 $A D$ ， $A C$ 上的动点，把 $△ A D C$ 纸片沿 $E F$ 折叠，使得点 $A$ 落在 $△ A D C$ 的外部，如图 $3$ 所示．设 $∠ 1 - ∠ 2 = α$ ，则下列等式成立的是（）

A、 $∠ B A C = α$ B、 $2 ∠ B A C = α$ C、 $∠ B A C = 2 α$ D、 $3 ∠ B A C = 2 α$

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二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）

9. 在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $∠ A - ∠ B = 30 °$ ，则 $∠ A =$ ．

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10. 若一个正多边形的每一个外角都等于 $60 °$ ，则这个正多边形的边数为．

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11. 等腰三角形的两条边长分别为3和4，则这个等腰三角形的周长是．

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12.
由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图1，衣架杆OA=OB=18cm，若衣架收拢时，∠AOB=60°，如图2，则此时A，B两点之间的距离是 cm．

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13. 如图，在 $△ A B C$ 中， $B A = B C = 6$ ， $∠ A B C = 120 °$ ， $D$ 为 $A C$ 中点，则 $B D =$ ．

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14. 如图， $△ A B C$ 为等边三角形，点 $E$ 在 $A B$ 上，点 $F$ 在 $A C$ 上， $A E = C F$ ， $C E$ 与 $B F$ 相交于点 $P$ ，则 $∠ E P B =$ ．

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15. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = B C$ ， $D$ 、 $C$ 、 $E$ 三点在一条直线上，且 $∠ A D C = ∠ B E C = 90 °$ ，过点 $C$ 作 $F C ⊥ D E$ ，且 $F C = A D + B E .$ 若 $∠ A F B = α$ ，则 $∠ D F E =$ $. ($ 用含 $α$ 的式子表示 $)$

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16. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $A (6 ， 0)$ ， $B (0 ， 8)$ ， $P$ ， $Q$ 是两个动点，其中点 $P$ 以每秒 $2$ 个单位长度的速度沿折线 $A O B ($ 按照 $A - O - B)$ 的路线运动，点 $Q$ 以每秒 $5$ 个单位长度的速度沿折线 $B O A ($ 按照 $B - O - A)$ 的路线运动，运动过程中点 $P$ 和 $Q$ 同时开始，而且都要运动到各自的终点时停止．设运动时间为 $t$ 秒，直线 $l$ 经过原点 $O$ ，且 $l / / A B$ ，过点 $P$ ， $Q$ 分别作 $l$ 的垂线段，垂足为 $E$ ， $F$ ，当 $△ O P E$ 与 $△ O Q F$ 全等时， $t$ 的值为．

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三、解答题（本大题共8小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 已知：如图， $D$ 是 $B C$ 上一点， $A B = B D$ ， $D E / / A B$ ， $∠ A = ∠ D B E$ ．
求证： $A C = B E$ ．

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18.
如图，点D、E在△ABC的BC边上，AB=AC，AD=AE．求证：BD=CE．

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19. 如图，在平面直角坐标系中， $R t △ A B C$ 的三个顶点分别是 $A (- 3 ， 2)$ ， $B (0 ， 4)$ ， $C (0 ， 2)$ ．

$(1)$ 画出 $△ A B C$ 关于 $x$ 轴对称的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 并写出点 $A_{1}$ 的坐标； $A_{1} ($ ▲ ， ▲ $) .$
$(2)$ 在 $x$ 轴上有一点 $P$ ，使得 $P A + P B$ 的值最小，请画出图形并直接写出点 $P$ 的坐标： $P ($ ▲ ， ▲ $) .$

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20. 如图， $A D / / B C$ ， $A E$ 平分 $∠ B A D$ ，点 $E$ 为 $D C$ 中点，求证： $A D + B C = A B$ ．

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21. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 4 5^{∘}$ ， $A H ⊥ B C$ 于点 $H$ ，点 $D$ 为 $A H$ 上的一点，且 $D H = H C$ ，连接 $B D$ 并延长 $B D$ 交 $A C$ 于点 $E$ ．

(1)、请补全图形；

(2)、写出 $B D$ 与 $A C$ 的数量关系和位置关系并证明．

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22. 如图， $△ A B C$ 中， $A B = B C$ ， $∠ A B C = 90 °$ ， $F$ 为 $A B$ 延长线上一点，点 $E$ 在 $B C$ 上，且 $A E = C F$ ．

(1)、求证： $∠ B A E = ∠ B C F$ ；

(2)、若 $∠ C A E = 25 °$ ，求 $∠ A C F$ 的度数．

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23. 在 $△ A B C$ 中， $A C = B C$ ， $∠ A C B = 90 °$ ，点 $D$ 在 $B C$ 的延长线上， $M$ 是 $B D$ 的中点， $E$ 是射线 $C A$ 上一动点，且 $C E = C D$ ，连接 $A D$ ，作 $D F ⊥ A D$ ， $D F$ 交 $E M$ 延长线于点 $F$ ．

(1)、如图 $1$ ，当点 $E$ 在 $C A$ 上时，填空： $A D$ $D F ($ 填“=”、“ $<$ ”或“ $>$ ” $)$ ．

(2)、如图 $2$ ，当点 $E$ 在 $C A$ 的延长线上时，请根据题意将图形补全，判断 $A D$ 与 $D F$ 的数量关系，并证明你的结论．

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24. 小聪和小明两位同学在学习全等三角形时积极思考，提出了以下两个问题：
问题 $1$ ：如图 $1$ ， $△ A B C$ 中， $A B = 3$ ， $A C = 2$ ， $A D$ 是 $△ A B C$ 的角平分线，求 $B D$ ： $D C$ 的值．
小聪同学经过思考，发现可以过 $D$ 作 $D M ⊥ A B$ 于 $M$ ， $D N ⊥ A C$ 于 $N$ ，利用 $△ A B D$ 与 $△ A C D$ 的面积比来解决这个问题．
问题 $2$ ：如图 $2$ ， $△ A B C$ 为等边三角形，点 $D$ 为 $△ A B C$ 外一点， $∠ C D A = 60 °$ ，连接 $D B$ ，探究 $A D$ ， $C D$ ， $B D$ 三者之间的数量关系．
小明同学经过思考，发现可以在 $D A$ 上截取 $D E = D C$ ，构造等边三角形 $C D E$ ，从而解决这个问题．

(1)、根据两位同学的思考，完成问题 $1$ 、 $2$ 的解答 $($ 直接写出结果 $)$ ．

(2)、根据问题 $1$ 、 $2$ 的结论，解决下面问题：如图 $3$ ， $△ A B C$ 和 $△ C D E$ 都是等边三角形，且 $B$ 、 $C$ 、 $E$ 三点共线，连接 $A E$ ， $B D$ 交于点 $F$ ，连接 $F C$ ，设 $A F = a$ ， $D F = b$ ， $C F = c$ ，若 $B C = 2 C E$ ，直接写出 $\frac{a - 2 b}{3 c}$ 的值．

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