湖南省衡阳市2023-2024学年八年级上学期第一次月考数学试题

试卷更新日期：2023-11-20 类型：月考试卷

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一、选择题（共12小题）

1. 若二次根式 $\sqrt{x - 2}$ 在实数范围内有意义，则 $x$ 的取值范围是（）

A、 $x > 2$ B、 $x \geq 2$ C、 $x \neq 2$ D、 $x \leq 2$

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2. 在 $\frac{3}{7}$ 、 $3.1415$ 、 $\sqrt[3]{8}$ 、 $0.121221222 \dots$ 、 $\sqrt{16}$ 、 $\sqrt[3]{9}$ 、 $0.2$ 、 $- \frac{22}{7} π$ 、 $\sqrt[3]{5}$ 、 $\sqrt{27}$ 中，无理数的个数是（）

A、 $2$ 个 B、 $3$ 个 C、 $4$ 个 D、 $5$ 个

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3. 下列说法中：①3的平方根是 $\sqrt{3}$ ；② $- 3$ 是9的一个平方根；③ $\frac{9}{16}$ 的平方根是 $\pm \frac{3}{4}$ ；④0.01的算术平方根是0.1；⑤ $\sqrt{4} = \pm 2$ ；⑥ $- 8$ 的立方根是2；其中正觕的有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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4. 下列说法中，正确的个数是（）
①实数包括有理数、无理数和0；②有理数和数轴上的点一一对应；③无理数都是无限小数；④ $(a - 3)^{2} = a^{2} - 9$ ；⑤平方根与立方根都等于它本身的数为0利1；

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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5. 已知 $a^{m} = 3 ， a^{n} = 2$ ，则 $a^{2 m + 3 n}$ 的值为（）

A、72 B、54 C、17 D、12

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6. 在边长为a的正方形中挖去一个边长为6的小正方形（ $a > b$ ）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证等式（）

A、 $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ B、 $(a - b)^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$ C、 $(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$ D、 $(a + b) (a - 2 b) = a^{2} - a b - 2 b^{2}$

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7. 已知 $m + n = 3 ， m n = - 1$ ，则 $(1 - m) (1 - n)$ 的值为（）

A、 $- 3$ B、 $- 1$ C、1 D、5

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8. 计算 ${(\frac{2}{3})}^{2021} \times 1 . 5^{2022} \times (- 1)^{2023}$ 的结果是（）

A、 $- \frac{2}{3}$ B、2 C、 $- \frac{3}{2}$ D、 $- 1$

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9. 已知 $(2023 - a) (- a + 2022) = 4$ ，则 $(2023 - a)^{2} + (2022 - a)^{2}$ 的值为是（）

A、7 B、8 C、9 D、12

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10. 在数学中，为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“ $Σ$ ”，如记 $\sum_{k = 1}^{n} k = 1 + 2 + 3 + \dots + (n - 1) + n ， \sum_{k = 3}^{n} (x + k) = (x + 3) + (x + 4) + \dots + (x + n)$ ；
已知 ${\sum^{}}_{k = 3}^{n} [(x + k) (x - k + 1)] = 3 x^{2} + 3 x + m$ ，则 $m$ 的值是（）

A、 $- 62$ B、 $- 38$ C、 $- 40$ D、 $- 20$

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11. 如图所示的“杨辉三角”告诉了我们二项式乘方展开式的系数规律，如：第三行的三个数 $(1 ， 2 ， 1)$ ，恰好对应 $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ 展开式中各项的系数；第四行的四个数恰好对应着 $(a + b)^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$ 的系数．根据数表中前四行的数字所反映的规律计算求值： ${(\frac{2}{3})}^{4} - 4 \times {(\frac{2}{3})}^{3} + 6 \times {(\frac{2}{3})}^{2} - 4 \times \frac{2}{3} + 1 =$ （）

A、 $\frac{1}{81}$ B、 $\frac{625}{81}$ C、 $- \frac{1}{81}$ D、 $- \frac{625}{81}$

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12. 已知图①是长为 $a$ ，宽为 $b (a > b)$ 的小长方形纸片，图②是大长方形，且边 $A B = a + 3 b$ ，将7张如图①的小长方形纸片不重叠地放在大长方形 $A B C D$ 内，如图③所示，未被覆盖两个长方形用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积差为 $S$ ，若 $B C$ 的长度变化时， $S$ 始终保持不变，则 $a ， b$ 应满足（）

A、 $a = \frac{3}{2} b$ B、 $a = 2 b$ C、 $a = 4 b$ D、 $a = 3 b$

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二、填空题（共6小题）

13. 36的平方根是.

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14. 一个正数的两个平方根分别是 $1 - 2 a$ 和 $a - 4$ ，则这个正数是．

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15. $(a^{2} + b^{2} - 1) (a^{2} + b^{2} + 1) = 80$ ，则 $a^{2} + b^{2} =$ ．

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16. 已知 $(x^{2} + m x + n) (x^{2} - 3 x + 2)$ 的展开式中不含 $x^{2}$ 和 $x^{3}$ 项，则 $m + n =$ ．

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17. 若关于 $x$ 的二次三项式 $4 x^{2} + (m - 2) x + \frac{1}{64}$ 是完全平方式，则 $m$ 的值为．

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18. 任何实数 $a$ ，可用 $[a]$ 表示不超过 $a$ 的最大整数，如 $[4] = 4 ， [\sqrt{3}] = 1$ ．现对72进行如下操作：72第一次 $[\sqrt{72}] = 8$ ，第二次 $[\sqrt{8}] = 2$ ，第三次 $[\sqrt{2}] = 1$ ，类似地，只需进行3次操作变为1的所有正整数中，最大的是．

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三、解答题（共8小题）

19. 计算： $- 1^{2023} + \sqrt[3]{- 64} - | 3 - \sqrt{10} | + (\sqrt{2} - 1)^{0}$ ；

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20. 化简求值： $(x + 2 y) (x - 2 y) + 2 (x - 2 y)^{2} - 3 x (x - y)$ ，其中 $| x + 2 | + (y - 1)^{2} = 0$ ．

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21. 尝试解决下列有关幂的问题：

(1)、若 $3 \times 27^{m} \div 9^{m} = 3^{16}$ ，求m的值；

(2)、已知 $a^{x} = - 2 ， a^{y} = 3 ，$ 求 $a^{3 x - 2 y}$ 的值；

(3)、若n为正整数，且 $x^{2 n} = 4$ ，求 ${(3 x^{3 n})}^{2} - 4 {(x^{2})}^{2 n}$ 的值

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22. 定义一种新运算：观察下列各式：
$1 \oplus 3 = 1 \times 3 - 3 = 0$
$3 \oplus (- 1) = 3 \times 3 + 1 = 10$

$5 \oplus 4 = 5 \times 3 - 4 = 11$
$4 \oplus (- 3) = 4 \times 3 + 3 = 15$

（Ⅰ）请计算 $(- 1) \oplus \frac{2}{3} =$ ▲ ；
（Ⅱ）请猜一猜： $a \oplus b =$ ▲ ．（用含 $a ， b$ 的代数式表示）；
（Ⅲ）若 $a \oplus (- 6 b) = - 2 \frac{1}{4}$ ，请计算 $(2 a + b) \oplus (2 a - 5 b)$ 的值．

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23. 上数学课时，老师在讲完乘法公式 $(a \pm b)^{2} = a^{2} \pm 2 a b + b^{2}$ 的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式 $x^{2} + 4 x + 5$ 的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法：
解： $x^{2} + 4 x + 5 = x^{2} + 4 x + 4 + 1 = (x + 2)^{2} + 1$
$∵ (x + 2)^{2} \geq 0$ ，
$∴$ 当 $x = - 2$ 时， $(x + 2)^{2}$ 的值最小，最小值是0，
$∴ (x + 2)^{2} + 1 \geq 1$ ．
$∴$ 当 $(x + 2)^{2} = 0$ 时， $(x + 2)^{2} + 1$ 的值最小，最小值是1，
$∴ x^{2} + 4 x + 5$ 的最小值是1．
请你根据上述方法，解答下列各题：

(1)、知识再现：当 $x =$ 时，代数式 $x^{2} - 6 x + 12$ 有最小值是；

(2)、知识运用：若 $y = - x^{2} + 2 x - 3$ ，求 $y$ 的最大值；

(3)、知识拓展：若 $- x^{2} + 3 x + y + 5 = 0$ ，求 $y + x$ 的最小值．

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24. 如图，边长为 $a$ 的正方形 $A B C D$ 和边长为 $b (a > b)$ 的正方形 $C E F G$ 拼在一起， $B 、 C 、 E$ 三点在同一直线上，设图中阴影部分的面积为 $S$ ．

(1)、如图①， $S$ 的值与 $a$ 的大小有关吗？说明理由；

(2)、如图②，若 $a + b = 10 ， a b = 21$ ，求 $S$ 的值；

(3)、如图③，若 $a - b = 2 ， a^{2} + b^{2} = 7$ ，求 $S^{2}$ 的值．

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25. 阅读理解题：
定义：如果一个数的平方等于 $- 1$ ，记为 $i^{2} = - 1$ ，这个数 $i$ 叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，表示为 $a + b i (a ， b$ 为实数 $) ， a$ 叫这个复数的实部， $b$ 叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．
例如计算： $(2 + i) + (3 - 4 i) = 5 - 3 i$ ．

(1)、填空： $i^{3} =$ ， $i^{4} =$ ．

(2)、计算：① $(3 + i) (3 - i)$ ；② $(3 - i)^{2}$ ；

(3)、若两个复数相等，则它们的实部和虚部必须分别相等，完成下列问题：已知： $(x + y) + 3 i = (1 - x) - y i$ ，（ $x ， y$ 为实数），求 $x ， y$ 的值．

(4)、试一试：请利用以前学习的有关知识将 $\frac{2 + i}{2 - i}$ 化简成 $a + b i$ 的形式．

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26. 如图①是一个长为 $2 a$ ，宽为 $2 b$ 的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形，请解答下列问题：

(1)、图②中阴影部分的正方形的边长是；

(2)、用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积：
方法1： ▲ ；
方法2： ▲ ；
并写出二个代数式 $(a + b)^{2} ， (a - b)^{2} ， a b$ 之间的等量关系；

(3)、根据（2）中的等量关系，解决问题：若 $x + y = 10 ， x y = 16$ ，求 $x - y$ 的值；

(4)、根据（2）中的等量关系，直接写出 $m + \frac{1}{m}$ 和 $m - \frac{1}{m}$ 之间的关系；若 $m^{2} - 4 m + 1 = 0$ ，分别求出 $m^{2} + \frac{1}{m^{2}}$ 和 ${(m - \frac{1}{m})}^{2}$ 的值；

(5)、【知识迁移】类似地，用两种不同的方法计算同一几何体的体积，也可以得到一个恒等式．根据图③，写出一个代数怛等式：；

(6)、已知 $a + b = 3 ， a^{3} + b^{3} = 18$ ，利用上面的规律求 $a b$ 的值．

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$1 \oplus 3 = 1 \times 3 - 3 = 0$	$3 \oplus (- 1) = 3 \times 3 + 1 = 10$
$5 \oplus 4 = 5 \times 3 - 4 = 11$	$4 \oplus (- 3) = 4 \times 3 + 3 = 15$