2023-2024学年北师大版数学八年级上册 7.1为什么要证明同步练习（培优卷）

试卷更新日期：2023-11-18 类型：同步测试

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一、单选题

1. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中.汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”.现在勾股定理的证明已经有400多种方法，下面的两个图形就是验证勾股定理的两种方法，在验证著名的勾股定理过程，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”.在验证过程中它体现的数学思想是（）

A、函数思想 B、数形结合思想 C、分类思想 D、方程思想

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2. 嘉淇在解决问题时，给出的推理过程如下：
如图，点D在 $A C$ 上，点E在 $A B$ 上， $A B = A C$ ， $∠ B = ∠ C$ ，
求证： $C D = B E$ .
证明：在 $△ A D B$ 和 $△ A E C$ 中， ${\begin{array}{l} ∠ B = ∠ C \\ A B = A C \\ ∠ A = ∠ A \end{array}$ ，
∴ $△ A D B ≌ △ A E C$ ， ∴ $C D = B E$ .
小明为保证嘉淇的推理更严谨，想在方框中“∴ $△ A D B ≌ △ A E C$ ”和“∴ $C D = B E$ ”之间作补充，下列说法正确的是（）

A、嘉淇的推理严谨，不需要补充 B、应补充“∴ $A D = A E$ ” C、应补充“∴ $A B = A C$ ” D、应补充“∴ $C E = B D$ ”

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3. 如图，在 $△ A B C$ 中，点D为 $B C$ 边上一点，给出如下关系：① $A D$ 平分 $∠ B A C$ ；② $A D ⊥ B C$ 于D；③D为 $B C$ 中点.甲说：如果①②同时成立，可证明 $A B = A C$ ；乙说：如果②③同时成立，可证明 $A B = A C$ ；丙说：如果①③同时成立，可证明 $A B = A C$ .则正确的说法是（）

A、甲、乙正确，丙错误 B、甲正确，乙、丙错误 C、乙正确，甲、丙错误 D、甲、乙、丙都正确

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4. 法国数学家柯西于1813年在拉格朗日、高斯的基础上彻底证明了《费马多边形数定理》，其主要突破在“五边形数”的证明上，如图为前几个“五边形数”的对应图形，请据此推断，第15个“五边形数”应该为（），第2021个“五边形数”的奇偶性为（）

A、330，奇数 B、590，偶数 C、330，偶数 D、590，奇数

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5. 小明和小亮在研究一道数学题，如图 $E F ⊥ A B$ ， $C D ⊥ A B$ ，垂足分别为E、D，G在 $A C$ 上．
小明说：“如果 $∠ C D G = ∠ B F E$ ，则能得到 $∠ A G D = ∠ A C B$ ”；
小亮说：“连接 $F G$ ，如果 $F G / / A B$ ，则能得到 $∠ G F C = ∠ A D G$ ”．
则下列判断正确的是（）

A、小明说法正确，小亮说法错误 B、小明说法正确，小亮说法正确 C、小明说法错误，小亮说法正确 D、小明说法错误，小亮说法错误

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6. 在探究证明“三角形的内角和是180°”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是180°”的是（）

A、过C作EF $∥$ AB B、过AB上一点D作DE $∥$ BC，DF $∥$ AC C、延长AC到F，过C作CE $∥$ AB D、作CD⊥AB于点D

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7. 历史上对勾股定理的一种证法采用了下列图形：其中两个全等的直角三角形边AE，EB在一条直线上．证明中用到的面积相等的关系是（）

A、S_△EDA=S_△CEB B、S_△EDA+S_△CEB=S_△CDE C、S_{四边形CDAE}=S_{四边形CDEB} D、S_△EDA+S_△CDE +S_△CEB=S_{四边形ABCD}

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二、填空题

8. 1930年，德国汉堡大学的学生考拉兹，曾经提出过这样一个数学猜想：对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘 $3$ 再加 $1$ ；如果它是偶数，则对它除以 $2 .$ 如此循环，最终都能够得到 $1 .$ 这一猜想后来成为著名的“考拉兹猜想”，又称“奇偶归一猜想” $.$ 虽然这个结论在数学上还没有得到证明，但举例验证都是正确的，例如：正整数 $5$ 经过下面 $5$ 步运算可得到 $1$ ，即： $5 \overset{\times 3 + 1}{\to} 16 \overset{\div 2}{\to} 8 \overset{\div 2}{\to} 4 \overset{\div 2}{\to} 2 \overset{\div 2}{\to} 1 .$ 则正整数 $6$ 经过步运算可得到 $1$ ．那么正整数经过 $7$ 步运算可得到 $1$ ．

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三、综合题

9. 如图 $1$ ，在一张白纸上画直线 $a$ ，点 $P$ 在直线 $a$ 外；如图 $2$ 所示，翻折白纸使直线 $a$ 重合，折痕经过点 $P$ ，记折痕为直线 $l$ ；再次如图 $3$ 所示，翻折白纸，使图 $2$ 中的直线 $l$ 重合，经过点 $P$ 的新的折痕记为直线 $b$ ；如图 $4$ ，请根据以上操作说明直线 $a$ ， $b$ 的位置关系，并证明你的结论．

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10. 实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图1，一束光线 $m$ 射到平面镜 $a$ 上，被 $a$ 反射后的光线为 $n$ ，则入射光线 $m$ ，反射光线 $n$ 与平面镜 $a$ 所夹的锐角 $∠ 1 = ∠ 2$ ．

(1)、如图2，一束光线 $m$ 射到平面镜 $a$ 上，被 $a$ 反射到平面镜 $b$ 上，又被 $b$ 反射，若被 $b$ 反射出的光线 $n$ 与光线 $m$ 平行，且 $∠ 1 = 50 °$ ，则 $∠ 2 =$ $°$ ， $∠ 3 =$ $°$ ；

(2)、图2中，当被 $b$ 反射出的光线 $n$ 与光线 $m$ 平行时，不论 $∠ 1$ 如何变化， $∠ 2$ 与 $∠ 1$ 总具有一定的数量关系，请你探究 $∠ 2$ 和 $∠ 1$ 的数量关系，并说明理由；

(3)、图2中，由（1）、（2），请你探究：当任何射到平面镜 $a$ 上的光线 $m$ ，经过平面镜 $a$ 、 $b$ 的两次反射后，入射光线 $m$ 与反射光线 $n$ 平行，求两平面镜 $a$ 、 $b$ 的夹角 $∠ 3$ 的度数，并说明理由．

(4)、如图3，一束光线 $m$ 射到平面镜 $a$ 上，被 $a$ 反射到平面镜 $b$ 上，又被 $b$ 反射，若被 $b$ 反射出的光线 $n$ 与光线 $m$ 垂直，则 $∠ O$ 等于多少度？（友情提示：三角形内角和等于 $180 °$ ）

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11. 实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．

(1)、如图，一束光线m射到平面镜 $a$ 上，被 $a$ 反射到平面镜b上，又被b反射，若被b反射出的光线n与光线m平行，且 $∠ 1 = 50 °$ ，则 $∠ 2 =$ ， $∠ 3 =$ ．

(2)、在（1）中，若 $∠ 1 = 50 °$ ，则 $∠ 3 =$ ；若 $∠ 1 = 40 °$ ，则 $∠ 3 =$ ；

(3)、由（1）、（2），请你猜想：当两平面镜 $a$ 、 $b$ 的夹角 $∠ 3 =$ 时，可以使任何射到平面镜 $a$ 上的光线m，经过平面镜 $a$ 、 $b$ 的两次反射后，入射光线m与反射光线n平行．请说明理由．

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12. 数学探究活动中，阿青同学为了验证：长条纸片上下边沿 $M N$ 与 $P Q$ 是否平行，把纸片沿着 $A C$ 折叠（如图1），并用量角器测出 $∠ 1 、 ∠ 2$ 的度数；

(1)、若 $∠ 1 = ∠ 2$ ，则 $M N ∥ P Q$ .你认为阿青同学的做法正确吗？㳻说明理由；

(2)、在（1）的条件下，阿青同学在纸条下 $P Q$ 上取点 $D$ （如图2），连结 $A D$ 并沿着 $A E$ 折叠纸片使得 $A D$ 与 $A B$ 重合，过 $E$ 作 $E F ⊥ A C$ 于点 $F$ ，设 $∠ A E F = α$ ， $∠ A D P = β$ .
①当点 $D$ 在点 $C 、 B$ 之间时，若 $β = 12 0^{∘}$ ，求 $α$ 的度数；
②当点 $D$ 在 $P Q$ 上的运动过程中， $α$ 和 $β$ 之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明.（选其中一种情况证明）

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13. 在单位长度为1的正方形网格中，如果一个凸多边形的顶点都是网格线交点，我们称其为格点凸多边形，并记该格点多边形的面积为S，多边形内部的格点数为N，多边形边上的格点数为L．

(1)、对于图中的五个凸多边形，补全以下表格：
多边形
面积S
内部格点数N
边上格点数L
$N + \frac{L}{2}$
Ⅰ
Ⅱ
7
4
8
8
Ⅲ
Ⅳ
9
5
10
10
Ⅴ
$15.5$
11
11
$16.5$

(2)、借助以上表格猜想格点凸多边形的面积公式：S与 $N + \frac{L}{2}$ 的数量关系可用等式表示为；

(3)、已知格点长方形ABCD，设其边长 $A B = m ， B C = n$ ，其中m，n为正整数．请以格点长方形 $A B C D$ 为例，尝试证明（2）中的格点凸多边形的面积公式．

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14.

(1)、计算并观察下列各式：
第1个： $(a - b) (a + b) =$ ；
第2个： $(a - b) (a^{2} + a b + b^{2}) =$ ；
第3个： $(a - b) (a^{3} + a^{2} b + a b^{2} + b^{3}) =$ ；
……
这些等式反映出多项式乘法的某种运算规律．

(2)、猜想：若n为大于1的正整数，则 $(a - b) (a^{n - 1} + a^{n - 2} b + a^{n - 3} b^{2} + ⋯ + a^{2} b^{n - 3} + a b^{n - 2} + b^{n - 1}) =$ ；

(3)、利用（2）的猜想计算： $2^{n - 1} + 2^{n - 2} + 2^{n - 3} + ⋯ + 2^{3} + 2 + 1 =$ ．

(4)、拓广与应用： $3^{n - 1} + 3^{n - 2} + 3^{n - 3} + ⋯ + 3^{3} + 3 + 1 =$ ．

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15. 根据学习“数与式”的经验，通过由“特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．以下是探究过程，请补充完整．

(1)、具体运算，发现规律．
特例1． $\sqrt{1 + 3} = 2$ ．特例2． $\sqrt{1 + \frac{5}{4}} = \frac{3}{2}$ ，特例3． $\sqrt{1 + \frac{7}{9}} = \frac{4}{3}$ ，特例4． $\sqrt{1 + \frac{9}{16}} = \frac{5}{4}$ ，
特例5．．

(2)、观察、归纳，得出猜想．
如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：．

(3)、证明你的猜想．

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16. 观察下列图形与等式的关系：
按照以上图形与等式的规律，解答下列问题：

(1)、写出第5个等式：．

(2)、写出你猜想的第n个等式： ▲ ．（用含n的等式表示），并证明（已知：1+2+3+……+n＝ $\frac{n (n + 1)}{2}$ ）．

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17. 【阅读】在证明命题“如果 $a > b > 0$ ， $c < 0$ ，那么 $a^{2} + b c > a b + a c$ ”时，小明的证明方法如下：
证明：∵ $a > b > 0$ ，
∴ $a^{2}$ >  ▲  . ∴ $a^{2} + b c >$   ▲  .
∵ $a > b$ ， $c < 0$ ，
∴ $b c >$   ▲  . ∴ $a b + b c >$   ▲   .
∴ $a^{2} + b c > a b + a c$ .
【问题解决】

(1)、请将上面的证明过程填写完整；

(2)、有以下几个条件：① $a > b$ ， ② $a < b$ ， ③ $a < 0$ ， ④ $b < 0$ .请从中选择两个作为已知条件，得出结论 $| a | > | b |$ .你选择的条件序号是     ，并给出证明过程 .

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18. 定义：

如果一个正整数n能表示为两个正整数的平方差，那么称正整数n为“智慧数”，即：若正整数n=a²-b²（a，b为正整数，且a＞b），则称正整数n为“智慧数”．例如：∵5=3²-2² ， ∴5是“智慧数”．根据定义，直接写出最小的“智慧数”是．

提出问题：

如果按照从小到大的顺序排列起来，那么第2022个“智慧数”是哪位数？

探究问题：

要解答这个问题，我们先要明白“智慧数”产生的规律．

探究1：“智慧数”一定是什么数？

假设n是“智慧数”，则至少存在一组正整数a、b，使n=a²-b²（a，b为正整数，且a＞b）．

情况1：a、b均为奇数，或均为偶数．

分析：

∵a、b均为奇数，或均为偶数

∴（a+b）、（a-b）均为偶数

此时不妨设（a+b）=2c，（a-b）=2d

又∵n=a²-b²=（a+b）（a-b）=4cd

∴a²-b²为4的倍数，即n为4的倍数．

情况2：a、b为一奇数、一偶数．

分析：

∵a、b为一奇数、一偶数

∴（a+b）、（a-b）均为奇数

此时不妨设（a+b）=2c $\pm$ 1，（a-b）=2d $\pm$ 1

又∵n=a²-b²=（a+b）（a-b）=4cd $\pm$ 2c $\pm$ 2d $\pm$ 1

∴a²-b²为奇数，即n为奇数．

综上所述：“智慧数”为奇数或4的倍数．

探究2：所有奇数和4的倍数都一定“智慧数”吗？

我们先从最简单的情形入手，从中找到解决问题的方法，最后得出一般性的结论．

先举例几组数值较小，容易验证的“智慧数”（①--⑧），因为“智慧数”不是奇数就是4的倍数，所以我们把这“智慧数”分成两类．

情况1：n是奇数
	分析n=a²-b²	结论
①	$3 = 2^{2} - 1^{2}$	3是“智慧数”
②	$5 = 3^{2} - 2^{2}$	5是“智慧数”
③	$7 = 4^{2} - 3^{2}$	7是“智慧数”
④	$9 = 5^{2} - 4^{2}$	9是“智慧数”
……	……	……
情况2：n是4的倍数
	分析n=a²-b²	结论
⑤	$8 = 3^{2} - 1^{2}$	8是“智慧数”
⑥	$12 = 4^{2} - 2^{2}$	12是“智慧数”
⑦	$16 = 5^{2} - 3^{2}$	16是“智慧数”
⑧	$20 = 6^{2} - 4^{2}$	20是“智慧数”
……	……	……

情况1：n是奇数

观察①②③④中n、a、b的值，容易发现，每个算式中，n均是奇数，且a、b的值均为连续的正整数．

猜想：所有奇数都是“智慧数”．

验证：设a=k+1，b=k（k≥1，且k为整数）

∵a²-b²=（k+1）²-k²=2k+1

∴2k+1是“智慧数”

又∵k≥1

∴2k+1≥3，即2k+1表示所有奇数（1除外）

∴所有奇数（1除外）都是“智慧数”

应用：

请直接填空：∵11= 2-2 ∴11是“智慧数”

情况2：n是4的倍数．

观察⑤⑥⑦⑧中n、a、b的值，容易发现，每个算式中，n均是4的倍数，且a、b的差都为2．

猜想：所有4的倍数都是“智慧数”．

验证：设a=k+2，b=k（k≥1，且k为整数）

∵a²-b²=（k+2）²-k²=4k+4

∴4k+4是“智慧数”

又∵k≥1

∴4k+4≥8，即4k+4表示所有4的倍数（4除外）

∴所有4的倍数（4除外）都是“智慧数”

应用：

请直接填空：∵24= 2- 2 ∴24“智慧数”

归纳“智慧数”的发现模型：

⑴对所有的正整数而言，除了1和4之外，其余的奇数以及4的倍数是智慧数．

⑵当1≤n≤4时，只有1个“智慧数”；

当n≥5时，如果把从5开始的正整数按照从小到大的顺序，依次每个连续正整数分成一组（注：组与组之间的数字互不重复），则每组有个“智慧数”，且第个数不是“智慧数”．

问题解决：

直接写出：如果按照从小到大的顺序排列起来，那么第2022个“智慧数”是．

实际应用：

若一个直角三角形纸片三边的长度都是整数厘米，已知一条直角边长是12cm，则这个直角三角形纸片的周长最大是cm．

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19. 勾股定理神秘而美妙，它的验证方法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜地发现，当两个全等的直角三角形如图①或图②所示摆放时，都可以用“面积法”来验证，下面是小聪利用图①验证勾股定理的过程：

将两个全等的直角三角形按如图①所示摆放，其中∠DAB=90°，试说明：a²+b²=c²

解：连接DB，过点D作BC边上的高DF，则DF=EC=b-a

因为S_{四边形ADCB}= S_△ADB+S_△ABC= $\frac{1}{2}$ b²+ $\frac{1}{2}$ ab，

S_{四边形BADCB}=S_△ADB+S_△DCB= $\frac{1}{2}$ c²+ $\frac{1}{2}$ a(b-a)，

所以 $\frac{1}{2}$ b²+ $\frac{1}{2}$ ab= $\frac{1}{2}$ c²+ $\frac{1}{2}$ a(b-a)，

所以a²+b²=c²

请参照上述验证方法，利用图②说明a²+b°²=c²

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20. 阅读与理解：折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法，例如，在△ABC中，AB>AC（如图），怎样证明∠C>∠B呢？
分析：把AC沿∠A的角平分线AD翻折，因为AB>AC，所以点C落在AB上的点C’处，即AC=AC’，据以上操作，易证明△ACD $≅$ AC’D，所以∠AC’D=∠C，又因为∠AC’D>∠B，所以∠C>∠B.
感悟与应用：

(1)、如图（1）在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，CD平分∠ACB，试判断AC和AD、BC之间的数量关系，并说明理由；

(2)、如图（3），在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AC=4，AD=2，CD=BC=3，
①求证：∠B+∠D=180°；
②求AB的长.

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多边形	面积S	内部格点数N	边上格点数L	$N + \frac{L}{2}$
Ⅰ
Ⅱ	7	4	8	8
Ⅲ
Ⅳ	9	5	10	10
Ⅴ	$15.5$	11	11	$16.5$

2023-2024学年北师大版数学八年级上册 7.1为什么要证明 同步练习（培优卷）

一、单选题

二、填空题

三、综合题

2023-2024学年北师大版数学八年级上册 7.1为什么要证明同步练习（培优卷）