2023-2024学年北师大版数学八年级上册7.1为什么要证明同步练习（基础卷）

试卷更新日期：2023-11-18 类型：同步测试

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一、单选题

1. 为了证明数轴上的点可以表示无理数，老师给学生设计了如下材料：如图，直径为 $1$ 个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上一点由原点 $($ 记为点 $0)$ 到达点 $A$ ，点 $A$ 对应的数是（）

A、 $π$ B、 $3.14$ C、 $- π$ D、 $- 3.14$

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2. 如图，直线 $a ， b$ 被 $c$ 所截， $∠ 1 = 5 8^{∘} ， ∠ 3 = 12 2^{∘}$ ，求证： $a ∥ b$ ．

下列是佳宁同学的证明过程：

证明： $∵ ∠ 1 + ∠ 2 = 18 0^{∘} ， ∠ 1 = 5 8^{∘}$

      $∴ ∠ 2 = 18 0^{∘} - 5 8^{∘} = 12 2^{∘}$

      $∵ ∠ 3 = 12 2^{∘}$

      $∴ ∠ 2 = ∠ 3$

      $∴ a ∥ b$ （填依据）．

则下列关于上述证明过程中括号内填依据正确的是（）

A、两直线平行，同位角相等 B、两直线平行，内错角相等 C、同位角相等，两直线平行 D、内错角相等，两直线平行

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3. 老师布置了一项作业，对一个真命题进行证明，下面是小云给出的证明过程：
证明：如图， $∵ b ⊥ a$ ，
      $∴ ∠ 1 = 90 °$ ．
      $∵ c ⊥ a$ ，
      $∴ ∠ 2 = 90 °$ ，
      $∴ ∠ 1 = ∠ 2$ ，
      $∴ b / / c$ ．
已知该证明过程是正确的，则证明的真命题是（）

A、在同一平面内，若 $b ⊥ a$ ，且 $c ⊥ a$ ，则 $b / / c$ B、在同一平面内，若 $b / / c$ ，且 $b ⊥ a$ ，则 $c ⊥ a$ C、两直线平行，同位角不相等 D、两直线平行，同位角相等

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4. 在探究证明“三角形的内角和是180°”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是180°”的是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $A D$ 是 $△ A B C$ 的边 $B C$ 上的中线，那么可以证明 $△ A B D$ ≌ $△ A C D$ ，这里证明全等所使用的判定方法是（）

A、 $S A S$ B、 $A A S$ C、 $A S A$ D、 $S S S$

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6. 用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，则要说明 $∠ A O B = ∠ A^{^{'}} O^{^{'}} B^{^{'}}$ ，需要证明 $△ C O D$ 和 $△ C^{'} O^{'} D^{'}$ ，则这两个三角形全等的依据是（）

A、 $S A S$ B、 $A A S$ C、 $S S S$ D、 $A S A$

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7. 在 $△ A B C$ 和 $△ D E F$ 中， $A B = D E$ ， $∠ A = ∠ D$ ，若要证明 $△ A B C$ ≌ $△ D E F$ ，还需要补充一个条件，则正确的补充方法是（）

A、 $B C = D F$ B、 $A C = E F$ C、 $B C = E F$ D、 $A C = D F$

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8. 用4个长为 $a$ ，宽为 $b$ 的长方形拼成如图所示的大正方形，则用这个图形可以验证的恒等式是（）

A、 $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ B、 $(a - b)^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$ C、 $(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$ D、 $(a + b)^{2} - (a - b)^{2} = 4 a b$

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二、解答题

9. 观察下列关于自然数的等式：
3²﹣4×1=4+1    ①
5²﹣4×2=16+1   ②
7²﹣4×3=36+1   ③
…
根据上述规律解决下列问题：
（1）完成第四个等式；
（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并验证其正确性．

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10. 老师在黑板上写了三个算式，希望同学们认真观察，发现规律.请你结合这些算式，解答下列问题：
请观察以下算式：

① $3^{2} - 1^{2} = 8 \times 1$ ；

② $5^{2} - 3^{2} = 8 \times 2$ ；

③ $7^{2} - 5^{2} = 8 \times 3$ ；

……

试写出符合上述规律的第五个算式；

验证：设两个连续奇数为2n+1， $2 n - 1$ (其中 $n$ 为正整数)，并说明它们的平方差是8的倍数；

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11. 观察下列关于自然数的等式：
2×4﹣1²+1=8
3×5﹣2²+1=12
4×6﹣3²+1=16
5×7﹣4²+1=20
…
利用等式的规律，解答下列问题：
（1）若等式8×10﹣a²+1=b（a，b都为自然数）具有以上规律，则a等于多少，a+b等于多少．
（2）写出第n个等式（用含n的代数式表示），并验证它的正确性．

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12. 发现：一个三位数的百位上数字为a，十位上数字为(a+1)，个位上数字为(a＋2)；把这个三位数的百位上数字与个位上的数字交换得到一个新三位数，新三位数与原三位数的差是9的倍数．
验证：

(1)、①765—567=9× ；

②通过列式计算，说明新三位数与原三位数的差是9的倍数；

(2)、延伸：新三位数与原三位数的和是正整数m的倍数，则m=____________，并说明理由．

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13. 观察以下等式：
第1个等式： $16 {(3 \times 2 - 1)}^{2} = {(7 \times 3 + 8)}^{2} - {(7 \times 3)}^{2}$ ，
第2个等式： $16 {(3 \times 3 - 1)}^{2} = {(10 \times 6 + 8)}^{2} - {(10 \times 6)}^{2}$ ，
第3个等式： $16 {(3 \times 4 - 1)}^{2} = {(13 \times 9 + 8)}^{2} - {(13 \times 9)}^{2}$ ，
……
按照以上规律，解决下列问题：

(1)、写出第4个等式：；

(2)、写出你猜想的第 $n$ 个等式（用含 $n$ 的式子表示），并验证当 $n = 6$ 时，猜想成立．

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14. 已知x≠1．观察下列等式：
(1-x)(1+x)=1-x² ；

(1-x)(1+x+x²)=1-x³；

(1-x)(1+x+x²+x³)=1-x⁴；

(1)、猜想： (1-x)(1+x+x²+x³+……+x^n-1)=；

(2)、证明你在(1)中的猜想；

(3)、根据你的猜想计算：(x-1)(x²⁰²³+x²⁰²²+x²⁰²¹+……+x²+x+1)．

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15. 实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b反射的光线为n．

(1)、当 $m ∥ n$ 时，若 $∠ 1 = 5 0^{∘}$ ，则∠2＝， ∠3＝；

(2)、当 $m ∥ n$ 时，若 $∠ 1 = x^{∘} (0 < x < 90)$ ，则∠3＝；

(3)、根据（1）（2）结果，反过来猜想：当两平面镜a，b的夹角∠3为多少度时， $m ∥ n$ ．请说明理由（可以在图中添加适当的角度标记进行说明）

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16. 有三个多项式：① $2 x y^{2} + 3 (x^{2} + 2)$ ，② $2 x y^{2} - 3 (x^{2} - 2)$ ，③ $- 2 x y^{2} + 3 (x^{2} - 2)$ ，请挑选其中两个多项式，满足所挑选的两个多项式的和是单项式，并加以验证（只要求写出一种正确的选法）.

(1)、你挑选的两个多项式是；

(2)、写出你的验证过程.

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17. 美国第二十任总统伽菲尔德的证法，被称为“总统证法”．如图，梯形由三个直角三角形组合而成，利用面积公式，验证勾股定理．

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18. 发现：五个连续的偶数中，存在前三个偶数的平方和等于后两个偶数的平方和．
验证：

(1)、 ${(- 4)}^{2} + {(- 2)}^{2} + 0^{2} = 2^{2} + {()}^{2}$

(2)、若还存在五个连续的偶数，前三个偶数的平方和可以等于后两个偶数的平方和，设中间的偶数为n，求n

(3)、延伸：是否存在三个连续的奇数中，有前两个奇数的平方和可以等于后一个奇数的平方，请说明理由．

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19. 观察：
$\sqrt{2 — \frac{2}{5}}$ = $\sqrt{\frac{8}{5}}$ = $\sqrt{\frac{4 \times 2}{5}}$ =2 $\sqrt{\frac{2}{5}}$ ，即 $\sqrt{2 - \frac{2}{5}}$ =2 $\sqrt{\frac{2}{5}}$ ； $\sqrt{3 - \frac{3}{10}}$ = $\sqrt{\frac{27}{10}}$ = $\sqrt{\frac{9 \times 3}{10}}$ =3 $\sqrt{\frac{3}{10}}$ ，即 $\sqrt{3 - \frac{3}{10}}$ =3 $\sqrt{\frac{3}{10}}$ .猜想 $\sqrt{5 - \frac{5}{26}}$ 等于什么，并通过计算验证你的猜想.

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20. 阅读下列材料：
小铭和小雨在学习过程中有如下一段对话：

小铭：“我知道一般当m≠n时， $m^{2} + n$ ≠ $m + n^{2}$ .可是我见到有这样一个神奇的等式：

${(\frac{a}{b})}^{2} + \frac{b - a}{b}$ = $\frac{a}{b} + {(\frac{b - a}{b})}^{2}$ （其中a ， b为任意实数，且b≠0）．你相信它成立吗？”

小雨：“我可以先给a ， b取几组特殊值验证一下看看．”

完成下列任务：

(1)、请选择两组你喜欢的、合适的a ， b的值，分别代入阅读材料中的等式，写出代入后得到的具体等式并验证它们是否成立（在相应方框内打勾）；
① 当a= ， b=时，等式（成立；不成立）；

② 当a= ， b=时，等式（成立；不成立）．

(2)、对于任意实数a ， b（b≠0），通过计算说明 ${(\frac{a}{b})}^{2} + \frac{b - a}{b}$ = $\frac{a}{b} + {(\frac{b - a}{b})}^{2}$ 是否成立．

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21. 发现任意三个连续的整数中，最大数与最小数这两个数的平方差是4的倍数；
验证：

(1)、 ${(- 1)}^{2} - {(- 3)}^{2}$ 的结果是4的几倍？

(2)、设三个连续的整数中间的一个为n，计算最大数与最小数这两个数的平方差，并说明它是4的倍数；
延伸：说明任意三个连续的奇数中，最大的数与最小的数这两个数的平方差是8的倍数.

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22. 据说夏禹治水时，在黄河支流洛水中浮现出一只大乌龟，背上有一个很奇怪的图彤，古人认为是一种祥瑞，预示着洪水将被夏禹王彻底制服。后人称之为”洛书”，即现在的三阶幻方。三阶幻方，具有一个十分“漂亮”的性质：每一横行、每一竖列和对角线上的三个数的和都相等．不信，我们来验证一下．
一般地，一个n行n列的正方形方格中，每一横行、每一竖列和对角线上的数字和都相等，这样的数字方阵称为n阶幻方．

请将-2，-1，0，1，2，3，4，5，6填入到3×3的方格中，使得每行、每列、斜对角的三个数之和相等．

想一想：这9个数与原来9个数有什么关系?这9个数可以由原来9个数怎么变过来?

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2023-2024学年北师大版数学八年级上册7.1为什么要证明 同步练习（基础卷）

一、单选题

二、解答题

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