湖南省娄底市2023-2024学年九年级上学期月考数学试卷（10月）

试卷更新日期：2023-11-17 类型：月考试卷

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一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列函数中， $y$ 是 $x$ 的反比例函数的是（）

A、 $y = \frac{x}{3}$ B、 $y = - \frac{3}{2 x + 1}$ C、 $y = - 2 x$ D、 $y = \frac{3}{4} x^{- 1}$

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2. 如图，点P在反比例函数y＝ $\frac{k}{x}$ 的图象上，PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，且△APB的面积为2，则k等于（）

A、－4 B、－2 C、2 D、4

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3. 在同一直角坐标系中，函数 $y = - k x + k$ 与 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的大致图象可能为（）

A、 B、 C、 D、

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4. 某开发公司2021年投入的研发资金为100亿元，为了扩大产品的竞争力，该公司不断增加研发投资，计划2023年投入400亿元研发资金．若2021年到2023年投入的研发资金年平均增长率均为x ，则下列方程中正确的是（　　）

A、100（1+x）＝400 B、100（1+2x）＝400 C、100（1+x）+100（1+x）²＝400 D、100（1+x）²＝400

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5. 若 $a$ 为方程 $x^{2} + 2 x - 4 = 0$ 的解，则 $- a^{2} - 2 a$ 的值为（）

A、 $2$ B、 $4$ C、 $- 4$ D、 $- 12$

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6. 已知一元二次方程 $x^{2} + 4 x - 3 = 0$ ，下列配方正确的是（）

A、 $(x + 2)^{2} = 3$ B、 $(x - 2)^{2} = 3$ C、 $(x + 2)^{2} = 7$ D、 $(x - 2)^{2} = 7$

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7. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $(k - 2) x^{2} + 2 x - 1 = 0$ 有两个不相等的实数根，则 $k$ 的取值范围是（）

A、 $k > 1$ B、 $k \neq 2$ C、 $k < 3$ 且 $k \neq 2$ D、 $k > 1$ 且 $k \neq 2$

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8. 若 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是方程 $2 x^{2} - 6 x + 3 = 0$ 的两个根，则 $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}}$ 的值为（）

A、 $2$ B、 $- 2$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{9}{2}$

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9. 已知一个三角形三边长为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且满足 $a^{2} - 4 b = 7$ ， $b^{2} - 4 c = - 6$ ， $c^{2} - 6 a = - 18$ ，则此三角形的形状是（）

A、等腰三角形 B、等边三角形 C、直角三角形 D、钝角三角形

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10. 如图，点 $P (- 2 a ， a)$ 是反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 与 $⊙ O$ 的一个交点，图中阴影部分的面积为 $10 π$ ，则该反比例函数的表达式为（）

A、 $y = - \frac{8}{x}$ B、 $y = - \frac{12}{x}$ C、 $y = - \frac{14}{x}$ D、 $y = - \frac{16}{x}$

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二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

11. 已知y与x成反比例，且当x＝－3时，y＝4，则当x＝6时，y的值为.

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12. 若点 $A (x_{1} ， - 1)$ ， $B (x_{2} ， 3)$ ， $C (x_{3} ， 5)$ 都在反比例函数 $y = \frac{4}{x}$ 的图象上，则 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ 的大小关系是．

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13. 如图是函数 $y = k_{1} x$ ， $y = \frac{k_{2}}{x}$ 和 $y = \frac{k_{3}}{x}$ 在同一个平面直角坐标系中的部分图象，根据图象的位置判断 $k_{1}$ 、 $k_{2}$ 和 $k_{3}$ 间的大小关系为．

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14. 当三角形的面积为9cm²时，它的底边长a（cm）与底边上的高h（cm）之间的函数表达式为．

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15. 方程 $(x - 1) (x + 1) = x - 1$ 的解是．

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16. 关于 $x$ 的方程 $\frac{1}{2} x^{2} - 3 x - 1 = 0$ 的两根分别为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，则 $x_{1} \cdot x_{2}$ 的值为．

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17. 若 $M = 2 x^{2} - 12 x + 15$ ， $N = x^{2} - 8 x + 11$ ，则 $M$ 与 $N$ 的大小关系为．

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18. 已知 $m$ ， $n$ 是方程 $x^{2} - 2 x - 7 = 0$ 的两个实数根，则代数式 $m^{2} n - 2 m n + 7 m + 2023$ 的值为．

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三、解答题（本大题共8小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19. 已知函数 $y = (5 m - 3) x^{2 - n} + (n + m)$ ，

(1)、当 $m$ ， $n$ 为何值时是一次函数？

(2)、当 $m$ ， $n$ 为何值时，为正比例函数？

(3)、当 $m$ ， $n$ 为何值时，为反比例函数？

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20. 解方程：

(1)、 $(x + 2)^{2} - x - 2 = 0$ ；

(2)、 $2 x^{2} + 4 x - 1 = 0$ ．

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21. 如图，一次函数 $y = k x + b$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{m}{x}$ 的图象交于点 $A (- 3 ， n)$ ， $B (2，3)$ ．

(1)、求反比例函数与一次函数的表达式；

(2)、若 $P$ 为 $x$ 轴上一点， $△ A B P$ 的面积为 $5$ ，求点 $P$ 的坐标；

(3)、结合图象，关于 $x$ 的不等式 $k x + b < \frac{m}{x}$ 的解集为．

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22. 若 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是一元二次方程 $2 x^{2} + 4 x - 1 = 0$ 的两个根，求下列式子的值．

(1)、 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$ ；

(2)、 $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}}$ ．

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23. 根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强 $P (P a)$ 是它的受力面积 $S (m^{2})$ 的反比例函数，其函数图象如图所示．

(1)、 $P$ 关于 $S$ 的函数关系式为．

(2)、求当 $S = 0.25 m^{2}$ 时，物体所受的压强是 $P a$ ．

(3)、当 $1000 < P < 4000$ 时，求受力面积 $S$ 的变化范围．

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24. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 2 x + m - 1 = 0$ 有两个实数根．

(1)、求 $m$ 的取值范围；

(2)、设 $p$ 是方程的一个实数根，且满足 $(p^{2} - 2 p + 3) (m + 4) = 7$ ，求 $m$ 的值．

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25. 某蔬菜生产基地用装有恒温系统的大棚栽培一种新品，如图是某天恒温系统从开始到关闭及关闭后，大棚里温度 $y (℃)$ 随时间 $x (h)$ 变化的函数图象，其中 $A B$ 段是恒温阶段， $B C$ 段是双曲线 $y = \frac{k}{x}$ 的一部分，请根据图中信息解答下列问题：

(1)、求 $k$ 的值；

(2)、恒温系统在一天内保持大棚内温度不低于 $15 ℃$ 的时间有多少小时？

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26. 【阅读材料】
若 $x^{2} + y^{2} + 8 x - 6 y + 25 = 0$ ，求 $x$ ， $y$ 的值．
解： $(x^{2} + 8 x + 16) + (y^{2} - 6 y + 9) = 0$ ， $(x + 4)^{2} + (y - 3)^{2} = 0$ ，
$∴ x + 4 = 0$ ， $y - 3 = 0$ ，
$∴ x = - 4$ ， $y = 3$ ．

(1)、【解决问题】
已知 $m^{2} + n^{2} - 12 n + 10 m + 61 = 0$ ，求 $(m + n)^{2023}$ 的值；

(2)、【拓展应用】
已知 $a$ ， $b$ ， $c$ 是 $△ A B C$ 的三边长，且 $b$ ， $c$ 满足 $b^{2} + c^{2} = 8 b + 4 c - 20$ ， $a$ 是 $△ A B C$ 中最长的边，求 $a$ 的取值范围．

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