河北省石家庄重点中学2023-2024学年九年级上学期月考数学试卷（10月份）

试卷更新日期：2023-11-17 类型：月考试卷

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一、选择题（本大题共14小题，共38.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 给出下列方程： $① a x^{2} + b x + c = 0 (a ， b ， c$ 为常数 $)$ ； $② x^{2} + \frac{1}{x} - 1 = 0$ ； $③ 0.01 t^{2} = 1$ ； $④ x (x^{2} + x - 1) = x^{3}$ ； $⑤ x^{2} + 2 x = x^{2} - 1 .$ 其中一定是一元二次方程的有（）

A、 $5$ 个 B、 $4$ 个 C、 $3$ 个 D、 $2$ 个

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2. 如图，已知 $A B / / C D / / E F$ ， $B C$ ： $C E = 3$ ： $4$ ， $A F = 21$ ，那么 $D F$ 的长为（）

A、 $9$ B、 $12$ C、 $15$ D、 $18$

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3. 若反比例函数 $y = \frac{m + 3}{x}$ 的图象在第二、四象限，则 $m$ 的取值范围是（）

A、 $m > 0$ B、 $m < 0$ C、 $m > - 3$ D、 $m < - 3$

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4. 下列各组种的四条线段成比例的是（）

A、 $3 c m$ 、 $5 c m$ 、 $6 c m$ 、 $9 c m$ B、 $3 c m$ 、 $5 c m$ 、 $8 c m$ 、 $9 c m$ C、 $3 c m$ 、 $9 c m$ 、 $10 c m$ 、 $30 c m$ D、 $3 c m$ 、 $6 c m$ 、 $7 c m$ 、 $9 c m$

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5. 在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ，已知 $t a n A = \frac{1}{2}$ ，若将 $△ A B C$ 各边都扩大 $5$ 倍，则 $t a n A$ 的值为（）

A、 $\frac{5}{2}$ B、 $\frac{1}{10}$ C、 $5$ D、 $\frac{1}{2}$

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6. 如果 $2 a = 5 b$ ，那么下列比例式中正确的是（）

A、 $\frac{a}{b} = \frac{2}{5}$ B、 $\frac{a}{5} = \frac{2}{b}$ C、 $\frac{a}{5} = \frac{b}{2}$ D、 $\frac{a}{2} = \frac{b}{5}$

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7. 某校积极鼓励学生参加志愿者活动，表列出了随机抽取的 $100$ 名学生一周参与志愿者活动的时间情况：
参与志愿者活动的时间 $($ 小时 $)$
$1$
$1.5$
$2$
$2.5$
$3$
参与志愿者活动的人数 $($ 人 $)$
$20$
$x$
$38$
$8$
$2$
根据表中数据，下列说法中不正确的是（）

A、表中 $x$ 的值为 $32$ B、这组数据的众数是 $38$ 人 C、这组数据的中位数是 $1.5$ 小时 D、这组数据的平均数是 $1.7$ 小时

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8. 共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放1000辆单车，计划第三个月投放单车数量比第一个月多440辆．设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，则所列方程正确的为（）

A、1000（1+x）²=1000+440 B、1000（1+x）²=440 C、440（1+x）²=1000 D、1000（1+2x）=1000+440

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9. 关于 $x$ 的一元二次方程 $k x^{2} + 3 x - 1 = 0$ 有实数根，则 $k$ 的取值范围是（）

A、 $k \leq - \frac{9}{4}$ B、 $k \leq - \frac{9}{4}$ 且 $k \neq 0$ C、 $k \geq - \frac{9}{4}$ D、 $k \geq - \frac{9}{4}$ 且 $k \neq 0$

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10. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ，直尺的一边与 $B C$ 重合，另一边分别交 $A B$ ， $A C$ 于点 $D$ ， $E .$ 点 $B$ ， $C$ ， $D$ 、 $E$ 处的读数分别为 $15$ ， $12$ ， $0$ ， $1$ ，若直尺宽 $B D = 1 c m$ ，则 $A D$ 的长为（）

A、 $\frac{1}{3} c m$ B、 $\frac{1}{2} c m$ C、 $1 c m$ D、 $\frac{3}{2} c m$

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11. 如图，河堤的横断面迎水坡 $A B$ 的坡比是 $1 ： \sqrt{2}$ ，堤高 $B C = 6 m$ ，则坡面 $A B$ 的长度是（）

A、 $10 m$ B、 $12 \sqrt{2} m$ C、 $6 \sqrt{3} m$ D、 $6 \sqrt{2} m$

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12. 如图，在平面直角坐标系中，已知点 $A (2 ， 2)$ ， $B (4 ， 1)$ ，以原点 $O$ 为位似中心，相似比为 $2$ ，把 $△ O A B$ 放大，则点 $A$ 的对应点 $A'$ 的坐标是（）

A、 $(1 ， 1)$ B、 $(4 ， 4)$ 或 $(8 ， 2)$ C、 $(4 ， 4)$ D、 $(4 ， 4)$ 或 $(- 4 ， - 4)$

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13. 如图， $△ A B C$ 中， $∠ A = 78 °$ ， $A B = 4$ ， $A C = 6 .$ 将 $△ A B C$ 沿图示剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）

A、 B、 C、 D、

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14. 如图，直线 $l ⊥ x$ 轴于点 $P$ ，且与反比例函数 $y_{1} = \frac{k_{1}}{x} (x > 0)$ 及 $y_{2} = \frac{k_{2}}{x} (x > 0)$ 的图象分别交于点 $A$ ， $B$ ，连接 $O A$ ， $O B$ ，已知 $k_{1} - k_{2}$ 的值为 $8$ ，则 $△ O A B$ 的面积为（）

A、 $2$ B、 $3$ C、 $4$ D、 $- 4$

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二、解答题（本大题共7小题，共68.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15. 解方程：

(1)、 $3 x (x - 1) = 2 - 2 x$ ；

(2)、 $3 x^{2} - 6 x + 2 = 0$ ．

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16. 为了倡导“全民阅读”，某校为调査了解学生家庭藏书情况，随机抽取本校部分学生进行调查，并绘制成统计图表如下：
类别
家庭藏书 $m$ 本
学生人数
$A$
$0 \leq m \leq 30$
$16$
$B$
$30 \leq m \leq 60$
$a$
$C$
$60 \leq m \leq 90$
$50$
$D$
$m \geq 90$
$70$
根据以上信息，解答下列问题

(1)、共抽样调查了名学生， $a =$ ；

(2)、在扇形统计图中，“ $D$ ”对应扇形的圆心角为；

(3)、若该校有 $2000$ 名学生，请估计全校学生中家庭藏书超过 $60$ 本的人数．

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17. 如图，已知 $A C / / B D$ ， $A B$ 和 $C D$ 相交于点 $E$ ， $A C = 6$ ， $B D = 4$ ， $F$ 是 $B C$ 上一点， $S_{△ B E F}$ ： $S_{△ E F C} = 2$ ： $3$ ．

(1)、求 $E F$ 的长；

(2)、如果 $△ B E F$ 的面积为 $4$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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18. 如图，要建一个面积为 $150 m^{2}$ 的长方形仓库，仓库的一边靠墙 $($ 墙长 $22 m)$ ，并在与墙平行的一边上开一道 $1 m$ 宽的门，现在可用的材料为 $34 m$ 长的木板，求仓库的长和宽．

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19. 为了维护国家主权和海洋权利，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理，如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时 $40$ 海里的速度向正东方航行，在 $A$ 处测得灯塔 $P$ 在北偏东 $60 °$ 方向上，继续航行 $1$ 小时到达 $B$ 处，此时测得灯塔 $P$ 在北偏东 $30 °$ 方向上 $. (\sqrt{2} = 1.414 ， \sqrt{3} = 1.732 ， \sqrt{5} = 2.236)$

(1)、求 $∠ A P B$ 的度数；

(2)、已知在灯塔 $P$ 的周围 $30$ 海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？

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20. “保护生态环境，建设绿色社会”已经从理念变为人们的行动，某化工厂 $2016$ 年 $1$ 月的利润为 $200$ 万元．设 $2016$ 年 $1$ 月为第 $1$ 个月，第 $x$ 个月的利润为 $y$ 万元．由于排污超标，该厂决定从 $2016$ 年 $1$ 月底起适当限产，并投入资金进行治污改造，导致月利润明显下降，从 $1$ 月到 $5$ 月， $y$ 与 $x$ 成反比例．到 $5$ 月底，治污改造工程顺利完工，从这时起，该厂每月的利润比前一个月增加 $20$ 万元 $($ 如图 $)$ ．

(1)、分别求该化工厂治污期间及治污改造工程完工后， $y$ 与 $x$ 之间对应的函数关系式．

(2)、治污改造工程完工后经过几个月，该厂月利润才能达到 $2016$ 年 $1$ 月的水平？

(3)、当月利润少于 $100$ 万元时为该厂资金紧张期，则该厂资金紧张期共有几个月？

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21. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $A C = 5$ ， $A B = 4 .$ 动点 $P$ 从点 $C$ 出发，沿 $C A$ 以每秒 $3$ 个单位长度的速度向终点 $A$ 匀速运动．过点 $P$ 作 $C A$ 的垂线交射线 $C B$ 于点 $M$ ，当点 $M$ 不和点 $B$ 重合时，作点 $M$ 关于 $A B$ 的对称点 $N .$ 设点 $P$ 的运动时间为 $t$ 秒 $(t > 0)$ ．

(1)、BC=；

(2)、求 $M N$ 的长． $($ 用含 $t$ 的代数式表示 $)$

(3)、取 $P C$ 的中点 $Q$ ．
$①$ 连结 $M Q$ 、 $P N$ ，当点 $M$ 在边 $B C$ 上，且 $M Q / / P N$ 时，求 $M N$ 的长．
$②$ 连结 $N Q$ ，当 $∠ C N Q = ∠ A$ 时，直接写出 $t$ 的值．

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参与志愿者活动的时间 $($ 小时 $)$	$1$	$1.5$	$2$	$2.5$	$3$
参与志愿者活动的人数 $($ 人 $)$	$20$	$x$	$38$	$8$	$2$

类别	家庭藏书 $m$ 本	学生人数
$A$	$0 \leq m \leq 30$	$16$
$B$	$30 \leq m \leq 60$	$a$
$C$	$60 \leq m \leq 90$	$50$
$D$	$m \geq 90$	$70$