山西省阳泉市多校联考2023-2024学年八年级上学期月考数学试卷（9月）

试卷更新日期：2023-11-17 类型：月考试卷

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一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 9的平方根是（）

A、 3 B、±3 C、 $\pm \sqrt{3}$ D、81

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2. 若一个数的立方根等于 $- 2$ ，则这个数等于（）

A、 $4$ B、 $8$ C、 $\pm 8$ D、 $- 8$

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3. 下列实数 $- \sqrt{5}$ ， $\frac{2}{7}$ ， $π + 1$ ， $0$ ， $- 1$ 中，无理数有（）

A、 $1$ 个 B、 $2$ 个 C、 $3$ 个 D、 $4$ 个

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4. 估算 $\sqrt{20}$ 的值在（）

A、1和2之间 B、2和3之间 C、3和4之间 D、4和5之间

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5. 下列幂的运算中，正确的是（）

A、 $(a^{3})^{2} = a^{6}$ B、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{6}$ C、 $a^{6} \div a^{3} = a^{2}$ D、 $(- 2 a)^{3} = - 6 a^{3}$

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6. 已知 $(x - 3) (x + 2) = x^{2} + m x + n$ ，则 $m$ ， $n$ 的值分别为（）

A、 $1$ ， $6$ B、 $1$ ， $- 6$ C、 $- 1$ ， $6$ D、 $- 1$ ， $- 6$

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7. 某地区计划扩建一块长方形林地，将一块长 $a$ 米、宽 $b$ 米的长方形林地的长、宽分别增加 $m$ 米、 $n$ 米，下列表示这块林地现在的面积的式子正确的是（）

A、 $a n + b m + m n$ B、 $(a + m) (b + n)$ C、 $a (b + n) + b (a + m)$ D、 $m (b + n) + n (a + m)$

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8. 下列整式运算正确的是（）

A、 $- 2 x^{2} \cdot 3 x = - 6 x^{2}$ B、 $2 x^{2} (- 3 x^{2} + 1) = - 6 x^{4} + 1$ C、 $(x + 2) (x + 1) = x^{2} + 3 x + 2$ D、 $x^{2} - 2 x (x - 1) = - x^{2} - 2 x$

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9. 如图，二阶魔方为 $2 \times 2 \times 2$ 的正方体结构，本身只有8个方块，没有其他结构的方块，结构与三阶魔方相近，可以利用复原三阶魔方的公式进行复原．已知二阶魔方的体积约为 $72 c m^{3}$ （方块之间的缝隙忽略不计），那么每个方块的边长为（）

A、 $\sqrt[3]{2} c m$ B、 $2 c m$ C、 $\sqrt[3]{9} c m$ D、 $\sqrt[3]{72} c m$

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10. 如图，在一块长 $15 m$ ，宽 $12 m$ 的长方形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路 $($ 两条道路各与长方形的一条边垂直 $)$ ，剩余部分栽种花草美化环境，设道路的宽度为 $x m$ ，则栽种花草的面积表示不正确的是（）

A、 $(15 - x) (12 - x)$ B、 $15 \times 12 - 15 x - 12 x + x^{2}$ C、 $15 \times 12 - x (15 - x) - x (12 - x) - x^{2}$ D、 $(15 - x) (12 - x) + x^{2}$

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二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11. 计算：a⁵÷a²= ．

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12. 比较大小： $\sqrt{31}$ 6．（填“ $>$ ”、“ $=$ ”或“ $<$ ”）

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13. 一个正数的平方根分别是 $x + 1$ 和 $2 x - 4$ ，则这个数是．

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14. 已知数轴上点 $O ， A$ 分别表示数0，1．如图，过点 $O$ 作数轴的垂线 $M N$ ，以 $O$ 为圆心， $O A$ 的长为半径画弧交 $M N$ 于点 $B$ ．以 $B$ 为圆心， $B O$ 的长为半径画圆，把圆沿数轴正方向滚动一周后，点 $O$ 落在点 $C$ 处．则 $A ， C$ 两点之间的距离为．

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15. 将 $4$ 个数 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ 排成 $2$ 行， $2$ 列，两边各加一条竖直线记成 $∣\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}∣$ ，定义 $∣\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}∣ = a d - b c$ ，上述记号就叫做 $2$ 阶行列式 $.$ 若 $∣\begin{matrix} x + 1 & x + 2 \\ x - 1 & x + 3 \end{matrix}∣ = 14$ ，则 $x =$ ．

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三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16. 计算：

(1)、 $\sqrt{25} - \sqrt[3]{- 27}$ ；

(2)、 $(4 x - 3 y) (2 x + y) - 6 x (x + 3 y)$ ．

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17. 先化简，再求值： $2 a (a^{2} + a - 1) - (a + 1) (2 a^{2} - a)$ ，其中 $a = - \frac{2}{3}$ ．

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18. 完善下面表格，发现平方根和立方根的规律，并运用规律解决问题．
x … 0.064 0.64 64 6400 64000 …
$\sqrt{x}$ … 0.25298 0.8 8 m 252.98 …
$\sqrt[3]{x}$ … n 0.8618 4 18.566 40 …

(1)、表格中的 $m =$ ， $n =$ ．

(2)、从表格数字中可以发现：开算术平方根时，被开方数的小数点每向左 $($ 或向右 $)$ 移动两位，它的算术平方根的小数点随即向左 $($ 或向右 $)$ 移动一位 $.$ 请用文字表述立方根的变化规律：．

(3)、若 $\sqrt{a} \approx 14.142$ ， $\sqrt[3]{700} \approx b$ ，求 $a + b$ 的值 $. ($ 参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.4142$ ， $\sqrt{20} \approx 4.4721$ ， $\sqrt[3]{7} \approx 1.9129$ ， $\sqrt[3]{0.7} \approx 0.8879)$

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19. 如图，有一块长方形纸板，长是宽的2倍，要将其四角各剪去一个正方形，折成一个无盖的长方体盒子（纸板厚度忽略不计）．

(1)、请在图中的长方形纸板上画出示意图，用实线表示剪切线，虚线表示折痕．

(2)、已知剪去的小正方形的边长为 $2 c m$ ，设长方形纸板的宽为 $x c m$ ，求折成的长方体盒子的容积．

(3)、实际测量知，长方形纸板的长为 $20 c m$ ，请在（2）的条件下计算折成的长方体盒子的容积．

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20. 观察下列算式特征，并完成相应任务．
$(x + 4) (x + 3) = x^{2} + 7 x + 12$ ；
$(x + 2) (x - 3) = x^{2} - x - 6$ ；
$(x + 5) (x - 2) = x^{2} + 3 x - 10$ ；
$(x - 2) (x - 1) = x^{2} - 3 x + 2$ ．

(1)、任务一：发现与表达
请用含字母的算式表示以上算式的一般特征：．

(2)、任务二：问题与解决
如果 $x^{2} + m x + 8 = (x + a) (x + b)$ ，其中 $m$ ， $a$ ， $b$ 均为整数，则 $m$ 的取值有____ ．

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

(3)、任务三：拓展与猜想
若 $(a x + m) (b x + n) = a b x^{2} + p x + q$ ，则 $p =$ ， $q =$ ．

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21. 我们知道，一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用 $.$ 对于“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为 $a^{m + n} = a^{m} \cdot a^{n}$ ， $a^{m n} = (a^{m})^{n} = (a^{n})^{m}$ ， $a^{m} b^{m} = (a b)^{m}$ ； $(m ， n$ 为正整数 $)$ ．
请运用这个思路和幂的运算法则解决下列问题：

(1)、已知 $a = 2^{55}$ ， $b = 3^{44}$ ， $c = 4^{33}$ ，请把 $a$ ， $b$ ， $c$ 用“ $<$ ”连接起来：；

(2)、若 $x^{a} = 2$ ， $x^{b} = 3$ ，求 $x^{3 a + 2 b}$ 的值；

(3)、计算： $2^{100} \times 8^{101} \times (\frac{1}{4})^{200}$ ．

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22. 设 $\bar{a b c}$ 是一个三位数，若 $a + b + c$ 可以被 $3$ 整除，则这个三位数可以被 $3$ 整除．
证明： $\bar{a b c} = 100 a + 10 b + c$
$= (99 a + 9 b) + (a + b + c)$
$= 9 (11 a + b) + (a + b + c)$ ．
$∵ 9$ 能被 $3$ 整除， $(11 a + b)$ 是整数，
$∴ 9 (11 a + b)$ 可以被 $3$ 整除．
又 $∵ (a + b + c)$ 可以被 $3$ 整除 $($ 已知 $)$ ，
$∴$ 这个三位数可以被 $3$ 整除．

(1)、请仿照上面的过程，证明：设 $\bar{a b c d}$ 是一个四位数，若 $a + b + c + d$ 可以被 $3$ 整除，则这个四位数可以被 $3$ 整除；

(2)、已知一个两位数的十位上的数字比个位上的数字的 $2$ 倍大 $3$ ，这个两位数能否被 $3$ 整除？如果能，请说明理由；如果不能，请举例说明．

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23. 如果一个数的平方等于 $a$ ，那么这个数叫做 $a$ 的平方根 $.$ 即：若 $x^{2} = a (a \geq 0)$ ，则 $x = \pm \sqrt{a}$ ，反之，如果一个数是 $a$ 的平方根，那么这个数的平方等于 $a$ ，即：若 $x = \pm \sqrt{a}$ ，则 $x^{2} = a (a \geq 0)$ ．
例如：
根据平方根的定义可得： $∵ x^{2} = 5$ ， $∴ x = \pm \sqrt{5}$ ．
根据平方根的定义也可得： $∵ \sqrt{7}$ 是 $7$ 的一个平方根， $∴ (\sqrt{7})^{2} = 7$ ．
根据平方根的定义，利用上述符号及例子解决下列问题：

(1)、求下列各式中 $x$ 的值．
$① (x - 1)^{2} = 16$ ；
$② 5 (1 + x)^{2} = 7.2$ ．

(2)、求证： $(\sqrt{a})^{2} = a (a \geq 0)$ ， $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a b} (a \geq 0 ， b \geq 0)$ ．
证明： $∵ \sqrt{a}$ 是 $a$ 的平方根，
$∴ (\sqrt{a})^{2} = a$ ，
$∵ (\sqrt{a} \cdot \sqrt{b})^{2} = (\sqrt{a})^{2} (\sqrt{b})^{2} ($ 依据 $1)$ ，
$= a b ($ 依据 $2)$ ，
$∴ \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a b} (a \geq 0 ， b \geq 0)$ ．
$①$ 填写推理依据．
依据 $1$ ： _▲ ．
依据 $2$ ：__▲__ ．
$②$ 计算： $- \sqrt{\frac{1}{2}} \times \sqrt{32} \times \sqrt{3} \times (- \sqrt{27}) .$

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x	…	0.064	0.64	64	6400	64000	…
$\sqrt{x}$	…	0.25298	0.8	8	m	252.98	…
$\sqrt[3]{x}$	…	n	0.8618	4	18.566	40	…