浙江省杭州市萧山区钱江片2023-2024学年九年级第一学期数学10月月考试卷

试卷更新日期：2023-11-16 类型：月考试卷

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一、选择题（每小题3分，共30分）

1. 下列各式中，不是二次函数的是（）

A、 $y = - 2 x^{2}$ B、 $y = 2 {(x - 1)}^{2} + 1$ C、 $y = {(x - 3)}^{2} - x^{2}$ D、 $y = a (8 - a)$

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2. 下列事件中，是必然事件的是（）

A、任意抛掷一枚硬币，出现正面朝上 B、从1、3、5、7、9这5张卡片中任抽一张是偶数 C、投掷一枚普通骰子，朝上一面的点数是6 D、从装有一个黄球三个红球的袋子中任取两球，至少有一个是红球

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3. 二次函数y= $x^{2}$ 的图象向右平移3个单位，向下平移2个单位，得到新的图象的函数表达式是（）

A、 $y = {(x + 3)}^{2} + 2$ B、 $y = {(x - 3)}^{2} + 2$ C、 $y = {(x + 3)}^{2} - 2$ D、 $y = {(x - 3)}^{2} - 2$

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4. 五张完全相同的卡片上，分别画有圆、平行四边形、等腰三角形、矩形、正方形，现从中随机抽取一张，恰好抽到既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率是（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $1$

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5. 如图，在九年级体育测试中，小朱掷出的实心球的飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系大致满足二次函数 $y = - \frac{1}{10} x^{2} + \frac{3}{5} x + \frac{8}{5}$ ，则小朱本次投掷实心球的成绩为（）

A、7m B、7.5m C、8m D、8.5m

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6. 已知抛物线 $y = x^{2} - 2 x + b$ 的图象上三个点的坐标分别为A（ $-$ 1， $y_{1}$ ），B（2， $y_{2}$ ），C（4， $y_{3}$ ），则 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， $y_{3}$ 的大小关系为（）

A、 $y_{3}$ ＞ $y_{1}$ ＞ $y_{2}$ B、 $y_{3}$ ＞ $y_{2}$ ＞ $y_{1}$ C、 $y_{2}$ ＞ $y_{1}$ ＞ $y_{3}$ D、 $y_{2}$ ＞ $y_{3}$ ＞ $y_{1}$

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7. 已知二次函数 $y = {(x - 3)}^{2} - 1$ ，则当 $1 \leq x \leq 4$ 时，该函数（）

A、只有最大值3，无最小值 B、有最大值3，有最小值0 C、有最小值 $-$ 1，有最大值3 D、只有最小值 $-$ 1，无最大值

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8. 反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 图象在二、四象限，则二次函数 $y = k x^{2} - 2 x$ 的大致图象是（）

A、 B、 C、 D、

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9. 已知抛物线 $y = - 5 {(x + m)}^{2} - 3$ ，当 $x \geq 2$ 时，y随x的增大而减小，那么m的取值范围是（）

A、 $m \geq - 2$ B、 $m \leq - 2$ C、 $-$ 2＜ $m ＜ 0$ D、 $m ＜ - 2$

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10. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + 1 (a \neq 0)$ 的图象的顶点在第一象限，且过点（－1，0）．设 $t = a + b + 1$ ，则t值的变化范围是（）

A、1＜t＜3 B、0＜t＜2 C、 $-$ 1＜t＜1 D、0＜t＜3

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二、填空题（每小题4分，共24分）

11. 现有三张正面印有2023年杭州亚运会吉祥物琮琮、宸宸和莲莲的不透明卡片，卡片除正面图案不同外，其余均相同，将三张卡片正面向下洗匀，从中随机抽取一张卡片，则抽出的卡片图案是琮琮的概率是。

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12. 函数 $y = 2 x^{2} - 4 x + 5$ 的顶点坐标是.

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13. 若二次函数 $y = m x^{2} + x + m (m - 3)$ 的图象经过原点，则m的值为.

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14. 如图，二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象的对称轴是直线 $x = - 1$ ，与x轴的一个交点为（－5，0），则不等式 $a x^{2} + b x + c \leq 0$ 的解集为．

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15. 一个转盘白色扇形和红色扇形的圆心角分别为120°和240°，让转盘自由转动2次，一次落在白色，一次落在红色区域的概率.

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16. 关于一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ ，有以下命题：若 $① a + b + c = 0$ ，则 $b^{2} - 4 a c \geq 0$ ；②若方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 两根为 $- 1$ 和 $2$ ，则 $2 a + c = 0$ ；③若方程 $a x^{2} + c = 0$ 有两个不相等的实根，则方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 必有两个不相等的实根；④若 $a x^{2} + b x + c = 0$ 有两个相等的实数根，则 $a x^{2} + b x + c = 1$ 无实数根．其中真命题是.

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三、解答题（本大题有8个小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.）

17. 如图所示，一个转盘被平均分成六个扇形，并在上面依次写上数字1，2，3，4，5，6．若自由转动转盘，当它停止转动时，求：

(1)、指针指向4的概率；（直接写出答案）

(2)、指针指向的数字是奇数的概率；（直接写出答案）

(3)、现只有一张电影票，小王和小李都想去看，请你利用这个转盘，设计一个公平的游戏规则．

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18. 已知抛物线y＝ax²＋bx＋1经过点(1，－2)，(－2，13)．

(1)、求a ， b的值；

(2)、若(5，y₁)，(m ， y₂)是抛物线上不同的两点，且y₂＝12－y₁ ，求m的值．

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19. 小红和小丁玩纸牌优秀，如图是同一副扑克中的4张牌的正面，将它们正面朝下洗匀后放在桌面上，小红先从中抽出一张，小丁再从剩余的3张牌中抽出一张，比较两人抽取的牌面上的数字，数字大者获胜，请用树状图或列表法求小红获胜的概率．

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20. 已知二次函数y＝ax²＋bx＋c(a≠0)，函数值y与自变量x的部分对应值如下表：
x
…
－2
－1
0
1
2
…
y
…
0
－2
－2
0
4
…

(1)、求该二次函数的表达式．

(2)、当y≥4时，求自变量x的取值范围．

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21. 为满足市场需求，某超市在八月十五“中秋节”来临前夕，购进一种品牌月饼，每盒进价是40元．超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现；当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒．

(1)、试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；

(2)、当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P（元）最大？最大利润是多少？

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22. 已知函数y＝x²＋bx＋c(b ， c为常数)的图象经过点(－2，4)．

(1)、求b ， c满足的关系式；

(2)、设该函数图象的顶点坐标是(m ， n)，当b的值变化时，求n关于m的函数解析式．

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23. 在平面直角坐标系中，设二次函数y＝－ $\frac{1}{2}$ (x－2m)²＋3－m(m是实数).

(1)、当m＝2时，判断函数图象与x轴有几个交点；

(2)、小明说二次函数图象的顶点在直线y＝－ $\frac{1}{2}$ x＋3上，你认为他的说法对吗？为什么？

(3)、已知点P(a＋1，c)，Q(4m－5＋a ， c)都在该二次函数图象上，求证：c≤ $\frac{13}{8}$ .

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24. 如图①，是一座抛物线型拱桥，小星学习二次函数后，受到该图启示设计了一建筑物造型，它的截面图是抛物线的一部分（如图②所示），抛物线的顶点在 $C$ 处，对称轴 $O C$ 与水平线 $O A$ 垂直， $O C = 9$ ，点 $A$ 在抛物线上，且点 $A$ 到对称轴的距离 $O A = 3$ ，点 $B$ 在抛物线上，点 $B$ 到对称轴的距离是1．

(1)、求抛物线的表达式；

(2)、如图②，为更加稳固，小星想在 $O C$ 上找一点 $P$ ，加装拉杆 $P A ， P B$ ，同时使拉杆的长度之和最短，请你帮小星找到点 $P$ 的位置并求出坐标；

(3)、为了造型更加美观，小星重新设计抛物线，其表达式为 $y = - x^{2} + 2 b x + b - 1 (b > 0)$ ，当 $4 \leq x \leq 6$ 时，函数 $y$ 的值总大于等于9．求 $b$ 的取值范围．

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x	…	－2	－1	0	1	2	…
y	…	0	－2	－2	0	4	…