广东省茂名市重点中学2023-2024学年高一上学期数学期中试卷

试卷更新日期：2023-11-16 类型：期中考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 设集合M＝{x|﹣1≤x＜5}，N＝{x||x|≤2}，则M∪N＝（）

A、{x|﹣1≤x≤2} B、{x|﹣2≤x≤2} C、{x|﹣1≤x＜5} D、{x|﹣2≤x＜5}

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2. “ $a > b$ ”是“ $a^{2} > b^{2}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 不等式 $\frac{3 x - 1}{2 - x} \geq 1$ 的解集是（）

A、{x| $\frac{3}{4}$ ≤x≤2} B、{x| $\frac{3}{4}$ ≤x＜2} C、{x|x＞2或x≤ $\frac{3}{4}$ } D、{x|x≥ $\frac{3}{4}$ }

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4. 使不等式 $（ 2 x + 1 ） (x - 3)$ ≥0成立的一个充分不必要条件是（）

A、x≥0 B、x＜0或x＞2 C、x∈{﹣1，3，5} D、 $x \leq - \frac{1}{2} 或 x \geq 3$

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5. 已知命题“ $\exists x \in R$ ，使 $2 x^{2} + (a - 1) x + \frac{1}{2} \leq 0$ ”是假命题，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、{a|a≤-1} B、{a|-1<a<3} C、{a|-1≤a≤3} D、{a|-3<a<1}

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6. 已知a ， b ， c∈R，则下列结论不正确的是（）

A、若ac²＞bc² ，则a＞b B、若a＜b＜0，则a²＞ab C、若c＞a＞b＞0，则 $\frac{a}{c - a} ＜ \frac{b}{c - b}$ D、若a＞b＞1，则 $a - \frac{1}{b} ＞ b - \frac{1}{a}$

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7. 集合M＝{x|x＝5k﹣2，k∈Z}，P＝{x|x＝5n+3，n∈Z}，S＝{x|x＝10m+3，m∈Z}之间的关系是（）

A、S⫋P⫋M B、S＝P⫋M C、S⫋P＝M D、P=M⫋S

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8. 关于 $x$ 的不等式 $x^{2} - (a + 1) x + a < 0$ 的解集中恰有2个整数，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、{a|-2≤a<-1或3<a≤4} B、{a|-2≤a≤-1或3≤a≤4} C、{a|-1<a<0或2<a<3} D、{a|-1≤a≤0或2≤a≤3}

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二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分.

9. 下列说法中正确的有（）

A、命题 $p ： \exists x_{0} \in R ， x_{0}^{2} + 2 x_{0} + 2 < 0$ ，则命题 $p$ 的否定是 $\forall x \in R ， x^{2} + 2 x + 2 \geq 0$ B、“ $| x | > | y |$ ”是“ $x > y$ ”的必要条件 C、命题“ $\forall x \in Z ， x^{2} > 0$ ”是真命题 D、“ $m < 0$ ”是“关于 $x$ 的方程 $x^{2} - 2 x + m = 0$ 有一正一负根”的充要条件

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10. 不等式 $a x^{2} + b x + c \geq 0$ 的解集是 ${x | - 1 \leq x \leq 2}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $a + b = 0$ B、 $a + b + c > 0$ C、 $c > 0$ D、 $b < 0$

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11. 若 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $a + b = 4$ ，则下列不等式恒成立的（）

A、 $\frac{1}{a b} \geq \frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq 1$ C、 $\sqrt{a b} \geq 2$ D、 $a^{2} + b^{2} \geq 8$

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12. 已知关于x的不等式 $a (x - 1) (x + 3) + 2 > 0$ 的解集是 $(x_{1} ， x_{2})$ ，其中 $x_{1} < x_{2}$ ，则下列结论中正确的是（）

A、 $x_{1} + x_{2} + 2 = 0$ B、 $- 3 < x_{1} < x_{2} < 1$ C、 $| x_{1} - x_{2} | > 4$ D、 $x_{1} x_{2} + 3 < 0$

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 命题“∃x≥1，不等式x²≥1”的否定是.

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14. 已知集合 $A = {4 ， - 2 m} ， B = {4 ， m^{2}}$ ，且 $A = B$ ，则 $m$ 的值为.

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15. 已知实数 $x$ ， $y$ 满足 $- 4 \leq x - y \leq - 1$ ， $- 1 \leq 4 x - y \leq 5$ ，则z=9x-y的取值范围是.

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16. $已知正数 x 、 y 、 z 满足 x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1 ，则 \frac{1 + z}{2 x y z} 的最小值为$ .

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四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 设全集U= $\{1，2 ， 3，4 ， 5，6\}$ ，集合A= $\{1，3 ， 4\}$ ， B= $\{1，4 ， 5，6\}$ .

(1)、求 $A \cap B$ 及 $A \cup B$ ；

(2)、求 $(C_{U}^{} A) \cap B$ .

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18.

(1)、已知0＜x＜1，求 $y = x (3 - 3 x)$ 的最大值；

(2)、设a ， b均为正数，且a+b＝1，求 $\frac{1 + a}{a} + \frac{2}{b}$ 的最小值．

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19.

(1)、已知集合 $A = {x | \frac{5 x + 1}{x + 1} < 3}$ ， $B = {x | x^{2} - (2 m + 1) x + m^{2} + m < 0}$ ，若B $\subseteq$ A，求实数m的取值范围．

(2)、已知集合C＝{x|﹣2≤x≤5}，D＝{x|m+1≤x≤2m﹣1}，若C∩D≠∅，求实数m的取值范围．

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20. 某厂家拟在2023年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m万元 $(m \geq 0)$ 满足 $x = 4 - \frac{k}{m + 1}$ （k为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件．已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按 $\frac{8 + 16 x}{x}$ 元来计算）.

(1)、将2023年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；

(2)、该厂家2023年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？最大利润是多少？

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21.

(1)、求二次函数y＝2x²﹣3x+5在﹣2≤x≤2上的最大值和最小值，并求对应的x的值．

(2)、已知函数y＝x²+2ax+1在﹣1≤x≤2上的最大值为4，求a的值．

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22. 已知函数 $y = a x^{2} - (a + 2) x + 2$ ， $a \in R .$

(1)、 $y < 3 - 2 x$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、当 $a > 0$ 时，求不等式 $y \geq 0$ 的解集；

(3)、若存在m>0使关于x的方程 $a x^{2} - (a + 2) | x | + 2 = m + \frac{1}{m} + 1$ 有四个不同的实根，求实数 $a$ 的取值范围.

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