陕西省咸阳市武功县2022-2023学年高二上学期数学期中试卷

试卷更新日期：2023-11-16 类型：期中考试

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一、选择题

1. 不等式 $x^{2} - 3 x - 4 < 0$ 的解集为（）

A、 $(- \infty ， - 1) ∪ (4 ， + \infty)$ B、 $(- 4 ， 1)$ C、 $(- 1 ， 4)$ D、 $(- \infty ， - 4) ∪ (1 ， + \infty)$

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2. 已知 ${a_{n}}$ 是等差数列， $a_{1} + a_{7} = - 2$ ， $a_{3} = 2$ ，则 ${a_{n}}$ 的公差d等于（）

A、3 B、4 C、-3 D、-4

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3. 若 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b} < 0$ ，则下列不等式正确的是（）

A、 $| a | > | b |$ B、 $a < b$ C、 $a + b > a b$ D、 $a^{3} > b^{3}$

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4. 若 $x > 0$ ，则 $x + \frac{4}{x} - 2$ 有（）

A、最小值1 B、最小值2 C、最大值1 D、最大值2

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5. 下列不等式中正确的是（）

A、 $a^{2} + 1 > 2 a$ B、 $x^{2} + \frac{1}{x^{2} + 1} \geq 1 (x > 0)$ C、 $| x + \frac{1}{x} | \geq 2$ D、 $\frac{a + b}{\sqrt{a b}} \leq 2$

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6. 在 $△ A B C$ 中，若 $b = 3$ ， $c = \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ ， $B = 45 °$ ，则此三角形解的情况为（）

A、无解 B、两解 C、一解 D、解的个数不能确定

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7. 在 $△ A B C$ 中，若三边之比 $a ： b ： c = 2 ： 3 ： 4$ ，则 $\frac{s i n A - 2 s i n B}{2 s i n C}$ 等于（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、2 D、-2

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8. 等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{3} = 6$ ， $S_{6} = 21$ ，则 $S_{9} =$ （）.

A、27 B、45 C、18 D、36

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9. 若数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 1} = 2 a_{n} - 1$ ，则称 ${a_{n}}$ 为“对奇数列”．已知正项数列 ${b_{n} + 1}$ 为“对奇数列”，且 $b_{1} = 2$ ，则 $b_{n} =$ （）

A、 $2 \times 3^{n - 1}$ B、 $2^{n - 1}$ C、 $2^{n + 1}$ D、 $2^{n}$

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10. 有这样一道题目：“戴氏善屠，日益功倍初日屠五两，今三十日居讫，向共屠几何？”其意思为：“有一个姓戴的人善于屠肉，每一天屠完的肉是前一天的2倍，第一天屠了5两肉，共屠了30天，问一共屠了多少两肉？”在这个问题中，该屠夫最后5天所屠肉的总两数为（）

A、 $5 (2^{30} - 1)$ B、 $155 (2^{5} - 1)$ C、 $155 \times 2^{25}$ D、 $315 \times 2^{25}$

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11. 东寺塔与西寺塔为昆明市城中古景，两塔一西一东，已有1100多年历史.东寺塔基座为正方形，塔身有13级.如图，在A点测得塔底在北偏东 $60 °$ 的点D处，塔顶C的仰角为 $30 °$ .在A的正东方向且距D点 $50 m$ 的B点测得塔底在北偏西 $45 °$ ，则塔的高度CD约为（）
（参考数据： $\sqrt{6} \approx 2.4$ ）

A、 $30 m$ B、 $35 m$ C、 $40 m$ D、 $45 m$

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12. 若关于x的不等式 $x^{2} - (a + 3) x + 2 a + 2 < 0$ 的解集中恰有三个整数，则实数a的取值范围为（）

A、 $[- 3 ， - 2)$ B、 $[- 3 ， - 2) ∪ (4 ， 5]$ C、 $(- 3 ， - 2) ∪ (4 ， 5)$ D、 $[- 3 ， - 2] ∪ [4 ， 5]$

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二、填空题

13. 在正项等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{4} a_{8} a_{12} = 8$ ，则 $l o g_{2} a_{2} + l o g_{2} a_{14} =$ ．

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14. 若变量x ， y满足约束条件 ${\begin{cases} x + y ≤ 4 \\ x - y ≤ 2 \\ x \geq 0 ， y \geq 0 \end{cases}$ ，则 $2 x + y$ 的最大值为．

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15. 已知 $a_{1}$ ， $a_{2} \in (0 ， 1)$ 记 $M = a_{1} a_{2}$ ， $N = a_{1} + a_{2} - 1$ 则M与N的大小关系为.

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16. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和 $S_{n}$ 满足 $S_{n} = \frac{n^{2} + n}{2}$ ，则数列 ${\frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}}$ 的前2022项的和为．

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三、解答题

17. 已知：等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{3} + a_{4} = 15$ ， $a_{2} a_{5} = 54$ ，公差 $d < 0$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式 $a_{n}$ ；

(2)、求数列 ${a_{n}}$ 的前n项和 $S_{n}$ 的最大值及相应的n的值．

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18. 已知x ， y都是正实数，

(1)、若 $2 x + y = 1$ ，求 $\frac{2}{x} + \frac{1}{y}$ 的最小值．

(2)、若 $3 x + 2 y = 12$ ，求xy的最大值；

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19. 在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C对应的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $\sqrt{3} a c o s B = b s i n A$ ．

(1)、求角B的大小；

(2)、若 $b = 1$ ， $△ A B C$ 的面积为 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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20. 请解答下列问题：

(1)、若关于的不等式 $x^{2} - 3 x + 2 a^{2} > 0 (a \in R)$ 的解集为 ${x | x < 1$ 或 $x > b}$ ，求a ， b的值.

(2)、求关于的不等式 $a x^{2} - 3 x + 2 > 5 - a x (a \in R ， a \neq 0)$ 的解集.

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21. 已知 $△ A B C$ 的内角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ，已知 $a + c = 2 b c o s A$ ．

(1)、证明： $B = 2 A$ ；

(2)、设D为边BC上的中点，点E在AB边上，满足 $D E ⊥ A B$ ，且 $A = \frac{π}{6}$ ，四边形ACDE的面积为 $\frac{15 \sqrt{3}}{8}$ ，求线段CE的长．

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22. 设 ${a_{n}}$ 是递增的等差数列， ${b_{n}}$ 是等比数列，已知 $a_{1} = 1$ ， $b_{1} = 4$ ， $b_{2} = 2 a_{4}$ ， $b_{3} = 8 a_{2}$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $c_{n} = \frac{2}{a_{n} l o g_{2} b_{n}}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ ；

(3)、设 $d_{n} = \frac{b_{n} + 2}{3^{a_{n}}}$ ，记数列 ${d_{n}}$ 的前n项和为 $P_{n}$ ，证明： $P_{n} < 5$ ．

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