吉林省辽源市多校2023-2024学年高一上学期数学期中试卷

试卷更新日期：2023-11-16 类型：期中考试

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一、单选题：每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求．

1. 已知集合 $A = {x | x < 1} ， B = {x | - 2 < x < 2}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${x | x < - 2}$ B、 ${x | - 2 < x < 1}$ C、 ${x | x < - 2 或 x > 1}$ D、 ${x | x < 1}$

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2. “ $- 2 < x < 6$ ”是“ $| x | < 2$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 已知函数 $y = f (x)$ 的定义域是 $[- 2 ， 3]$ ，则函数 $y = f (2 x - 1)$ 的定义域是（）

A、 $[- 5 ， 5]$ B、 $[- \frac{1}{2} ， 2]$ C、 $[- 2 ， 3]$ D、 $[\frac{1}{2} ， 2]$

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4. 下列函数中，既是偶函数又在区间 $(0 ， + \infty)$ 上是单调递增的有（）

A、 $y = 2^{- | x |}$ B、 $y = x^{\frac{2}{3}}$ C、 $y = x^{2} + x - 1$ D、 $y = x^{3}$

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5. 已知 $f (x)$ 在 $R$ 上是奇函数，且满足 $f (x + 4) = f (x)$ ，当 $x \in (0 ， 2)$ 时， $f (x) = 2 x^{2}$ ，则 $f (2019)$ 等于（）

A、 $- 2$ B、2 C、 $- 98$ D、98

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6. 函数 $f (x) = e^{x (x - t)}$ 在 $(2 ， 3)$ 上单调递减，则 $t$ 的取值范围是（）

A、 $[6 ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， 6]$ C、 $(- \infty ， 4]$ D、 $[4 ， + \infty)$

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7. 若偶函数 $f (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上单调递减，且 $f (2) = 0$ ，则不等式 $\frac{f (x) + f (- x)}{3 x} < 0$ 的解集为（）

A、 $(- 2 ， 2)$ B、 $(- 2 ， 0) ∪ (2 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， - 2) ∪ (2 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， - 2) ∪ (0 ， 2)$

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8. 已知函数 $f (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2} ， x \in R$ ，若对任意 $x \in [m ， m + 1]$ ，都有 $f (2 m - x) + f (m - x) > 0$ 成立，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， + \infty)$ B、 $[0 ， + \infty)$ C、 $(2 ， + \infty)$ D、 $[2 ， + \infty)$

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二、多选题：每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 若 $a > b$ ，则下列结论一定成立的是（）

A、 $2^{a} > 2^{b}$ B、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ C、 $\sqrt[3]{b} < \sqrt[3]{a}$ D、 $a c > b c (c \neq 0)$

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10. 下列结论中，正确的是（）

A、函数 $y = {(\frac{1}{3})}^{- x^{2} + 2 x}$ 的单调增区间是 $(1 ， + \infty)$ B、命题“所有的素数都是奇数”的否定是假命题 C、 $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ 是奇函数 D、函数 $f (x) = a^{x - 2} - 3 (a > 0 ， a \neq 1)$ 的图像必过定点 $(2 ， - 2)$

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11. 若 $a > 0 ， b > 0 ， a + b = 2$ ，则下列不等式对一切满足条件的 $a ， b$ 恒成立的是（）

A、 $a b \leq 1$ B、 $\sqrt{a} + \sqrt{b} \leq \sqrt{2}$ C、 $a^{2} + b^{2} \geq 2$ D、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq 2$

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12. 已知函数 $f (x)$ 的定义域是 $(0 ， + \infty)$ ，且 $f (x y) = f (x) + f (y)$ ，当 $x > 1$ 时， $f (x) < 0 ， f (2) = - 1$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (1) = 0$ B、函数 $f (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上是减函数 C、 $f (\frac{1}{2022}) + f (\frac{1}{2021}) + \cdot \cdot \cdot + f (\frac{1}{3}) + f (\frac{1}{2}) + f (1) + f (2) + f (3) + \cdot \cdot \cdot + f (2021) + f (2022) = 2022$ D、不等式 $f (x - 3) - f (\frac{1}{x}) + 2 \leq 0$ 的解集为 $[4 ， + \infty)$

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三、填空题：每小题5分，共20分．

13. 已知幂函数 $f (x) = (m^{2} - 2 m - 2) x^{m^{2} - 2}$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上为增函数，则实数 $m$ 的值是．

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14. 若函数 $f (x) = {\begin{cases} - x + 3 - 3 a ， x < 0 \\ a^{x} ， x \geq 0 \end{cases}$ 是 $R$ 上的减函数，则实数 $a$ 的取值范围是．

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15. 函数 $y = \frac{2 - 2^{x}}{2^{x} - 1}$ 的值域为．

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16. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} | x + 2 | ， - 4 \leq x < 0 \\ 2 - e^{x} ， x \geq 0 \end{array}$ ，若存在 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3} (x_{1} < x_{2} < x_{3})$ ，使 $f (x_{1}) = f (x_{2}) = f (x_{3})$ ，则 $x_{1} + x_{2} + x_{3}$ 的取值范围是．

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四、解答题

17. 已知命题 $p ： x^{2} - 6 x + 8 < 0$ ，命题 $q ： m - 2 < x < m + 1$ ．

(1)、若命题 $p$ 为真命题，求实数 $x$ 的取值范围．

(2)、若 $p$ 是 $q$ 的充分条件，求实数 $m$ 的取值范围；

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18. 计算：

(1)、 ${(2 \frac{1}{4})}^{0.5} - 0.7 5^{2} + 6^{- 2} \times {(\frac{8}{27})}^{- \frac{2}{3}}$ ；

(2)、 $(l g 5)^{2} + 3 l g 2 + 2 l g 5 + l g 2 \times l g 5$ ．

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19. 设 $f (x) = x^{2} + (1 - a) x - a$ ．

(1)、若不等式 $f (x) \geq - 16$ 对一切实数 $x$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、解关于 $x$ 的不等式 $f (x) < 0 (a \in R)$ ．

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20. 已知函数 $f (x) = \frac{3 x + b}{a x^{2} + 4}$ 是定义在区间 $(- 2 ， 2)$ 上的奇函数，且 $f (1) = \frac{3}{5}$ ．

(1)、用定义法判断函数 $f (x)$ 在区间 $(- 2 ， 2)$ 上的单调性并证明；

(2)、解不等式 $f (m^{2} + 1) + f (2 m - 2) > 0$ ．

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21. 已知函数 $f (x)$ 对于任意实数 $x ， y$ ，恒有 $f (x + y) = f (x) + f (y)$ ，且当 $x < 0$ 时， $f (x) < 0$ ， $f (1) = 3$ ．

(1)、求 $f (x)$ 在区间 $[- 4 ， 2]$ 上的最大值和最小值；

(2)、若在区间 $[1 ， 3]$ 上不存在实数 $x$ ，满足 $f (x^{2}) > f (a x) - 3$ ，求实数 $a$ 的取值范围．

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22. 已知函数 $f (x) = 2^{x} - 4^{x} ， x \in [- 2 ， 1]$

(1)、求 $f (x)$ 的值域：

(2)、若对 $\forall x \in [- 2 ， 1]$ ，不等式 $f (x) > 2 - m 2^{x}$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围？

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