吉林省长春重点学校2023-2024学年高二上学期数学11月期中试卷

试卷更新日期：2023-11-16 类型：月考试卷

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一、单选题（本题共8小题，每题5分，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 已知圆的方程是 ${(x - 1)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 4$ ，其圆心和半径分别是（）

A、 $(- 1 ， - 3)$ ， 2 B、 $(1 ， 3)$ ， 4 C、 $(1 ， 3)$ ， 2 D、 $(1 ， 3)$ ， 4

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2. 过直线 $x + y - 3 = 0$ 和 $2 x - y + 6 = 0$ 的交点，且与直线 $2 x + y - 3 = 0$ 垂直的直线方程是（）

A、 $4 x + 2 y - 9 = 0$ B、 $4 x - 2 y + 9 = 0$ C、 $x + 2 y - 9 = 0$ D、 $x - 2 y + 9 = 0$

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3. 如图，在三棱锥OABC中，点P ， Q分别是OA ， BC的中点，点D为线段PQ上一点，且 $\vec{P D}$ $= 2 \vec{D Q}$ ，若记 $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ， $\vec{O C} = \vec{c}$ ，则 $\vec{O D}$ 等于（）

A、 $\frac{1}{6} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b} + \frac{1}{3} \vec{c}$ B、 $\frac{1}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b} + \frac{1}{3} \vec{c}$ C、 $\frac{1}{3} \vec{a} + \frac{1}{6} \vec{b} + \frac{1}{3} \vec{c}$ D、 $\frac{1}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b} + \frac{1}{6} \vec{c}$

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4. 过点 $P (2 ， 4)$ 引圆 ${(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$ 的切线，则切线的方程为（）

A、 $x = - 2$ 或 $4 x + 3 y - 4 = 0$ B、 $4 x - 3 y + 4 = 0$ C、 $x = 2$ 或 $4 x - 3 y + 4 = 0$ D、 $4 x + 3 y - 4 = 0$

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5. 唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为 $B (3 ， 4)$ ，若将军从点 $A (- 2 ， 0)$ 处出发，河岸线所在直线方程为 $y = x$ ，则“将军饮马”的最短总路程为（）．

A、5 B、 $3 \sqrt{5}$ C、45 D、 $5 \sqrt{3}$

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6. 如图，已知正四面体ABCD中， $\vec{A E} = \frac{1}{2} \vec{A B}$ ， $\vec{C F} = \frac{1}{2} \vec{C D}$ ，则异面直线DE和BF所成角的余弦值等于（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ D、 $\frac{3 \sqrt{5}}{10}$

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7. 阿波罗尼斯证明过这样的命题：平面内到两定点距离之比为常数 $k (k > 0 ， k \neq 1)$ 的点的轨迹是圆，后人将这类圆称为阿氏圆．在平面直角坐标系中，点 $A (- 1 ， 0) ， B (1 ， 0)$ ，动点P到点 $A ， B$ 的距离之比为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，当 $P ， A ， B$ 不共线时， $△ P A B$ 面积的最大值（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$

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8. 若圆M： $x^{2} + y^{2} - 6 x + 8 y = 0$ 上至少有3个点到直线l： $y - 1 = k (x - 3)$ 的距离为 $\frac{5}{2}$ ，则k的取值范围是（）

A、 $[- \sqrt{3} ， 0) \cup (0 ， \sqrt{3}]$ B、 $[- 3 ， 3]$ C、 $(- \infty ， - \sqrt{3}] \cup [\sqrt{3} ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， \sqrt{3}) ∪ (\sqrt{3} ， + \infty)$

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二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。）

9. 若 $x^{2} + y^{2} - 2 a x + 2 a y + 3 a^{2} - 3 a + 2 = 0$ 表示圆的一般方程，则实数 $a$ 的值可以（）

A、2 B、 $\sqrt{2}$ C、1 D、 $\frac{4}{3}$

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10. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， - 1 ， 0) ， \vec{b} = (- 1 ， 0 ， 1) ， \vec{c} = (2 ， - 3 ， 1)$ ，则（）

A、向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ B、 $(\vec{a} + 2 \vec{b}) \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = 7$ C、 $(\vec{a} + 5 \vec{b}) ⊥ \vec{c}$ D、 $\vec{a} ∥ (\vec{b} - \vec{c})$

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11. 点 $P$ 在圆 $C_{1} ： x^{2} + y^{2} = 1$ 上，点 $Q$ 在圆 $C_{2} ： x^{2} + y^{2} - 6 x + 8 y + 24 = 0$ 上，则（）

A、 $| P Q |$ 的最小值为3 B、 $| P Q |$ 的最大值为7 C、两个圆心所在的直线斜率为 $- \frac{4}{3}$ D、两个圆相交弦所在直线的方程为 $6 x - 8 y - 25 = 0$

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12. 如图，在四棱锥 $S - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是正方形， $S A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $S A = A B$ ， $O ， P$ 分别是 $A C ， S C$ 的中点， $M$ 是棱 $S D$ 上的动点，则下列说法中正确的是（）

A、 $O M ⊥ A P$ B、存在点 $M$ ，使 $O M / /$ 平面 $S B C$ C、存在点 $M$ ，使直线 $O M$ 与 $A B$ 所成的角为 $30 °$ D、点 $M$ 到平面 $A B C D$ 与平面 $S A B$ 的距离和为定值

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三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 直线 $l_{1}$ ： $x + y + 3 = 0$ 与直线 $l_{2}$ ： $2 x + 2 y + 3 = 0$ 的距离为．

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14. 已知直线 $l$ 过点 $(3 ， 4)$ ，且在 $x$ 轴上的截距是在 $y$ 轴上的截距的两倍，则直线 $l$ 的方程为．

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15. 已知四面体 $O A B C$ ，空间的一点 $M$ 满足 $\vec{O M} = \frac{1}{4} \vec{O A} + \frac{1}{6} \vec{O B} + λ \vec{O C}$ ，若 $M ， A ， B ， C$ 共面，则 $λ =$ .

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16. 若关于 $x$ 的方程 $\sqrt{4 x - x^{2}} - k x + 4 k - 3 = 0$ 有且只有两个不同的实数根，则实数 $k$ 的取值范围是．

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四、解答题（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 已知直线 $l_{1} ： x + m y - 1 = 0$ ， $l_{2} ： (m - 2) x + 3 y + 3 = 0$ .

(1)、已知 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，求 $m$ 的值；

(2)、已知 $l_{1} / / l_{2}$ ，求 $m$ 的值.

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18. 已知圆C经过点 $A (3, - 2)$ 和 $B (1, 0)$ ，且圆心在直线 $x + y + 1 = 0$ 上.

(1)、求圆C的方程；

(2)、直线l经过 $(2, 0)$ ，并且被圆C截得的弦长为 $2 \sqrt{3}$ ，求直线l的方程.

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19. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 为 $B B_{1}$ 的中点.

(1)、求证： $B C_{1} / /$ 平面 $A D_{1} E$ .

(2)、求直线 $A D$ 与平面 $A D_{1} E$ 所成角的正弦值.

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20. 已知圆 $C ： {(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 9$ ，直线 $l ： (m + 1) x - (2 m + 1) y - m - 2 = 0$ .

(1)、求证：直线l与圆C恒有两个交点；

(2)、若直线l与圆C交于点A ， B ，求 $△ C A B$ 面积的最大值，并求此时直线l的方程.

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21. 如图，在四棱锥 $S - A B C D$ 中，四边形 $A B C D$ 是矩形， $△ S A D$ 是正三角形，且平面 $S A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A B = 1$ ， $P$ 为棱 $A D$ 的中点，四棱锥 $S - A B C D$ 的体积为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ．

(1)、若 $E$ 为棱 $S B$ 的中点，求证： $P E / /$ 平面 $S C D$ ；

(2)、在棱 $S A$ 上是否存在点 $M$ ，使得平面 $P M B$ 与平面 $S A D$ 所夹角的余弦值为 $\frac{2 \sqrt{3}}{5}$ ？若存在，指出点 $M$ 的位置并给以证明；若不存在，请说明理由.

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22. 已知定点 $M (1 ， 0)$ ， $N (2 ， 0)$ ，动点P满足 $| P N | = \sqrt{2} | P M |$ .

(1)、求动点P的轨迹C的方程；

(2)、若A ， B为（1）中轨迹C上两个不同的点，O为坐标原点.设直线 $O A$ ， $O B$ ， $A B$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ， $k$ .当 $k_{1} k_{2} = 3$ 时，求k的取值范围.

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