吉林省长春市重点学校2023-2024学年高三上学期数学期中试卷

试卷更新日期：2023-11-16 类型：期中考试

进入出卷网下载

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项一项是符合题目要求的.

1. 已知集合 $A = {x | | x | \leq 3 ， x \in N}$ ， $B = {x | - 2 < x < 5}$ ，则 $A \cap B$ 中元素的个数为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

查看试题解析
2. 已知复数 $z$ 满足 $(2 + i) z = 2 - i$ ，则 $z =$ （）

A、 $\frac{5 + 4 i}{3}$ B、 $\frac{5 - 4 i}{3}$ C、 $\frac{3 + 4 i}{5}$ D、 $\frac{3 - 4 i}{5}$

查看试题解析
3. 在 $△ A B C$ 中， $| \vec{A B} - \vec{A C} | = \sqrt{3} | \vec{A B} + \vec{A C} | ， A B = A C = 2$ ，则 $\vec{A B} \cdot \vec{A C} =$ （）

A、 $- 2 \sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $- 2$ D、2

查看试题解析
4. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的一个焦点与抛物线 $y^{2} = 4 \sqrt{3} x$ 的焦点重合，长轴长等于圆 $x^{2} + y^{2} - 2 x - 15 = 0$ 的半径，则椭圆 $C$ 的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{12} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1$

查看试题解析
5. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + 16 l n x - a x$ 在区间 $[1 ， 3]$ 上单调递减，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(17 ， + \infty)$ B、 $(\frac{43}{3} ， + \infty)$ C、 $[17 ， + \infty)$ D、 $[\frac{43}{3} ， + ∞)$

查看试题解析
6. 直线 $l ： y = k x + 1$ 圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 1$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点，则“ $k = - 1$ ”是“ $| A B | = \sqrt{2}$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分又不必要条件

查看试题解析
7. 设 $0 < θ < \frac{π}{2}$ ，若 ${(s i n θ + c o s θ)}^{2} + \sqrt{3} c o s 2 θ = 3$ ，则 $s i n 2 θ =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{3}{4}$

查看试题解析
8. 已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ，若 $x + y = x y$ ，则 $2 x + y$ 的最小值是（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $4 \sqrt{2}$ C、 $3 + 2 \sqrt{2}$ D、 $3 + 4 \sqrt{2}$

查看试题解析

二、多选题：本题共4小题，每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中，至少有两项是符合题目要求的.选对得5分，少选得2分，多选或错选得0分.

9. 下列说法正确的是（）

A、一组数1，5，6，7，10，13，15，16，18，20的第75百分位数为16 B、在经验回归方程 $\hat{y} = - 0.6 x + 2$ 中，当解释变量 $x$ 每增加1个单位时，相应变量 $\hat{y}$ 增加 $0.6$ 个单位 C、数据 $a_{1} ， a_{2} ， a_{3} ， \cdot \cdot \cdot ， a_{n}$ 的方差为 $M$ ，则数据 $3 a_{1} + 1 ， 3 a_{2} + 1 ， 3 a_{3} + 1 ， \cdot \cdot \cdot ， 3 a_{n} + 1$ 的方差为 $9 M$ D、一个样本的方差 $s^{2} = \frac{1}{50} \sum_{i = 1}^{50} {(x_{i} - 2)}^{2}$ ，则这组样本数据的总和等于100

查看试题解析
10. 已知函数 $f (x) = s i n^{2} x + s i n x c o s x + \frac{1}{2}$ 的图象为C ，以下说法中正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的最大值为 $\frac{\sqrt{2} + 1}{2}$ B、图象C关于 $(\frac{π}{8} ， 0)$ 中心对称 C、函数 $f (x)$ 在区间 $(- \frac{π}{8} ， \frac{3 π}{8})$ 内是增函数 D、函数 $f (x)$ 图象上，横坐标伸长到原来的2倍，向左平移 $\frac{π}{4}$ 可得到 $y = \frac{\sqrt{2}}{2} s i n x + 1$

查看试题解析
11. 在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面 $△ A B C$ 为等腰直角三角形，且满足 $A B = A C = A A_{1} = 1$ ，点 $P$ 满足 $\vec{B P} = λ \vec{B C} + μ \vec{B B_{1}}$ ，其中 $λ \in [0 ， 1]$ ， $μ \in [0 ， 1]$ ，则下列说法正确的是（）

A、当 $λ = 1$ 时， $△ A B P$ 的面积 $S$ 的最大值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、当 $μ = 1$ 时，三棱锥 $P - A_{1} B C$ 的体积为定值 C、当 $λ = \frac{1}{2}$ 时，有且仅有一个点 $P$ ，使得 $A_{1} P ⊥ B P$ D、当 $μ = \frac{1}{2}$ 时，存在点 $P$ ，使得 $A_{1} B ⊥$ 平面 $A B_{1} P$

查看试题解析
12. 已知定义域为 $R$ 的函数 $f (x)$ 对任意实数 $x ， y$ 都有 $f (x + y) + f (x - y) = 2 f (x) f (y)$ ，且 $f (\frac{1}{2}) = 0$ ，则以下结论正确的有（）

A、 $f (0) = - 1$ B、 $f (x)$ 是偶函数 C、 $f (x)$ 关于 $(\frac{1}{2} ， 0)$ 中心对称 D、 $f (1) + f (2) + ⋯ + f (2022) = 0$

查看试题解析

三、填空题：本题共4小题，每小题5分,共20分.

13. ${(\sqrt{x} - \frac{1}{2} x)}^{7}$ 的展开式中含 $x^{5}$ 项的系数为.

查看试题解析
14. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n} ， a_{1} = 1 ， a_{n + 1} = S_{n}$ ，则 $a_{n}$ =.

查看试题解析
15. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，过双曲线 $C$ 上一点 $P$ 向 $y$ 轴作垂线，垂足为 $Q$ ，若 $| P Q | = | F_{1} F_{2} |$ 且 $P F_{1}$ 与 $Q F_{2}$ 垂直，则双曲线 $C$ 的离心率为.

查看试题解析
16. 如图，圆柱 $O O_{1}$ 的底面半径和母线长均为3， $A B$ 是底面直径，点 $C$ 在圆 $O$ 上且 $O C ⊥ A B$ ，点 $E$ 在母线 $B D$ 上， $B E = 2$ ，点 $F$ 是上底面的一个动点，且 $O_{1} F = \sqrt{6}$ ，则四面体 $A C E F$ 的外接球的体积为.

查看试题解析

四、解答题：17题10分，18-22题每题12分，共70分.

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项的和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = 2 a_{n} - 2 (n \in N^{*})$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = l o g_{2} a_{n} ， c_{n} = a_{n} \cdot (b_{n} + 1)$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

查看试题解析
18. 在 $Δ A B C$ 中，内角 $A$ . $B$ . $C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $(2 b - c) \cos A = a \cos C$ ．

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、若点 $D$ 满足 $\overset{⇀}{A D} = 2 \overset{⇀}{A C}$ ，且 $B D = 3$ ，求 $2 b + c$ 的取值范围．

查看试题解析
19. 已知多面体 $P Q A B C D$ ，四边形 $A B C D$ 是等腰梯形， $A D ∥ B C$ ， $B C = 2 A D = 2 A B = 4$ ，四边形 $P Q A D$ 是菱形， $∠ Q A D = \frac{π}{3}$ ， E ， F分别为QA ， BC的中点， $Q F = \sqrt{6}$ .

(1)、求证：平面 $Q P D A ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、求点 $E$ 到平面 $Q F D$ 的距离.

查看试题解析
20. 甲、乙两人进行“抗击新冠疫情”知识竞赛，比赛采取五局三胜制，约定先胜三局者获胜，比赛结束．假设在每局比赛中，甲获胜的概率为 $\frac{2}{3}$ ，乙获胜的概率为 $\frac{1}{3}$ ，各局比赛相互独立．

(1)、求甲获胜的概率；

(2)、设比赛结束时甲和乙共进行了 $X$ 局比赛，求随机变量 $X$ 的分布列及数学期望．

查看试题解析
21. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，且点 $(- \sqrt{3} ， \frac{1}{2})$ 在椭圆 $C$ 上．

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、若直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于 $P ， Q$ 两点，线段 $P Q$ 的中点为 $H$ ， $O$ 为坐标原点，且 $| O H | = 1$ ，求 $△ P O Q$ 面积的最大值．

查看试题解析
22. 已知函数 $f (x) = \frac{x - a}{l n x}$ ，其中a为实数.

(1)、当 $a = 2$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(2 ， f (2))$ 处的切线方程；

(2)、是否存在实数a，使得 $f (x) ＞ \sqrt{x}$ 恒成立？若不存在，请说明理由，若存在，求出a的值并加以证明.

查看试题解析