广东省清远市五校2023-2024学年高一上学期数学期中试卷

试卷更新日期：2023-11-16 类型：期中考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 集合 ${0 ， 3 ， 4}$ 的真子集的个数为（）

A、8 B、7 C、6 D、4

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2. “ $a^{2} + b^{2} = 2 a b$ ”是“ $a = b$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 函数 $y = \frac{\sqrt{x}}{4 - x^{2}}$ 的定义域是（）

A、 $[0 ， 2) ∪ (2 ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， - 2) ∪ (- 2 ， 0]$ D. C、 $[0 ， 2)$ D、 $(- 2 ， 0]$

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4. 已知 $a < 0 < b$ ，下列不等式错误的是（）

A、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ B、 $a + c < b + c$ C、 $a^{2} < a b$ D、 $a c^{2} ⩽ b c^{2}$

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5. 函数 $f (x) = \frac{1}{x^{2} + | x |}$ 的图象为（）

A、 B、 C、 D、

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6. 下列各组中的两个函数为同一函数的是（）

A、 $y_{1} = \frac{x^{2} - 16}{x - 4}$ ， $y_{2} = x + 4$ B、 $f (x) = x - 1$ ， $g (x) = \sqrt{x^{2}} - 1$ C、 $f_{1} (x) = 1$ ， $f_{2} (x) = x^{0}$ D、 $f (x) = x^{2} - 2 x - 1$ ， $g (t) = t^{2} - 2 t + 1$

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7. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} (a - 2) x + 4 ， x ⩽ 1 \\ \frac{3 a}{x} ， x > 1 \end{array}$ 是 $R$ 上的减函数，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， 1)$ B、 $(0 ， 1]$ C、 $(0 ， 2)$ D、 $(0 ， 2]$

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8. 已知命题：“ $\exists x \in R$ ， $a x^{2} - 2 a x - 4 ⩾ 0$ ”为假命题，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- 4 ， 0]$ B、 $(- 4 ， 0)$ C、 $[- 4 ， 0]$ D、 $(- \infty ， - 4) ∪ (0 ， + \infty)$

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二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。

9. 已知集合 $A = {1 ， 3 ， \sqrt{m}}$ ， $B = {1 ， m}$ ，若 $B \subseteq A$ ，则 $m$ 的值可以是（）

A、0 B、1 C、 $\sqrt{3}$ D、3

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10. 若 $a ， b \in R$ ， $a b > 0$ ，且 $a + b = 1$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ 的可能取值为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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11. 德国数学家狄利克雷（1805~1859）在1837年时提出：“如果对于 $x$ 的每一个值， $y$ 总有一个完全确定的值与之对应，那么 $y$ 是 $x$ 的函数.”这个定义较清楚地说明了函数的内涵.只要有一个法则，使得取值范围中的每一个 $x$ ，有一个确定的 $y$ 和它对应就行了，不管这个法则是用公式还是用图象、表格等形式表示，例如狄利克雷函数 $D (x)$ ，即：当自变量取有理数时，函数值为1；当自变量取无理数时，函数值为0，以下关于狄利克雷函数 $D (x)$ 的结论正确的有（）

A、 $D (\sqrt{2}) = 1$ B、 $D (x)$ 的值域为 $[0 ， 1]$ C、 $D (x)$ 的定义域为 $R$ D、 $D (x - 1) = D (x)$

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12. 定义 $f (x) = [x]$ （其中 $[x]$ 表示不小于 $x$ 的最小整数）为“向上取整函数”.例如 $[- 1.1] = - 1$ ， $[2.1] = 3$ ， $[4] = 4$ .以下描述正确的是（）

A、若 $f (x) = 2023$ ，则 $x \in (2022 ， 2023]$ B、若 ${[x]}^{2} - 5 [x] + 6 ⩽ 0$ ，则 $x \in (1 ， 3]$ C、 $f (x) = [x]$ 是 $R$ 上的奇函数 D、若 $f (x) = f (y)$ ，则 $| x - y | < 1$

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三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 命题“ $\forall a \in [0 ， 1]$ ， $a^{4} + a^{2} > 1$ ”的否定是.

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14. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} f (x + 1) ， x ⩽ 0 \\ - x^{2} + 2 x ， x > 0 \end{array}$ ，则 $f (f (- 3)) =$ .

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15. 已知幂函数 $f (x) = (m^{2} - 3 m + 3) x^{m + 1}$ 的图象关于原点对称，则满足 ${(a + 1)}^{m} > {(3 - 2 a)}^{m}$ 成立的实数a的取值范围为.

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16. 已知函数 $f (x) = a x^{2} + b x + c$ 的两个零点为 $- 2$ ， 3，且 $f (- \frac{b}{2 a}) > 0$ ，则下列说法正确的序号为.
① $a > 0$ ；
②不等式 $a x + c > 0$ 的解集为 ${x | x < 6}$ ；
③ $a + b + c > 0$ ；
④不等式 $c x^{2} - b x + a < 0$ 的解集为 ${x | - \frac{1}{3} < x < \frac{1}{2}}$ .

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四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。

17. 集合 $A = {x | 3 ⩽ x < 10}$ ， $B = {x | x^{2} - 9 x + 14 < 0}$ .

(1)、求 $A ∪ B$ ；

(2)、求 $(∁_{R} A) ∩ B$ .

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18. 已知函数 $f (x) = \frac{2 x}{x + 1}$ ， $x \in (0 ， + \infty)$ ．

(1)、判断函数 $f (x)$ 的单调性，并利用定义证明；

(2)、若 $f (2 m - 1) > f (1 - m)$ ，求实数m的取值范围．

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19. 已知集合 $A = {x | 1 < x < 3}$ ，集合 $B = {x | 2 m < x < 1 - m}$ .

(1)、若“ $x \in A$ ”是“ $x \in B$ ”的充分条件，求实数 $m$ 的取值范围；

(2)、若 $A ∩ B = \emptyset$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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20.

(1)、已知 $f (\sqrt{x}) = x - 1$ ，求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、已知 $f (x)$ 是一次函数，且满足 $f (f (x)) = f (x) + 2$ ，求 $f (x)$ 的解析式.

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21. 某公司生产纪念手册，经调研，每生产 $x$ 万册，需要生产成本 $C (x)$ 万元，若生产量低于20万册， $C (x) = x^{2} + 20 x$ ；若生产量不低于20万册， $C (x) = 54 x + \frac{2500}{x} - 500$ .上市后每册纪念册售价50元，根据市场调查发现生产的纪念册能全部售出.

(1)、设总利润为 $y$ 万元，求函数 $y = f (x)$ 的解析式（利润 $=$ 销售额 $-$ 成本）；

(2)、生产多少册纪念册时，总利润最大？并求出最大值.

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22. 已知 $f (x)$ 为偶函数，当 $x ⩾ 0$ 时， $f (x) = x^{2} - 4 x + 2$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、当 $x \in [t ， t + 1] (t ⩾ 0)$ 时， $f (x)$ 的最小值为 $g (t)$ ，求 $g (t)$ 的最小值.

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