安徽省淮南市凤台县2023-2024学年九年级上学期月考数学试卷（10月份）

试卷更新日期：2023-11-15 类型：月考试卷

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一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列 $y$ 关于 $x$ 的函数中，是二次函数的是（）

A、 $y = - 2 x + 3$ B、 $y = 1 - \frac{1}{2 x^{2}}$ C、 $y = \sqrt{x^{2} + 1}$ D、 $y = 5 x^{2} - 3 x$

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2. 若 $x = - 2$ 是一元二次方程 $x^{2} + 2 m x = 0$ 的一个根，则 $m$ 的值为（）

A、 $2$ B、 $- 2$ C、 $1$ D、 $- 1$

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3. 下列函数中，当 $x > 0$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而增大的是（）

A、 $y = 2 x^{2} + 6$ B、 $y = - 2 x + 1$ C、 $y = - x^{2} + 4$ D、 $y = - 4 (x - 2)^{2}$

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4. 一元二次方程 $3 x^{2} + x - 5 = 0$ 的根的情况是（）

A、无实数根 B、只有一个实数根 C、有两个相等的实数根 D、有两个不相等的实数根

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5. 抛物线 $y = - 5 (x - 4)^{2}$ 与抛物线 $y = 4 x^{2}$ 的相同点是（）

A、顶点相同 B、对称轴相同 C、抛物线形状相同 D、顶点都在 $x$ 轴上

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6. 利用“配方法”解一元二次方程 $x^{2} - 4 x - 5 = 0$ ，配方后，得（）

A、 $(x - 4)^{2} = 15$ B、 $(x - 4)^{2} = 17$ C、 $(x - 2)^{2} = 9$ D、 $(x - 2)^{2} = 5$

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7. 在同一平面直角坐标系中，直线 $y = k x - 1 (k$ 是常数且 $k \neq 0)$ 与抛物线 $y = k x^{2} - x$ 的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 若等腰三角形 $($ 不等边 $)$ 的一边长为 $3$ ，另两边长是关于 $x$ 的方程 $x^{2} - 8 x + 2 m + 2 = 0$ 的两个根，则 $m$ 的值为（）

A、 $7$ B、 $- 7$ 或 $6$ C、 $6.5$ 或 $7$ D、 $6.5$

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9. 抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a ， b ， c$ 是常数且 $a \neq 0)$ 的图象如图所示，下列结论正确的是（）

A、 $a b c > 0$ B、 $2 a + b = 1$ C、 $4 a + 2 b + c > 0$ D、 $b^{2} - 4 a c < 0$

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10. 如图，点 $M$ 和点 $N$ 同时从正方形 $A B C D$ 的顶点 $A$ 出发，点 $M$ 沿着 $A B \to B C$ 运动，点 $N$ 沿着 $A D \to D C$ 运动，速度都为 $2 c m / s$ ，终点都是点 $C .$ 若 $A B = 4 c m$ ，则 $△ A M N$ 的面积 $S (c m^{2})$ 与运动时间 $t (s)$ 之间的函数关系的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

11. 关于 $x$ 的一元二次方程 $3 x^{2} = 4 x + 2$ 化为一般形式是．

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12. 若抛物线 $y = - x^{2} + 6 x + a$ 的顶点在 $x$ 轴上，则 $a$ 的值是．

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13. 如图，下列图形是由相同的小圆组成的，观察图形的变化：
第 $1$ 个图形： $\to 1^{2} + 2 \times 1 + 1$ ；
第 $2$ 个图形： $\to 2^{2} + 2 \times 2 + 1$ ；
第 $3$ 个图形： $\to 3^{2} + 2 \times 3 + 1$ ；
第 $4$ 个图形： $\to 4^{2} + 2 \times 4 + 1$ ；
$\dots$
若第 $n$ 个图形有 $81$ 个小圆，则 $n$ 的值为．

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14. 已知抛物线 $y = m x^{2} - 8 m x + 12 (m$ 是常数且 $m \neq 0)$ ．

(1)、该抛物线的对称轴为直线 $x =$ ；

(2)、当 $m = 1$ 时，将抛物线向左平移 $n$ 个单位长度，使抛物线经过原点，则 $n$ 的值为．

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三、解答题（本大题共9小题，共90.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15. 用合适的方法解方程： $x^{2} + 4 x = 4 + x$ ．

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16. 已知二次函数 $y = x^{2} - 5 x + 4$ ．

(1)、填写下列表格：
$x$
$\dots$
     $0$
$1$
     $2$
     $3$
     $4$
     $5$
$\dots$
$y$
     $\dots$

$0$

     $\dots$

(2)、在下列平面直角坐标系中画出该二次函数的图象．

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17. 已知抛物线 $y = - 3 x^{2} + 6 x + 4$ ．

(1)、求该抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标；

(2)、当 $x$ 为何值时， $y$ 随 $x$ 的增大而减小，当 $x$ 为何值时， $y$ 随 $x$ 的增大而增大？

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18. 某西瓜地种植一种优质无籽西瓜，随着种植技术的改进，产量从 $2021$ 的 $20 t$ 增加到 $2023$ 年的 $28.8 t$ ．

(1)、求这种无籽西瓜平均每年增产的百分率；

(2)、若平均每年增产率不变， $2025$ 年该西瓜地的无籽西瓜产量能突破 $40 t$ 吗？

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19. 如图，在正方形 $A B C D$ 中， $A B / / x$ 轴，点 $A (- 3 ， 2)$ ，点 $C (1 ， - 2) .$ 已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a ， b ， c$ 是常数且 $a \neq 0)$ 经过点 $A$ 与点 $B$ ，且顶点 $P$ 位于 $C D$ 上 $.$ 若抛物线与 $y$ 轴交于点 $Q$ ，求 $O Q$ 的长．

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20. 解高次方程的思想就是“降次”，将含未知数的某部分用低次项替换，称为换元法，例如解四次方程 $x^{4} - 2 x^{2} - 3 = 0$ 时，可设 $y = x^{2}$ ，则原方程可化为 $y^{2} - 2 y - 3 = 0$ ，解得 $y_{1} = - 1$ ， $y_{2} = 3$ ，当 $y = - 1$ 时，则 $x^{2} = - 1$ ，无实数根；当 $y = 3$ 时，即 $x^{2} = 3$ ，则 $x_{1} = \sqrt{3}$ ， $x_{2} = - \sqrt{3} .$ 根据上述方法，完成下列问题：

(1)、设 $y = 3 x^{2} - 1$ ，将方程 $(3 x^{2} - 1)^{2} + 6 x^{2} - 1 = 0$ 转化为一元二次方程，得；

(2)、解方程： $(x^{2} - 2 x)^{2} - 3 x^{2} + 6 x = 0$ ．

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21. 如图，已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a ， b ， c$ 是常数且 $a \neq 0)$ ，对称轴为直线 $x = - 3$

(1)、求抛物线与 $x$ 轴交点的另一坐标；

(2)、若关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = k$ 有两个不相等的实数根，根据图象直接写出 $k$ 的取值范围为；

(3)、当 $y \geq 0$ 时， $x$ 的取值范围为，若点 $A (- 3 ， y_{1})$ ， $B (2 ， y_{2})$ ， $C (- 4 ， y_{3})$ 都在该抛物线上，用“ $<$ ”连接 $y_{1}$ ， $y_{2}$ 和 $y_{3}$ 得．

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22. 如图 $1$ ，张爷爷用 $30 m$ 长的隔离网在一段 $15 m$ 长的院墙边围成矩形养殖园，已知矩形的边 $C D$ 靠院墙， $A D$ 和 $B C$ 与院墙垂直，设 $A B$ 的长为xm．

(1)、当围成的矩形养殖园面积为 $108 m^{2}$ 时，求 $B C$ 的长；

(2)、如图 $2$ ，张爷爷打算在养殖园饲养鸡、鸭、鹅三种家禽，需要在中间多加上两道隔离网已知两道隔离网与院墙垂直，请问此时养殖园的面积能否达到 $100 m^{2}$ ？若能，求出 $A B$ 的长；若不能，请说明理由．

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23. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + 3 (a ， b$ 是常数且 $a \neq 0)$ 经过点 $B (1 ， 0)$ ，该抛物线的对称轴为直线 $x = 2$ ．

(1)、求该抛物线的解析式；

(2)、点 $A$ 是抛物线的顶点坐标， $A B$ 与 $y$ 轴交于点 $C$ ，抛物线与 $y$ 轴交于点 $D$ ．
（ⅰ）若点 $P$ 是抛物线对称轴上一点，求 $P C + P D$ 的最小值；
（ⅱ）y轴上是否存在点 $Q$ ，使得 $△ A B Q$ 的面积为 $2$ ？若存在，请求点 $Q$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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$x$	$\dots$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$\dots$
$y$	$\dots$		$0$					$\dots$