安徽省六安市金安区重点中学2023-2024学年九年级上学期月考数学试卷（10月份）

试卷更新日期：2023-11-15 类型：月考试卷

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一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列二次根式是最简二次根式的是（）

A、 $\sqrt{24}$ B、 $\sqrt{15}$ C、 $\sqrt{\frac{5}{3}}$ D、 $\sqrt{0.3}$

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2. 下列度数可能是n边形内角和的是（　　）

A、300° B、550° C、900° D、960°

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3. 将方程 $x^{2} + 4 x + 2 = 0$ 配方后，原方程变形为（）

A、 $(x + 2)^{2} = 2$ B、 $(x + 4)^{2} = 3$ C、 $(x + 2)^{2} = - 3$ D、 $(x + 2)^{2} = - 5$

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4. 若反比例函数 $y = \frac{k + 1}{x}$ 的图象经过点 $(1 ， - 2)$ ，则 $k$ 的值是（）

A、 $3$ B、 $- 3$ C、 $- 1$ D、 $2$

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5. 下列函数中， $y$ 随 $x$ 增大而增大的是（）

A、 $y = - \frac{1}{x}$ B、 $y = - x + 5$ C、 $y = \frac{1}{2} x$ D、 $y = \frac{1}{2} x^{2} (x < 0)$

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6. 如图，已知∠1＝∠2，那么添加一个条件后，仍不能判定△ABC与△ADE相似的是（）

A、∠C＝∠AED B、∠B＝∠D C、 $\frac{A B}{A D} = \frac{B C}{D E}$ D、 $\frac{A B}{A D} = \frac{A C}{A E}$

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7. 如图，在 $△ A B C$ 中， $D$ 为 $B C$ 上一点，若 $A B = A C = C D = 2$ ， $∠ A D B = 108 °$ ，则 $A D$ 的值为（）

A、 $\sqrt{5} - 1$ B、 $3 - \sqrt{5}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ D、 $\sqrt{5}$

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8. $《$ 义务教育课程标准 $(2022$ 年版 $) 》$ 首次把学生学会炒菜纳入劳动教育课程，并作出明确规定 $.$ 某班有 $7$ 名学生已经学会炒的菜品的种数依次为： $2$ ， $4$ ， $3$ ， $2$ ， $5$ ， $2$ ， $3 .$ 则这组数据的众数和中位数分别是（）

A、 $2$ ， $2$ B、 $2$ ， $2.5$ C、 $2$ ， $3$ D、 $3$ ， $3$

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9. 如图，已知正方形 $A B C D$ 的边长为 $3$ ，点 $P$ 是对角线 $B D$ 上的一点， $P F ⊥ A D$ 于点 $F$ ， $P E ⊥ A B$ 于点 $E$ ，连接 $P C$ ，当 $P E$ ： $P F = 1$ ： $2$ 时，则 $P C =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $2$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $\frac{5}{2}$

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10. 如图，已知抛物线 $y = - x^{2} + p x + q$ 的对称轴为 $x = - 3$ ，过其顶点 $M$ 的一条直线 $y = k x + b$ 与该抛物线的另一个交点为 $N (- 1 ， 1) .$ 要在坐标轴上找一点 $P$ ，使得 $△ P M N$ 的周长最小，则点 $P$ 的坐标为（）

A、 $(0 ， 2)$ B、 $(\frac{4}{3} ， 0)$ C、 $(0 ， 2)$ 或 $(\frac{4}{3} ， 0)$ D、以上都不正确

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二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

11. 已知 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ 是成比例线段，期中 $a = 3 c m$ ， $b = 2 c m$ ， $d = 6 c m$ ，则 $c =$ ．

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12. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 的对称轴是直线 $x = - 1$ ，与 $x$ 轴的一个交点为 $(- 5 ， 0)$ ，抛物线和与 $x$ 轴的另一个交点为．

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13. 如图， $A$ 、 $B$ 是函数 $y = \frac{6}{x}$ 上两点， $P$ 为一动点，作 $P B / / y$ 轴， $P A / / x$ 轴，若 $S_{△ B O P} = 2$ ，则 $S_{△ A B P} =$ ．

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14. 如图，点 $E$ 是菱形 $A B C D$ 的边 $A D$ 的中点，点 $F$ 是 $A B$ 上的一点，点 $G$ 是 $B C$ 上的一点，先以 $C E$ 为对称轴将 $△ C D E$ 折叠，使点 $D$ 落在 $C F$ 上的点 $D$ 处，再以 $E F$ 为对称轴折叠 $△ A E F$ ，使得点 $A$ 的对应点 $A'$ 与点 $D'$ 重合，以 $F G$ 为对称轴折叠 $△ B F G$ ，使得点 $B$ 的对应点 $B$ 落在 $C F$ 上，则：

(1)、 $∠ E F G =$ $°$ ；

(2)、若 $∠ A = 60 °$ ，则 $\frac{F G}{C E}$ 的值为．

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三、解答题（本大题共9小题，共90.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15. 计算： $2 \times \sqrt{8} + | 1 - \sqrt{2} | + (- 3)^{0}$ ．

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16. 已知线段a、b、c，且 $\frac{a}{3} = \frac{b}{4} = \frac{c}{5}$ .

(1)、求 $\frac{a + b}{b}$ 的值；

(2)、若线段a、b、c满足 $a + b + c = 60$ ，求a、b、c的值.

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17. 如图， $A B / / C D$ ， $A C$ 与 $B D$ 交于点 $E$ ，且. ， $A E = 3$ ， $A C = 12$ ．

(1)、求 $C D$ 的长．

(2)、求证： $△ A B E$ ∽ $△ A C B$ ．

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18. 已知抛物线 $y = x^{2} - (2 m - 1) x + m^{2} - m$ ．

(1)、求证：此抛物线与 $x$ 轴必有两个不同的交点；

(2)、若此抛物线与直线 $y = x - 3 m + 3$ 的一个交点在 $y$ 轴上，求 $m$ 的值．

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19. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $A B$ ： $y = x - 4$ 与反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象交于 $A$ 、 $B$ 两点，与 $x$ 轴相交于点 $C$ ，已知点 $A$ ， $B$ 的坐标分别为 $(6 n ， 2 n)$ 和 $(m ， - 6)$ ．

(1)、求反比例函数的解析式；

(2)、直接写出不等式 $x - 4 > \frac{k}{x}$ 的解集；

(3)、点 $P$ 为反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 图象上任意一点，若 $S_{△ P O C} = 2 S_{△ A O C}$ ，求点 $P$ 的坐标．

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20. 如图，四边形 $A B C D$ 是平行四边形，对角线 $A C$ 、 $B D$ 相交于点 $O$ ，点 $E$ 、 $F$ 分别在 $A B$ 、 $A D$ 上， $A E = A F$ ，连接 $E F$ ，且 $A C ⊥ E F$ ．

(1)、求证：四边形 $A B C D$ 是菱形；

(2)、连接 $O E$ ，若点 $E$ 是 $A B$ 的中点， $O E = \sqrt{5}$ ， $O A = \frac{1}{2} O B$ ，求四边形 $A B C D$ 的面积．

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21. 某校开展数学竞赛 $($ 竞赛成绩为百分制 $)$ ，并随机抽取了 $50$ 名学生的竞赛成绩 $($ 本次竞赛没有满分 $)$ ，经过整理数据得到以下信息：
信息一： $50$ 名学生竞赛成绩频数分布直方图如图所示，从左到右依次为第一组到第五组 $($ 每组数据含前端点值，不含后端点值 $)$ ．
信息二：第三组的成绩 $($ 单位：分 $)$ 为： $74$ ， $71$ ， $73$ ， $74$ ， $79$ ， $76$ ， $77$ ， $76$ ， $76$ ， $73$ ， $72$ ， $75$ ．
根据信息解答下列问题：

(1)、补全第二组频数分布直方图 $($ 直接在图中补全 $)$ ；

(2)、第三组竞赛成绩的众数是分，抽取的 $50$ 名学生竞赛成绩的中位数是分；

(3)、若该校共有 $1500$ 名学生参赛，请估计该校参赛学生成绩不低于 $80$ 分的人数．

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22. 如图，在 $△ P A B$ 中， $C$ 、 $D$ 为 $A B$ 边上的两个动点， $P C = P D$ ．

(1)、若 $P C ⊥ A B ($ 即 $C$ 、 $D$ 重合 $)$ ，则 $∠ A P B =$ $°$ 时， $△ A P C$ ∽ $△ P B D$ ；

(2)、若 $P C = C D$ ， $∠ A P B = 120 °$ ，则 $△ A P C$ 与 $△ P B D$ 相似吗？为什么？

(3)、当 $∠ C P D$ 和 $∠ A P B$ 满足怎样的数量关系时， $△ A P C$ ∽ $△ P B D$ ？请说明理由．

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23. 某工厂计划从现在开始，在每个生产周期内生产并销售完某型号设备，该设备的生产成本为 $10$ 万元 $/$ 件 $.$ 设第 $x$ 个生产周期设备的售价为 $z$ 万元 $/$ 件，售价 $z$ 与 $x$ 之间的函数解析式是 $z = {\begin{array}{l} 15 ， 0 < x \leq 12 \\ m x + n ， 12 < x \leq 20 \end{array}$ ，其中 $x$ 是正整数 $.$ 当 $x = 16$ 时， $z = 14$ ；当 $x = 20$ 时， $z = 13$ ．

(1)、求 $m$ ， $n$ 的值；

(2)、设第 $x$ 个生产周期生产并销售完设备的数量为 $y$ 件，且 $y$ 与 $x$ 满足关系式 $y = 5 x + 20$ ．
$①$ 当 $12 < x \leq 20$ 时，工厂第几个生产周期获得的利润最大？最大的利润是多少万元？

$②$ 当 $0 < x \leq 20$ 时，若有且只有 $3$ 个生产周期的利润不小于 $a$ 万元，求实数 $a$ 的取值范围．

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