河北省沧州市东光县五校联考2023-2024学年九年级上学期月考数学试卷（10月）

试卷更新日期：2023-11-14 类型：月考试卷

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一、选择题（本大题共16小题，共42.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列方程是一元二次方程的是（）

A、 $x^{2} + 3 x y = 3$ B、 $x^{2} + \frac{1}{x} = 3$ C、 $x^{2} + 3 x$ D、 $x^{2} = 3$

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2. 在下列各点中，抛物线 $y = 3 x^{2}$ 经过点（）

A、 $(0 ， - 1)$ B、 $(0 ， 0)$ C、 $(0 ， 1)$ D、 $(0 ， 2)$

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3. 解一元二次方程 $(x - 1)^{2} = 4$ ，最适用的方法是（）

A、配方法 B、公式法 C、因式分解法 D、直接开方法

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4. 要由抛物线 $y = 2 x^{2}$ 得到抛物线 $y = 2 (x - 1)^{2} + 3$ ，则抛物线 $y = 2 x^{2}$ 必须（）

A、向左平移 $1$ 个单位，再向下平移 $3$ 个单位 B、向右平移 $1$ 个单位，再向上平移 $3$ 个单位 C、向右平移 $1$ 个单位，再向下平移 $3$ 个单位 D、向左平移 $1$ 个单位，再向上平移 $3$ 个单位

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5. 已知 $x = 1$ 是关于 $x$ 的一元二次方程 $3 x^{2} - x + m = 0$ 的一个根，则 $m$ 的值是（）

A、 $2$ B、 $- 2$ C、 $1$ D、 $- 1$

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6. 关于二次函数 $y = 2 x^{2} - 4 x - 1$ 的图象，下列结论正确的是（）

A、开口向下 B、对称轴是直线 $x = 2$ C、顶点纵坐标是 $- 3$ D、当 $x < 0$ 时，函数值随 $x$ 值的增大而增大

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7. 若关于x的一元二次方程 $x^{2} + b x + c = 0$ 的两个实数根分别为 $x_{1} = - 1 ， x_{2} = 2$ ，那么抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ 的对称轴为直线（）

A、 $x = 1$ B、 $x = \frac{1}{2}$ C、 $x = \frac{3}{2}$ D、 $x = - \frac{1}{2}$

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8. 如果方程 $(m - 3) x^{m^{2} - 7} - x + 3 = 0$ 是关于 $x$ 的一元二次方程，那么 $m$ 的值为（）

A、 $\pm 3$ B、 $3$ C、 $- 3$ D、都不对

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9. 如图，一次函数 $y_{1} = k x + n (k \neq 0)$ 与二次函数 $y_{2} = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象相交于 $A (- 1 ， 4)$ ， $B (6 ， 2)$ 两点，则关于 $x$ 的不等式 $k x + n \geq a x^{2} + b x + c$ 的解集为（）

A、 $- 1 \leq x \leq 6$ B、 $- 1 \leq x < 6$ C、 $- 1 < x \leq 6$ D、 $x \leq - 1$ 或 $x \geq 6$

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10. 一元二次方程 $x^{2} - 2 x + 3 = 0$ 的解的情况是（）

A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根 C、没有实数根 D、无法确定

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11. 某年级举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共要比赛28场，则参加此次比赛的球队数是（）

A、6 B、7 C、8 D、9

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12. 小明在期末体育测试中掷出的实心球的运动路线呈抛物线形，若实心球运动的抛物线的解析式为 $y = - \frac{1}{9} (x - 3)^{2} + k$ ，其中 $y$ 是实心球飞行的高度， $x$ 是实心球飞行的水平距离，已知该同学出手点 $A$ 的坐标为 $(0 ， \frac{16}{9})$ ，则实心球飞行的水平距离 $O B$ 的长度为（）

A、 $7 m$ B、 $7.5 m$ C、 $8 m$ D、 $8.5 m$

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13. 已知一元二次方程 $x^{2} - 4 x - 2 = 0$ 的两根分别为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，则 $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}}$ 的值为（）

A、 $2$ B、 $- 1$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $- 2$

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14. 如图所示是二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象，以下结论： $① a b c < 0$ ； $② 3 a + c = 0$ ； $③ a x^{2} + b x + c = 0$ 的两个根是 $x_{1} = - 1$ ， $x_{2} = 3$ ； $④ 4 a + 2 b + c > 0$ ，其中正确的是（）

A、 $③ ④$ B、 $① ②$ C、 $② ③$ D、 $② ③ ④$

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15. 如图，在一块宽为 $20 m$ ，长为 $32 m$ 的矩形空地上，修筑宽相等的两条小路，两条路分别与矩形的边平行，如图，若使剩余 $($ 阴影 $)$ 部分的面积为 $560 m^{2}$ ，问小路的宽应是多少？设小路的宽为 $x c m$ ，根据题意得（）

A、 $32 x + 20 x = 20 \times 32 - 560$ B、 $32 \times 20 - 20 x \times 32 x = 560$ C、 $(32 - x) (20 - x) = 560$ D、以上都不正确

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16. 已知抛物线 $y = m x^{2} + n x$ 和直线 $y = m x + n$ 在同一坐标系内的图象如图，其中正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

17. 将一元二次方程 $3 x^{2} + 1 = 6 x$ 化为一般形式后二次项系数为3，则一次项系数为.

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18. 点 $A (- 1 ， y_{1})$ ， $B (1 ， y_{2})$ 在抛物线 $y = - x^{2} + 4 x + c$ 上，则 $y_{1}$ $y_{2} ($ 填“ $>$ ”、“ $<$ ”或“=” $)$ ．

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19. 设 $a$ 为一元二次方程 $2 x^{2} + 3 x - 2022 = 0$ 的一个实数根，则 $2 - 6 a - 4 a^{2} =$ ．

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20. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 的对称轴为 $x = 1$ ，点 $P$ 是抛物线与 $x$ 轴的一个交点，若点 $P$ 的坐标为 $(4 ， 0)$ ，则关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的解为．

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三、解答题（本大题共7小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

21. 用适当的方法解下列一元二次方程：

(1)、 $(x - 2)^{2} = 9$ ；

(2)、 $x (x - 3) + x = 3$ ；

(3)、 $3 x^{2} - 1 = 4 x$ ；

(4)、 $(3 x - 1)^{2} = (x - 1)^{2}$ ．

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22. 已知 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 是关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 2 (k + 1) x + k^{2} + 2 = 0$ 的两实根．

(1)、则 $x_{1} + x_{2} =$ ； $x$ ₁ $^{\cdot} x_{2} =$ ；

(2)、若 $(x_{1} + 1) (x_{2} + 1) = 8$ ，求 $k$ 的值．

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23. 已知二次函数 $y_{1} = x^{2} - 2 x - 3$ 的图象与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D.

(1)、求点A、B、D的坐标，并在下面直角坐标系中画出该二次函数的大致图象；

(2)、设一次函数 $y_{2} = k x + b (k \neq 0)$ 的图象经过B、C两点，请直接写出满足 $y_{1} < y_{2}$ 的x的取值范围.

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24. 如图，抛物线的顶点为 $C (1 ， 9)$ ，与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B (4 ， 0)$ 两点．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、抛物线与 $y$ 轴的交点为 $D$ ，求 $S_{△ B C D}$ ．

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25. 如图，利用一面墙 $($ 墙长 $20$ 米 $)$ ，用总长度 $43$ 米的篱笆 $($ 图中实线部分 $)$ 围成一个矩形鸡舍 $A B C D$ ，且中间共留两个 $1$ 米的小门，设篱笆 $B C$ 长为 $x$ 米．

(1)、 $A B =$ 米． $($ 用含 $x$ 的代数式表示 $)$

(2)、若矩形鸡舍 $A B C D$ 面积为 $150$ 平方米，求篱笆 $B C$ 的长．

(3)、矩形鸡舍 $A B C D$ 面积是否有可能达到 $210$ 平方米？若有可能，求出相应 $x$ 的值；若不可能，则说明理由．

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26. 水果店王阿姨到水果批发市场打算购进一种水果销售，经过还价，实际价格每千克比原来少 $2$ 元，发现原来买这种水果 $80$ 千克的钱，现在可买 $88$ 千克．

(1)、现在实际购进这种水果每千克多少元？

(2)、王阿姨准备购进这种水果销售，若这种水果的销售量 $y ($ 千克 $)$ 与销售单价 $x ($ 元 $/$ 千克 $)$ 满足如图所示的一次函数关系．
$①$ 求 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式；
$②$ 请你帮王阿姨拿个主意，将这种水果的销售单价定为多少时，能获得最大利润？最大利润是多少？ $($ 利润 $=$ 销售收入 $-$ 进货金额 $)$

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27. 某“ $5 A$ ”景区决定在“ $5.1$ ”劳动节期间推出优惠套餐，预售“亲子两人游”套票和“家庭三人行”套票，预售中的“家庭三人行”套票的价格是“亲子两人游”套票的 $2$ 倍．

(1)、若“亲子两人游”套票的预售额为 $21000$ 元，“家庭三人行”套票的预售额为 $10500$ 元，且“亲子两人游”的销售量比“家庭三人行”的套票多 $450$ 套，求“亲子两人游“套票的价格．

(2)、套票在出售当天计划推出“亲子两人游”套票 $1600$ 张，“家庭三人行”套票 $400$ 张，由于预售的火爆，景区决定将“亲子两人行”套票的价格在 $(1)$ 中价格的基础上增加 $\frac{3}{4} a$ 元，而“家庭三人行”套票在 $(1)$ 中“家庭三人行”套票票价上增加了 $a$ 元，结果“亲子两人游”套票的销量比计划少 $32 a$ 套，“家庭三人行”套票的销售量与计划保持一致，最终实际销售额和计划销售额相同，求 $a$ 的值．

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