山东省济宁市重点学校2023-2024学年九年级上学期第一次月考数学试卷

试卷更新日期：2023-11-14 类型：月考试卷

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一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（）

A、 $6 a^{2} b^{2} = 3 a b \cdot 2 a b$ B、 $(x + 1) (x - 1) = x^{2} - 1$ C、 $x^{2} - 4 x + 4 = (x - 2)^{2}$ D、 $x^{2} - x - 4 = x (x - 1) - 2$

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2. 把 $- 6 x^{3} y^{2} - 3 x^{2} y^{2} + 8 x^{2} y^{3}$ 因式分解时，应提的公因式是（）

A、 $- 3 x^{2} y^{2}$ B、 $- 2 x^{2} y^{2}$ C、 $6 x^{2} y^{2}$ D、 $- x^{2} y^{2}$

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3. 下列各式： $\frac{x + y}{3}$ ， $\frac{4 x}{π - 3}$ ， $\frac{a}{2 x - 1}$ ， $\frac{1}{2} x y$ ， $\frac{2}{x + y}$ ， $\frac{5 x^{2}}{x}$ ，其中分式共有几个（）

A、 $1$ B、 $2$ C、 $3$ D、 $4$

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4. 给出下列各式： $x^{2} - y^{2}$ ， $- x^{2} + y^{2}$ ， $(- x)^{2} + (- y)^{2}$ ， $- x^{2} - y^{2}$ ， $x^{4} - y^{4}$ ，其中能用平方差公式进行因式分解的有（）

A、 $1$ 个 B、 $2$ 个 C、 $3$ 个 D、 $4$ 个

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5. 下列各式： $m^{2} - 2 m + 4$ ； $y^{2} + y + \frac{1}{4}$ ； $x^{4} - \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{8}$ ； $x^{2} + 4 x + 2$ ，其中，完全平方式的个数为（）

A、 $1$ 个 B、 $2$ 个 C、 $3$ 个 D、 $4$ 个

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6. 将多项式 $x - x^{3}$ 因式分解正确的是（）

A、 $x (1 - x^{2})$ B、 $x (x^{2} - 1)$ C、 $x (1 + x) (1 - x)$ D、 $x (x + 1) (x - 1)$

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7. 将分式 $\frac{x y}{x + y}$ 中的 $x$ 、 $y$ 的值同时扩大为原来的 $2$ 倍，则分式的值（）

A、扩大为原来的 $2$ 倍 B、缩小到原来的 $\frac{1}{2}$ C、保持不变 D、无法确定

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8. 若分式 $\frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 2 x + 1}$ 的值为 $0$ ，则 $x$ 的值为（）

A、 $\pm 1$ B、 $- 1$ C、 $1$ D、 $\pm 2$

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9. 若将多项式 $x^{2} - a x + b$ 因式分解为 $(x - 2) (x + 5)$ ，则 $(- 3 a + b)^{2023}$ 的值为（）

A、 $0$ B、 $- 1$ C、 $1$ D、 $1$ 或 $- 1$

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10. 已知 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 是 $△ A B C$ 的三边长，且满足 $a^{2} + 2 b^{2} + c^{2} = 2 a b + 2 b c$ ，那么据此判断 $△ A B C$ 的形状是（）

A、等边三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、等腰直角三角形

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二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11. 分解因式： $x^{3} - 9 x$ =.

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12. 一个长方形的长与宽分别为 $a$ ， $b$ ，若周长为 $10$ ，面积为 $5$ ，则 $a b^{3} + 2 a^{2} b^{2} + a^{3} b$ 的值为．

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13. 若多项式 $x^{2} - (m - 1) x + 16$ 能用完全平方公式进行因式分解，则m= ．

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14. 已知分式 $\frac{5 x + n}{x + m} (m ， n$ 为常数 $)$ 满足如下表格中的信息：
$x$ 的取值
$- 2$
$1$
$3$
分式的值
无意义
$0$
$q$
则表中的 $q$ 值为．

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15. 阅读材料回答问题：已知多项式 $2 x^{3} - x^{2} + m$ 有一个因式是 $2 x + 1$ ，求 $m$ 的值．
解法：设 $2 x^{3} - x^{2} + m = A (2 x + 1) (A$ 为整式 $)$
$∵$ 上式为恒等式，
$∴$ 当 $x = - \frac{1}{2}$ 时， $2 \cdot (- \frac{1}{2})^{3} - (- \frac{1}{2})^{2} + m = A \cdot (- \frac{1}{2} \times 2 + 1)$ ，
即 $2 \cdot (- \frac{1}{2})^{3} - (- \frac{1}{2})^{2} + m = 0$ ．
解得： $m = \frac{1}{2}$ ．
若多项式 $x^{4} + m x^{2} + n x - 16$ 含有因式 $(x - 1)$ 和 $(x - 2)$ ，则 $m n =$ ．

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三、解答题（本大题共5小题，共55.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16. 把下列各式因式分解．

(1)、 $a (x - 3) + 2 b (x - 3)$ ；

(2)、 $9 (m + n)^{2} - (m - n)^{2}$ ；

(3)、 $- x^{2} - 4 y^{2} + 4 x y$ ；

(4)、 $(a^{2} + 4)^{2} - 16 a^{2}$ ．

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17. 计算：

(1)、 $\frac{(x - y)^{3}}{x + y} \div \frac{x^{2} - 2 x y + y^{2}}{2 x + 2 y}$ ；

(2)、 $\frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 2 x + 1} \div \frac{x + 1}{x - 1} \cdot \frac{1 - x}{x + 1}$ ．

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18. $M = \frac{a^{2} - 4 a + 4}{a + 1} \div \frac{a - 2}{a^{2} - 1}$ ．

(1)、化简代数式 $M$ ；

(2)、请在以下四个数中： $1$ ， $- 1$ ， $2$ ， $- 2$ ，选择一个合适的数代入，求 $M$ 的值．

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19. 教科书中这样写道：“形如 $a^{2} \pm 2 a b + b^{2}$ 的式子称为完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法 $.$ 配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题．
例如：分解因式： $x^{2} + 2 x - 3$ ．
解：原式 $= x^{2} + 2 x + 1 - 1 - 3 = (x + 1)^{2} - 4 = (x + 1 + 2) (x + 1 - 2) = (x + 3) (x - 1)$ ；
再如：求代数式 $2 x^{2} + 4 x - 6$ 的最小值．
解： $2 x^{2} + 4 x - 6 = 2 (x^{2} + 2 x - 3) = 2 (x^{2} + 2 x + 1 + 1 - 3) = 2 [(x + 1)^{2} - 4] = 2 (x + 1)^{2} - 8$ ；
$∵ (x + 1)^{2} \geq 0$ ，
$∴$ 原式 $\geq - 8$ ，
即当 $x = - 1$ 时，原式有最小值 $- 8$ ．
学以致用：

(1)、用配方法分解因式： $x^{2} - 4 x - 5$ ； $($ 其他方法不得分 $)$

(2)、用配方法求多项式 $- 2 x^{2} - 8 x + 5$ 的最大值？并求出此时 $x$ 的值．

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20. 观察下列式子的因式分解做法：
$① x^{2} - 1 = (x + 1) (x - 1)$ ；
$② x^{3} - 1 = (x - 1) (x^{2} + x + 1)$ ；
$③ x^{4} - 1 = (x - 1) (x^{3} + x^{2} + x + 1)$ ．

(1)、模仿以上做法，尝试对 $x^{5} - 1$ 进行因式分解： $x^{5} - 1 =$ ．

(2)、观察以上结果，猜想 $x^{n} - 1 =$ $. (n$ 为正整数，直接写结果，不用验证 $)$

(3)、试求 $2^{6} + 2^{5} + 2^{4} + 2^{3} + 2^{2} + 2 + 1$ 的值．

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$x$ 的取值	$- 2$	$1$	$3$
分式的值	无意义	$0$	$q$