湖南省常德市安乡县2023-2024学年九年级上学期数学第一次月考考试试卷

试卷更新日期：2023-11-09 类型：月考试卷

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一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. $- 3$ 的绝对值是（）

A、3 B、 $\frac{1}{3}$ C、 $- \frac{1}{3}$ D、 $- 3$

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2. 下列等式是一元二次方程的为（）
$① x^{2} - 2 x + 1 = 0$ ；
$② 2 t^{2} = t - 4$ ；
$③ p x^{2} - 5 x = 6 + x (p x + 1)$ ；
$④ \frac{2}{x^{2}} - x = 3$ ．

A、 $①$ B、 $① ②$ C、 $① ② ③$ D、 $① ② ③ ④$

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3. 方程 $2 x^{2} - 5 x = 8$ 的二次项系数和常数项分别为（）

A、 $2 x^{2}$ 和 $8$ B、 $2 x^{2}$ 和 $- 8$ C、 $2$ 和 $- 8$ D、 $2$ 和 $8$

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4. 如图，直线 $l_{1} / / l_{2}$ ， $∠ 1 = 30 °$ ， $∠ 2 = 85 °$ ，则 $∠ 3$ 等于（）

A、 $45 °$ B、 $55 °$ C、 $65 °$ D、 $75 °$

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5. 下列函数中，是反比例函数的是（）

A、y=2x+1 B、y= $\frac{5}{x + 1}$ C、y= $\frac{1}{5 x}$ D、y= $\frac{x}{2}$

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6. 下列命题正确的是（）

A、等腰三角形是轴对称图形 B、直角三角形是中心对称图形
C、平行四边形的对角线互相垂直 D、一组邻边相等的四边形是菱形

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7. 安乡子龙汽车站与常德市柳叶湖汽车站相距约 $63.1 k m$ ，则汽车由子龙汽车站行驶到柳叶湖汽车站所用时间 $y ($ 小时 $)$ 与行驶速度 $x ($ 千米 $/$ 时 $)$ 之间的函数图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 定义：如果两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“友好方程” $.$ 如果关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 2 x = 0$ 与 $x^{2} + 2 x + m + 1 = 0$ 为“友好方程”，则 $m$ 的值为（）

A、 $- 1$ B、 $- 9$ C、 $1$ 或 $- 9$ D、 $- 1$ 或 $- 9$

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二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

9. 计算： $\sqrt{3}$ × $\sqrt{12}$ ＝．

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10. 用配方法解方程 $x^{2} - 6 x + 1 = 0$ ，则方程可配方为.

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11. 要使二次根式 $\frac{2}{\sqrt{x - 4}}$ 有意义，则 $x$ 应满足的条件是．

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12. 国家统计局发布的 $2022$ 年，中国国内国民生产总值约为 $121$ 万亿，用科学记数法表示为．

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13. 已知 $a$ 是方程 $x^{2} - 3 x - 1011 = 0$ 的一个根，则代数式 $2 a^{2} - 6 a + 1$ 的值是．

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14. 若 $k$ 的取值范围如图所示，则在反比例函数 $y = \frac{k - 5}{x}$ 的图象的每一个分支上， $y$ 随 $x$ 的增大而．

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15. 对于实数a，b，我们定义一种新的运算#，规定： $a # b = a^{2} - b$ ，若关于 $x$ 的方程 $(x - 1) # (3 k) = 0$ 的一个实数根为 $4$ ，则 $k =$ ．

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16. 如图，点 $B$ 是反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 上一点，矩形 $O A B C$ 的周长是 $16$ ，正方形 $B C G H$ 和正方形 $O C D F$ 的面积之和为 $56$ ，则反比例函数的解析式是．

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三、解答题（本大题共10小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 计算： $(- 1)^{2023} - | - 3 \sqrt{3} | - (- \frac{1}{2})^{- 2} + (π - 3.14)^{0} + \sqrt{27}$ ．

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18. 解不等式组： ${\begin{array}{l} x - 1 > 3 \\ x < 21 - 2 x \end{array}$ ．

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19. 先化简，再求值： $\frac{1}{x - 1} - \frac{2}{x^{2} - 1}$ ，其中 $x = - 2$ ．

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20. 解方程： $(x + 3)^{2} = 4 (x - 2)^{2}$ ．

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21. 随着平板电脑的普及，有关部门在全国范围对 $12 ～ 35$ 岁的人群使用过平板电脑的情况进行了简单的随机抽样调查，得到了如图所示的两个不完全统计图．

请根据图中的信息，解决下列问题．

(1)、求条形统计图中 $a$ 的值；

(2)、据报道，目前我国 $12 - 35$ 岁使用过平板电脑的人数约为 $4$ 亿，请估计其中 $12 ～ 23$ 岁的人数．

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22. 如图： $A D$ 是 $△ A B C$ 的高， $E$ 为 $A C$ 上一点， $B E$ 交 $A D$ 于 $F$ ，且有 $B F = A C$ ， $F D = C D .$ 求证： $B E ⊥ A C$ ．

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23. 如图，一次函数 $y = m x + n (m \neq 0)$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象交于第二、四象限的点 $A (- 2 ， a)$ 和点 $B (b ， - 1)$ ，过 $A$ 点作 $x$ 轴的垂线，垂足为点 $C$ ， $△ A O C$ 的面积为 $4$ ．

(1)、分别求出 $a$ 和 $b$ 的值；

(2)、结合图象直接写出 $m x + n > \frac{k}{x}$ 中 $x$ 的取值范围．

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24. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 2 k x + k^{2} + k - 1 = 0$ 有两个不相等的实数根．

(1)、求实数 $k$ 的取值范围；

(2)、设方程两个实数根分别为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且满足 $(x_{1} + x_{2})^{2} - x_{1} \cdot x_{2} = 5$ ，求 $k$ 的值．

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25. 直播购物逐渐走进了人们的生活，某电商在某 $A P P$ 上对一款成本价为每件 $8$ 元的小商品进行直播销售 $.$ 如果按每件 $10$ 元销售，每天可卖出 $200$ 件 $.$ 通过市场调查发现，每件小商品的售价每上涨 $1$ 元，每天的销售件数就减少 $20$ 件 $.$ 将每件小商品的售价定为 $x ($ 元 $)$ ，每天销售量 $y ($ 件 $)$ ．

(1)、求 $y ($ 件 $)$ 与 $x ($ 元 $)$ 之间的函数表达式；

(2)、若电商按每件小商品的销售单价不低于成本价，且不高于 $15$ 元的价格销售，要使销售该商品每天获得的利润为 $640$ 元，求每件小商品的销售价应为多少元？

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26. 如图，平面直角坐标系 $x O y$ 中，▱ $O A B C$ 的边 $O C$ 在 $x$ 轴上，对角线 $A C$ ， $O B$ 交于点 $M$ ，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象经过点 $A (3 ， 5)$ 和点 $M$ ．

(1)、求 $k$ 的值和点 $M$ 的坐标；

(2)、若坐标轴上有一点 $P$ ，满足 $△ O C P$ 的面积是▱ $O A B C$ 的面积的 $2$ 倍，求点 $P$ 的坐标．

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