山东省菏泽市经开区多校联考2023-2024学年九年级上学期数学月考考试试卷（10月）

试卷更新日期：2023-11-09 类型：月考试卷

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一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（　　）

A、 $x^{2} - 2 x - 3 = 0$ B、 $x^{2} - x y = 2$ C、 $x^{2} + \frac{1}{x} = 2$ D、 $2 (x - 1) = x$

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2. 在数学活动课上，老师让同学们判断一个由四根木条组成的四边形是否为矩形，下面是一个学习小组拟定的方案，其中正确的方案是（）

A、测量四边形的三个角是否为直角 B、测量四边形的两组对边是否相等
C、测量四边形的对角线是否互相平分 D、测量四边形的其中一组邻边是否相等

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3. 根据下列表格的对应值，判断方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0 ， a ， b ， c$ 为常数 $)$ 的一个解 $x$ 的范围是（）
$x$
$3.23$
$3.24$
$3.25$
$3.26$
$a x^{2} + b x + c$
   $- 0.06$
   $- 0.02$
$0.03$
$0.09$

A、 $3 < x < 3.23$ B、 $3.23 < x < 3.24$ C、 $3.24 < x < 3.25$ D、 $3.25 < x < 3.26$

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4. 如图，菱形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ 、 $B D$ 相交于点 $O$ ，过点 $D$ 作 $D H ⊥ A B$ 于点 $H$ ，连接 $O H$ ，若 $O A = 6$ ， $O H = 4$ ，则菱形 $A B C D$ 的面积为（）

A、72 B、24 C、48 D、96

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5. 如图，在任意四边形 $A B C D$ 中， $M$ ， $N$ ， $P$ ， $Q$ 分别是 $A B$ ， $B C$ ， $C D$ ， $D A$ 上的点，对于四边形 $M N P Q$ 的形状，以下结论中，错误的是（）

A、当 $M$ ， $N$ ， $P$ ， $Q$ 是各边中点，四边 $M N P Q$ 一定为平行四边形 B、当 $M$ ， $N$ ， $P$ ， $Q$ 是各边中点，且 $∠ A B C = 90 °$ 时，四边形 $M N P Q$ 为正方形 C、当 $M$ ， $N$ 、 $P$ ， $Q$ 是各边中点，且 $A C = B D$ 时，四边形 $M N P Q$ 为菱形 D、当 $M$ ， $N$ 、 $P$ 、 $Q$ 是各边中点，且 $A C ⊥ B D$ 时，四边形 $M N P Q$ 为矩形

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6. 受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势．某地 $92$ 号汽油价格六月底是 $7.5$ 元 $/$ 升，八月底是 $8.4$ 元 $/$ 升．设该地 $92$ 号汽油价格这两个月平均每月的增长率为 $x$ ，根据题意列出方程，正确的是（）

A、 $7.5 (1 + x^{2}) = 8.4$ B、 $7.5 (1 + x)^{2} = 8.4$ C、 $8.4 (1 - x)^{2} = 7.5$ D、 $7.5 (1 + x) + 7.5 (1 + x)^{2} = 8.4$

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7. 如图所示，在正方形 $A B C D$ 中， $P$ 是对角线 $B D$ 上一点，过 $P$ 作 $P E ⊥ B C$ ， $P F ⊥ D C$ ，垂足分别为 $E$ 、 $F$ ，连接 $E F$ ，若 $E F = 5$ ，则 $A P$ 的长为（）

A、 $5$ B、 $4$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $\sqrt{7}$

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8. 如图，在正方形 $A B C D$ 外取一点 $E$ ，连接 $A E$ 、 $B E$ 、 $D E .$ 过点 $A$ 作 $A E$ 的垂线交 $D E$ 于点 $P .$ 若 $A E = A P = 1$ ， $P B = \sqrt{5} .$ 下列结论：
$① △ A P D$ ≌ $△ A E B$ ； $② E B ⊥ E D$ ；
$③$ 点 $B$ 到直线 $A E$ 的距离为 $\sqrt{2}$ ； $④ S_{△ A P B} + S_{△ A D P} = \frac{1 + \sqrt{6}}{2}$
其中正确结论的序号是（）

A、 $① ② ③$ B、 $① ② ④$ C、 $① ③ ④$ D、 $② ③ ④$

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二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

9. 若 $x = 1$ 是关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + a x + 2 b = 0$ 的解，则 $2023 - a - 2 b$ 的值为．

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10. 如图所示，在平行四边形 $A B C D$ 中，以 $A$ 为圆心， $A B$ 长为半径画弧交 $A D$ 于点 $F$ ，再分别以点 $B$ 、 $F$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} B F$ 为半径画弧，两弧交于一点 $P$ ，连接 $A P$ 交 $B C$ 于点 $E$ ，连接 $E F .$ 若 $B F = 6$ ， $A B = 5$ ，则四边形 $A B E F$ 的面积为．

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11. 对于实数 $a$ ， $b$ ，定义运算“ $\oplus$ ”： $a \oplus b = a^{2} - 5 a + 2 b$ ，例如： $4 \oplus 3 = 4^{2} - 5 \times 4 + 2 \times 3 = 2$ ．根据此定义，则方程 $x \oplus 3 = 0$ 的根为．

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12. 如图，将矩形 $A B C D$ 沿 $E F$ 折叠，使顶点 $C$ 恰好落在 $A B$ 边的中点 $C'$ 上，若 $A B = 6$ ， $B C = 9$ ，则 $F C$ 的长为．

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13. 已知实数 $m$ ， $n$ 满足 $m - n^{2} = 1$ ，则代数式 $m^{2} + 2 n^{2} + 4 m - 1$ 的最小值等于.

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14. 如图，正方形 $A B C D$ 边长为 $1$ ，点 $E$ 在边 $A B$ 上， $($ 不与 $A$ ， $B$ 重合 $)$ ，将 $△ A D E$ 沿直线 $D E$ 折叠，点 $A$ 落在 $A_{1}$ 处，连接 $A_{1} B$ ，将 $A_{1} B$ 绕点 $B$ 顺时针旋转 $90 °$ 得到 $A_{2} B$ ，连接 $A_{1} A$ ， $A_{1} C$ ， $A_{2} C$ ，给出下列四个结论：
$① △ A B A_{1}$ ≌ $△ C B A_{2}$ ； $② ∠ A D E + ∠ A_{1} C B = 45 °$ ；
$③$ 点 $P$ 是直线 $D E$ 上动点，则 $C P + A_{1} P$ 的最小值为 $\sqrt{3}$ ；
$④$ 当 $∠ A D E = 30 °$ 时， $△ A_{1} B E$ 的面积为 $\frac{3 - \sqrt{3}}{12}$ ，
其中正确的结论是 $. ($ 填写序号 $)$

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三、解答题（本大题共9小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15. 解下列方程：

(1)、用配方法解一元二次方程： $x^{2} - 2 x - 2 = 0$ ；

(2)、用因式分解法解方程 $(x + 4)^{2} = 5 (x + 4)$ ；

(3)、用公式法解方程 $3 x^{2} + 6 x - 5 = 0$ ；

(4)、用合适的方法解方程 $4 x^{2} + 2 x = 1$ ．

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16. 在菱形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ， $∠ A B C = 60 °$ ，求 $B D$ 的长．

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17. 在矩形 $A B C D$ 中， $A C = 4$ ， $∠ B A C = 60 °$ ，求矩形 $A B C D$ 的面积．

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18. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 与 $B D$ 相交于点 $O$ ， $D H ⊥ A B$ 于点 $H$ ，连接 $H O . A C = 8$ ， $B D = 6$ ， $A B = 5$ ．

(1)、求证：四边形 $A B C D$ 是菱形．

(2)、求 $△ D H O$ 的周长

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19. 如图，将平行四边形ABCD的边DC延长到点E，使CE=DC，连接AE，交BC于点F．

(1)、求证：AC=BE；

(2)、若∠AFC=2∠D，连接AC，BE．求证：四边形ABEC是矩形．

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20. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 2 x + m = 0 (m < 0)$ ．

(1)、判断方程根的情况，并说明理由；

(2)、若方程的一个根为 $- 1$ ，求 $m$ 的值和方程的另一个根．

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21. 阅读下面的材料，回答问题：
解方程 $x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0$ ，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设 $x^{2} = y$ ，那么 $x^{4} = y^{2}$ ，于是原方程可变为 $y^{2} - 5 y + 4 = 0$ ①，解得 $y_{1} = 1 ， y_{2} = 4$

当 $y = 1$ ， $x^{2} = 1$ 时，∴ $x = \pm 1$ ；

当 $y = 4$ ， $x^{2} = 4$ 时，∴ $x = \pm 2$ ；

原方程有四个根： $x_{1} = 1 ， x_{2} = - 1 ， x_{3} = 2 ， x_{4} = - 2$ ．

(1)、在由原方程得到方程①的过程中，利用法达到降次的目的，体现了数学的转化思想．

(2)、试用上述方法解方程 ${(x^{2} + x)}^{2} - 4 (x^{2} + x) - 12 = 0$

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22. 如图，在 $△ A B C$ 中，点 $O$ 是 $A C$ 边上的一个动点，过点 $O$ 作直线 $M N / / B C$ ，设 $M N$ 交 $∠ B C A$ 的角平分线于点 $E$ ，交 $∠ B C A$ 的外角平分线于点 $F$ ．

(1)、求证： $E O = F O$ ；

(2)、当点 $O$ 运动到何处时，四边形 $A E C F$ 是矩形？并证明你的结论．

(3)、当点 $O$ 运动到何处，且 $△ A B C$ 满足什么条件时，四边形 $A E C F$ 是正方形？并说明理由．

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23. 问题解决：如图 $1$ ，在矩形 $A B C D$ 中，点 $E$ ， $F$ 分别在 $A B$ ， $B C$ 边上， $D E = A F$ ， $D E ⊥ A F$ 于点 $G$ ．

(1)、求证：四边形 $A B C D$ 是正方形；

(2)、延长 $C B$ 到点 $H$ ，使得 $B H = A E$ ，判断 $△ A H F$ 的形状，并说明理由．

(3)、类比迁移：如图 $2$ ，在菱形 $A B C D$ 中，点 $E$ ， $F$ 分别在 $A B$ ， $B C$ 边上， $D E$ 与 $A F$ 相交于点 $G$ ， $D E = A F$ ， $∠ A E D = 60 °$ ， $A E = 5$ ， $B F = 2$ ，求 $D E$ 的长．

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$x$	$3.23$	$3.24$	$3.25$	$3.26$
$a x^{2} + b x + c$	$- 0.06$	$- 0.02$	$0.03$	$0.09$