山西省太原重点中学2023-2024学年九年级上学期段考数学试卷（10月份）

试卷更新日期：2023-11-09 类型：月考试卷

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一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 一元二次方程 $x^{2} + 2 x = 0$ 的解为（）

A、 $x = - 2$ B、 $x = 2$ C、 $x_{1} = 0$ ， $x_{2} = - 2$ D、 $x_{1} = 0$ ， $x_{2} = 2$

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2. “学雷锋”活动月中，“飞翼”班将组织学生开展志愿者服务活动，小晴和小霞从“图书馆，博物馆，科技馆”三个场馆中随机选择一个参加活动，两人恰好选择同一场馆的概率是（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{1}{9}$ D、 $\frac{2}{9}$

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3. 如图，菱形 $A B C D$ 的两条对角线相交于点 $O$ ，若 $A C = 10$ ， $B D = 6$ ，则菱形 $A B C D$ 的周长是（）

A、 $16$ B、 $4 \sqrt{34}$ C、 $20$ D、 $8 \sqrt{17}$

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4. 观察下面的表格，一元二次方程 $x^{2} - x = 1.4$ 的一个近似解是（）
$x$
$1.1$
$1.2$
$1.3$
$1.4$
$1.5$
$1.6$
$1.7$
$1.8$
$1.9$
$x^{2} - x$
$0.11$
$0.24$
$0.39$
$0.56$
$0.75$
$0.96$
$1.19$
$1.44$
$1.71$

A、 $0.11$ B、 $1.6$ C、 $1.7$ D、 $1.8$

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5. 如图，四边形 $A B C D$ 的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（）

A、 $A B = C D$ B、 $A D = B C$ C、 $A C = B D$ D、 $A B = B C$

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6. 一元二次方程 $x^{2} - 2 x - 1 = 0$ 的根的情况为（）

A、有两个相等的实数根 B、有两个不相等的实数根 C、只有一个实数根 D、没有实数根

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7. 有三张正面分别写有数字 $1$ ， $2$ ， $- 3$ 的卡片，它们背面完全相同，现将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张，记录卡片上的数字，然后放回卡片，再将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张，记录卡片上的数字，则记录的两个数字乘积是正数的概率是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{5}{9}$

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8. 某超市一月份的营业额为200万元，三月份的营业额为288万元，如果每月比上月增长的百分数相同，则平均每月的增长（）

A、10% B、15% C、20% D、25%

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9. 用配方法解方程 $x^{2} - 2 x - 5 = 0$ 时，原方程应变形为（）

A、 ${(x + 1)}^{2} = 6$ B、 ${(x + 2)}^{2} = 9$ C、 ${(x - 1)}^{2} = 6$ D、 ${(x - 2)}^{2} = 9$

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10. 如图，边长分别为4和8的两个正方形ABCD和CEFG并排放在一起，连结BD并延长交EG于点T，交FG于点P，则GT＝（）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 $\sqrt{2}$ C、2 D、1

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二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11. 将一元二次方程 $x (x + 2) = 5 (x - 2)$ 化为一般形式是．

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12. 如图，在正方形 $A B C D$ 的内部作等边三角形 $A D E$ ，则 $∠ A E B$ 的度数是．

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13. 足球是一项非常古老的运动，最早起源于中国，是全球体育界最具影响力的单项体育运动，现从一批足球中随机抽检部分足球的质量，统计结果如表：
抽取的足球数 $n ($ 个 $)$
$100$
$200$
$400$
$600$
$1000$
$1500$
$2000$
优等品的频数 $m ($ 个 $)$
$93$
$192$
$380$
$561$
$938$
$1413$
$1878$
优等品的频率 $\frac{m}{n}$
$0.93$
$0.96$
$0.95$
$0.935$
$0.938$
$0.942$
$0.939$
据此推测，从这批足球中随机抽取一个足球是优等品的概率是 $($ 结果精确到 $0.01)$ ．

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14. 如图，有一块长 $32 c m$ ，宽 $24 c m$ 的矩形纸片，在每个角上截去相同的小正方形，再折起来做成一个无盖的盒子，已知盒子的底面积是原纸片面积的一半，若设盒子的高为xcm，则根据题意，可得方程：．

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15. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 1$ ， $B C = 2$ ，将其折叠，使 $A B$ 边落在对角线 $A C$ 上，得到折痕 $A E$ ，则点 $E$ 到点 $B$ 的距离为．

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三、解答题（本大题共7小题，共55.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16. 解方程：

(1)、 $5 x^{2} + 2 x - 1 = 0$ ；

(2)、 $x (x - 3) - 4 (3 - x) = 0$ ．

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17. 如图，菱形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ 、 $B D$ 相交于点 $O$ ， $B E / / A C$ ， $C E / / D B .$ 求证：四边形 $O B E C$ 是矩形．

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18. 某市要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？

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19. 在学校组织的国学比赛中，小明晋级了总决赛，比赛过程分两个环节，参赛选手须在每个环节中抽取一道题目．
第一环节：写字注音、成语故事、国学常识、成语接龙 $($ 分别用 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ， $A_{3}$ ， $A_{4}$ 表示 $)$ ；
第二环节：成语听写、诗词对句、经典诵读 $($ 分别用 $B_{1}$ ， $B_{2}$ ， $B_{3}$ 表示 $) .$ 求小明参加总决赛抽取题目都是成语题目 $($ 成语故事，成语接龙，成语听写 $)$ 的概率．

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20. 如图，在 $△ A B C$ 中， $C D$ 平分 $∠ A C B$ ， $C D$ 的垂直平分线分别交 $A C$ ， $D C$ ， $B C$ 于点 $E$ ， $F$ ， $G$ ，连接 $D E$ ， $D G$ ，求证：四边形 $D G C E$ 是菱形．

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21. 口罩在预防流感时起着非常重要的防护作用，主要是保护呼吸道，预防呼吸道飞沫的传播，减少病毒或细菌的侵袭，预防感染的作用，同时还可以预防有害物质的入侵，极大地减少交叉感染的概率，某药店新购进一批口罩进行销售，平均每天可售出 $500$ 个，每个盈利 $0.6$ 元，为了让利于民，药店决定采取适当的降价措施，根据以往的经验，如果每个口罩的售价每降低 $0.1$ 元，那么平均每天可多售出 $100$ 个，该药店要想通过销售这种口罩，每天盈利达到 $240$ 元，则每个口罩的售价应降价多少元？

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22. 如图1，在正方形 $A B C D$ 中，O是对角线的交点，P是线段 $A O$ 上任一点（不与点A，O重合），过点P作 $P E ⊥ P B$ ， $P E$ 交边 $C D$ 于点E．

(1)、 $∠ P C E$ 的度数为．

(2)、求证： $P B = P E$ ．

(3)、如图2，若正方形 $A B C D$ 的边长为4，过点E作 $E F ⊥ A C$ 于点F，在点P运动的过程中， $P F$ 的长度是否发生变化？若不发生变化，直接写出这个不变的值；若发生变化，请说明理由．

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$x$	$1.1$	$1.2$	$1.3$	$1.4$	$1.5$	$1.6$	$1.7$	$1.8$	$1.9$
$x^{2} - x$	$0.11$	$0.24$	$0.39$	$0.56$	$0.75$	$0.96$	$1.19$	$1.44$	$1.71$

抽取的足球数 $n ($ 个 $)$	$100$	$200$	$400$	$600$	$1000$	$1500$	$2000$
优等品的频数 $m ($ 个 $)$	$93$	$192$	$380$	$561$	$938$	$1413$	$1878$
优等品的频率 $\frac{m}{n}$	$0.93$	$0.96$	$0.95$	$0.935$	$0.938$	$0.942$	$0.939$