四川省成都市新津县2023-2024学年重点中学九年级上学期第一次月考数学试卷

试卷更新日期：2023-11-09 类型：月考试卷

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一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 估计 $5 \sqrt{6} - \sqrt{24}$ 的值应在（）

A、 $5$ 和 $6$ 之间 B、 $6$ 和 $7$ 之间 C、 $7$ 和 $8$ 之间 D、 $8$ 和 $9$ 之间

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2. 若单项式 $a^{m - 1} b^{2}$ 与 $\frac{1}{2} a^{2} b^{n}$ 的和仍是单项式，则 $n^{m}$ 的值是（）

A、 $3$ B、 $6$ C、 $8$ D、 $9$

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3. 已知关于x的分式方程 $\frac{m - 2}{x + 1}$ =1的解是负数，则m的取值范围是（）

A、m≤3 B、m≤3且m≠2 C、m＜3 D、m＜3且m≠2

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4. 关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - (k - 1) x - k + 2 = 0$ 有两个实数根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，若 $(x_{1} - x_{2} + 2) (x_{1} - x_{2} - 2) + 2 x_{1} x_{2} = - 3$ ，则 $k$ 的值（）

A、 $0$ 或 $2$ B、 $- 2$ 或 $2$ C、 $- 2$ D、 $2$

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5. 已知二次函数 $y = (x - a - 1) (x - a + 1) - 3 a + 7$ (其中 $x$ 是自变量)的图象与 $x$ 轴没有公共点，且当 $x < - 1$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而减小，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $a < 2$ B、 $a > - 1$ C、 $- 1 < a \leq 2$ D、 $- 1 \leq a < 2$

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6. 若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是菱形，则四边形ABCD一定是（）

A、菱形 B、对角线互相垂直的四边形 C、矩形 D、对角线相等的四边形

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7. 如图，将▱ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点E处，交BC于点F，若∠ABD=48°，∠CFD=40°，则∠E为 $($ $)$

A、 $102 °$ B、 $112 °$ C、 $122 °$ D、 $92 °$

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8. 如图，⊙O中，半径OC⊥弦AB于点D，点E在⊙O上，∠E=22.5°，AB=4，则半径OB等于（）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、2 $\sqrt{2}$ D、3

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9. 如图，已知AB是 $⊙ O$ 的直径，点P在BA的延长线上，PD与 $⊙ O$ 相切于点D，过点B作PD的垂线交PD的延长线于点C，若 $⊙ O$ 的半径为4， $B C = 6$ ，则PA的长为（）

A、4 B、 $2 \sqrt{3}$ C、3 D、2.5

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10. 已知 $a b < 0$ ，一次函数 $y = a x - b$ 与反比例函数 $y = \frac{a}{x}$ 在同一直角坐标系中的图象可能（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11. 计算： $\sqrt{18} - \sqrt{32} + \sqrt{2} =$ .

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12. 因式分解： $3 x^{3} - 12 x$ =.

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13. 若正多边形的每一个内角为135°，则这个正多边形的边数是．

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14. 如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点 $B'$ 处，当 $△ CEB'$ 为直角三角形时，BE的长为

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15. 如图， $C$ 为半圆内一点， $O$ 为圆心，直径 $A B$ 长为 $2 c m$ ， $∠ B O C = 60 °$ ， $∠ B C O = 90 °$ ，将 $△ B O C$ 绕圆心 $O$ 逆时针旋转至 $△ B' O C'$ ，点 $C'$ 在 $O A$ 上，则边 $B C$ 扫过区域 $($ 图中阴影部分 $)$ 的面积为 $c m^{2} . ($ 结果保留 $π)$

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16. 如图，在正方形 $A B C D$ 的外侧，作等边 $△ D C E$ ，则 $∠ A E C$ 的度数是．

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三、计算题（本大题共2小题，共12.0分）

17. 解分式方程： $\frac{3}{x^{2} - x}$ +1= $\frac{x}{x - 1}$ ．

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18. 正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF=45°.将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM.

(1)、求证：EF=FM

(2)、当AE=1时，求EF的长．

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四、解答题（本大题共4小题，共32.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19. 关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + (2 k + 1) x + k^{2} + 1 = 0$ 有两个不等实根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ．

(1)、求实数 $k$ 的取值范围．

(2)、若方程两实根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 满足 $| x_{1} | + | x_{2} | = x_{1} \cdot x_{2}$ ，求 $k$ 的值．

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20. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，过点 $C$ 的直线 $M N / / A B$ ， $D$ 为 $A B$ 边上一点，过点 $D$ 作 $D E ⊥ B C$ ，交直线 $M N$ 于 $E$ ，垂足为 $F$ ，连接 $C D$ 、 $B E$ ．

(1)、求证： $C E = A D$ ；

(2)、当 $D$ 在 $A B$ 中点时，四边形 $B E C D$ 是什么特殊四边形？说明你的理由；

(3)、若 $D$ 为 $A B$ 中点，则当 $∠ A$ 的大小满足什么条件时，四边形 $B E C D$ 是正方形？请说明你的理由．

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21. 某初级中学数学兴趣小组为了了解本校学生的年龄情况，随机调查了该校部分学生的年龄，整理数据并绘制如下不完整的统计图．
依据以上信息解答以下问题：

(1)、求样本容量；

(2)、直接写出样本的平均数，众数和中位数；

(3)、若该校一共有 $1800$ 名学生，估计该校年龄在 $15$ 岁及以上的学生人数．

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22. “互联网 $+$ ”时代，网上购物备受消费者青睐．某网店专售一款休闲裤，其成本为每条 $40$ 元，当售价为每条 $80$ 元时，每月可销售 $100$ 条．为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施，据市场调查反映：销售单价每降 $1$ 元，则每月可多销售 $5$ 条．设每条裤子的售价为 $x$ 元 $(x$ 为正整数 $)$ ，每月的销售量为 $y$ 条．

(1)、直接写出 $y$ 与 $x$ 的函数关系式；

(2)、设该网店每月获得的利润为 $w$ 元，当销售单价降低多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？

(3)、该网店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出 $200$ 元资助贫困学生，为了保证捐款后每月利润不低于 $3220$ 元，且让消费者得到最大的实惠，该如何确定休闲裤的销售单价？

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