湖南省长沙市雅礼教育集团2023-2024学年九年级上学期能力测试数学试卷

试卷更新日期：2023-11-09 类型：月考试卷

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一、填空题（本大题共16小题，共80.0分）

1. 下列因式分解正确的是 $. ($ 填序号 $)$
$① x^{2} - x + \frac{1}{4} = (x - \frac{1}{2})^{2}$ ；
$② a^{4} b - 6 a^{3} b + 9 a^{2} b = a^{2} b (a^{2} - 6 a + 9)$ ；
$③ x^{2} - 2 x + 4 = (x - 2)^{2}$ ；
$④ 4 x^{2} - y^{2} = (4 x + y) (4 x - y)$ ．

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2. 已知 $a = (\frac{3}{5})^{- \frac{1}{3}}$ ， $b = (\frac{5}{3})^{\frac{1}{2}}$ ， $c = (\frac{4}{3})^{- \frac{1}{2}}$ ，则 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 三个数的大小关系是．

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3. 关于 $x$ 的一元二次方程 $k x^{2} - 3 x + 1 = 0$ 有两个不相等的实数根，则 $k$ 的取值范围部是．

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4. 一个数 $x$ 的小数部分用 ${x}$ 表示， $x - {x}$ 为整数，且 $0 \leq {x} \leq 1$ ，记 $9 + \sqrt{13}$ ， $9 - \sqrt{13}$ 的小数部分分别为 $a$ ， $b$ ，则 $a b - 4 a + 3 b - 2 =$ ．

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5. 关于 $x$ 的不等式组 ${\begin{array}{l} x > m + 3 \\ 5 x - 2 < 4 x + 1 \end{array}$ 的整数解仅有 $4$ 个，则 $m$ 的取值范围是．

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6. 一次函数 $y = \frac{4}{3} x + b (b < 0)$ 与 $y = \frac{4}{3} x - 1$ 图象之间的距离等于 $3$ ，则 $b$ 的值为．

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7. 函数 $y = (a - \sqrt{3}) x - 1$ 的函数值 $y$ 随自变量 $x$ 的增大而减小，下列描述中： $① a < \sqrt{3}$ ； $②$ 函数图象与 $y$ 轴的交点为 $(0 ， - 1)$ ； $③$ 函数图象经过第一象限； $④$ 点 $(a + \sqrt{3} ， a^{2} - 4)$ 在该函数图象上，正确的描述有 $($ 填写番号 $)$

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8. 我们知道，若 $a b > 0 .$ 则有 ${\begin{array}{l} a > 0 \\ b > 0 \end{array}$ 或 ${\begin{array}{l} a < 0 \\ b < 0 \end{array} .$ 如图，直线 $y = k x + b$ 与 $y = m x + n$ 分别交 $x$ 轴于点 $A (- 0.5 ， 0)$ 、 $B (2 ， 0)$ ，则不等式 $(k x + b) (m x + n) > 0$ 的解集是．

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9. 若直线 $A B$ ： $y = \frac{2}{3} x + 4$ 与 $x$ 轴、 $y$ 轴分别交于点 $B$ 和点 $A$ ，直线 $C D$ ： $y = - \frac{1}{2} x + 2$ 与 $x$ 轴、 $y$ 轴分别交于点 $D$ 和点 $C$ ，线段 $A B$ 与 $C D$ 的中点分别是 $M$ ， $N$ ，点 $P$ 为 $x$ 轴上一动点．
$(1)$ 点 $M$ 的坐标为；
$(2)$ 当 $P M + P N$ 的值最小时，点 $P$ 的坐标为．

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10. 方程 $x^{2} + a x + 1 = 0$ 和 $x^{2} - x - a = 0$ 有一个公共根，则 $a$ 的值是．

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11. 已知关于 $x$ 的方程 $(a - 1) x^{2} + 2 x - (a + 1) = 0$ 的根都是整数，则满足条件的整数 $a$ 的值为．

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12. 已知实数 $α$ ， $β$ 满足 $α^{2} + 3 α - 1 = 0$ ， $β^{2} - 3 β - 1 = 0$ ，且 $α β \neq 1$ ，则 $α^{- 2} + 3 β$ . 的值为．

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13. 有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉 $.$ 把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图， $∠ A B C = 90 °$ ，点 $M$ ， $N$ 分别在射线 $B A$ ， $B C$ 上， $M N$ 长度始终保持不变 $. M N = 4$ ， $E$ 为 $M N$ 的中点，点 $D$ 到 $B A$ ， $B C$ 的距离分别为 $3$ 和 $2$ ，在此滑动过程中，猫与老鼠的距离 $D E$ 的最小值为．

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14. 如在正方形 $A B C D$ 中， $E$ 为 $B C$ 上一点，过点 $E$ 作 $E F / / C D$ ，交 $A D$ 于 $F$ ，交对角线 $B D$ 于 $G$ ，取 $D G$ 的中点 $H$ ，连接 $A H$ ， $E H$ ， $F H .$ 下列结论：
$① F H / / A E$ ；
$② A H = E H$ 且 $A H ⊥ E H$ ；
$③ ∠ B A H = ∠ H E C$ ；
$④ △ E H F$ ≌ $△ A H D$ ；
$⑤$ 若 $\frac{B E}{E C} = 2$ ，则 $\frac{S_{四边形 D H E C}}{S_{△ A H E}} = \frac{3}{13}$ ，
其中哪些结论是正确的 $. ($ 填序号 $)$

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15. 已知 $x$ ， $y$ ， $z$ ， $a$ ， $b$ 均为非零实数，且满足 $\frac{x y}{x + y} = \frac{1}{a^{3} - b^{3}} ， \frac{y z}{y + z} = \frac{1}{a^{3}} ， \frac{x z}{x + z} = \frac{1}{a^{3} + b^{3}} ， \frac{x y z}{x y + y z + z x} = \frac{2}{81}$ ，则 $a$ 的值为．

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16. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的大致图象如图所示，顶点坐标为 $(- 2 ， - 9 a)$ ，下列结论：
$① a b c > 0$ ；
$② 4 a + 2 b + c > 0$ ；
$③ 9 a - b + c = 0$ ；
$④$ 若方程 $a (x + 5) (x - 1) = - 1$ 有两个根 $x_{1}$ 和 $x_{2}$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ ，则 $- 5 < x_{1} < x_{2} < 1$ ；
$⑤$ 若方程 $| a x^{2} + b x + c | = 1$ 有四个根，则这四个根的和为 $- 8$ ．
其中正确的结论为．

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二、解答题（本大题共4小题，共40.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 已知 $x$ ， $y$ ， $z$ 为正数，且 ${\begin{array}{l} x + y + x y = 8 \\ y + z + y z = 15 \\ z + x + z x = 35 \end{array}$ ，求 $x + y + z + x y$ 的值．

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18. 已知：在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = A C$ ，点 $D$ 为直线 $B C$ 上一动点 $($ 点 $D$ 不与 $B$ 、 $C$ 重合 $) .$ 以 $A D$ 为边作正方形 $A D E F$ ，连接 $C F$ ．

(1)、如图 $1$ ，当点 $D$ 在线段 $B C$ 上时，求证：
$① B D ⊥ C F$ ；
$② C F = B C - C D$ ．

(2)、如图 $2$ ，当点 $D$ 在线段 $B C$ 的反向延长线上时，且点 $A$ 、 $F$ 分别在直线 $B C$ 的两侧，其它条件不变：
$①$ 请直接写出 $C F$ 、 $B C$ 、 $C D$ 三条线段之间的关系；
$②$ 若连接正方形对角线 $A E$ 、 $D F$ ，交点为 $O$ ，连接 $O C$ ，探究 $△ A O C$ 的形状，并说明理由．

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19. 我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”．

(1)、①在“平行四边形，矩形，菱形、正方形”中，一定是“十字形”的有；
$②$ 若凸四边形 $A B C D$ 是“十字形”， $A C = a$ ， $B D = b$ ，则该四边形的面积为；

(2)、如图，以“十字形” $A B C D$ 的对角线 $A C$ 与 $B D$ 为坐标轴，建立如图所示的平面直角坐标系 $x O y$ ，若计“十字形” $A B C D$ 的面积为 $S$ ，记 $△ A O B$ ， $△ C O D$ ， $△ A O D$ ， $△ B O C$ 的面积分别为： $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， $S_{3}$ ， $S_{4}$ ，且同时满足四个条件： $① \sqrt{S} = {\sqrt{S}}_{1} + {\sqrt{S}}_{2}$ ； $② \sqrt{S} = {\sqrt{S}}_{3} + {\sqrt{S}}_{4}$ ； $③$ “十字形” $A B C D$ 的周长为 $32$ ； $④ ∠ A B C = 60 °$ ；若 $E$ 为 $O A$ 的中点， $F$ 为线段 $B O$ 上一动点，连接 $E F$ ，动点 $P$ 从点 $E$ 出发，以 $1 c m / s$ 的速度沿线段 $E F$ 匀速运动到点 $F$ ，再以 $2 c m / s$ 的速度沿线段 $F B$ 匀速运动到点 $B$ ，到达点 $B$ 后停止运动，当点 $P$ 沿上述路线运动到点 $B$ 所需要的时间最短时，求点 $P$ 走完全程所需的时间及直线 $E F$ 的解析式．

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20. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + 3 (a \neq 0)$ 与 $x$ 轴分别交于点 $A (- 1 ， 0)$ ， $B (3 ， 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、存在正实数 $m$ ， $n (m < n)$ ，当 $m \leq x \leq n$ 时，恰好满足 $\frac{m}{m + 3} \leq \frac{2}{y + 2} \leq \frac{n}{n + 3}$ ，求 $m$ ， $n$ 的值．

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