湖南省衡阳市2023-2024学年九年级上学期第一次月考数学试题

试卷更新日期：2023-11-09 类型：月考试卷

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一、选择题（共11小题）

1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（）

A、 $\sqrt{7}$ B、 $\sqrt{9}$ C、 $\sqrt{18}$ D、 $\sqrt{\frac{1}{2}}$

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2. 一元二次方程 $2 x^{2} + 3 x - 4 = 0$ 的一次项系数是（）

A、 $- 4$ B、 $- 3$ C、2 D、3

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3. 下列计算结果正确的是（）

A、 $3 + 2 \sqrt{2} = 5 \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{12} - \sqrt{3} = 9$ C、 $(\sqrt{2})^{2} = 2$ D、 $\sqrt{25} = \pm 5$

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4. 如图，直线 $l_{1} ∥ l_{2} ∥ l_{3}$ ，直线AC和DF被 $l_{1} ， l_{2} ， l_{3}$ 所截，如果 $A B = 3 ， B C = 5 ， E F = 4$ ，那么DE的长是（）

A、 $\frac{12}{5}$ B、 $\frac{32}{5}$ C、 $\frac{20}{3}$ D、 $\frac{32}{3}$

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5. 若点P的坐标 $(x ， y)$ 满足条件 $| x - 3 | + \sqrt{y + 2} = 0$ ，则点P的坐标是（）

A、 $(2 ， - 3)$ B、 $(- 3 ， 2)$ C、 $(3 ， - 2)$ D、 $(- 2 ， 3)$

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6. 设 $x_{1} 、 x_{2}$ ，是一元二次方程 $x^{2} - 2 x - 1 = 0$ 的两个实数根，则 $x_{1} \cdot x_{2} =$ （）

A、2 B、1 C、 $- 2$ D、 $- 1$

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7. 已知a= $\sqrt{2}$ ， b= $\sqrt{10}$ ，用含a、b的代数式表示 $\sqrt{20}$ ，这个代数式是（）

A、a+b B、ab C、2a D、2b

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8. 如图，在一块长 $92 m$ ，宽 $60 m$ 的矩形耕地上挖三条水渠（水渠的宽都相等），水渠把耕地分成6个矩形小块（阴影部分），如果6个矩形小块的面积和为 $5310 m^{2}$ ，那么水渠应挖多宽？若设水渠应挖 $x m$ 宽，则根据题意，下面所列方程中正确的是（）

A、 $(92 - 2 x) (60 - x) = 5310$ B、 $92 \times 60 - 2 \times 60 x - 92 x - 2 x^{2} = 5310$ C、 $92 \times 60 - 2 \times 60 x - 92 x = 5310$ D、 $92 \times 60 - 2 \times 92 x - 60 x + 2 x^{2} = 5310$

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9. 已知点 $A (m^{2} - 2 ， 5 m + 4)$ 在第一象限角平分线上，则m的值为（）

A、6 B、 $- 1$ C、2或3 D、 $- 1$ 或6

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10. 对于一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ ，下列说法：
①若 $a + b + c = 0$ ，则 $b^{2} - 4 a c \geq 0$ ；
②若方程 $a x^{2} + c = 0$ 有两个不相等的实根，则方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 必有两个不相等的实根；
③若 $x_{0}$ 是一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的根，则 $b^{2} - 4 a c = {(2 a x_{0} + b)}^{2}$ ；
④若c是方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的一个根，则一定有 $a c + b + 1 = 0$ 成立．
其中正确的（）

A、只有①② B、只有①②④ C、①②③④ D、只有①②③

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二、填空题（共4小题）

11. 要使二次根式 $\sqrt{x - 2}$ 有意义，则x的取值范围是．

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12. 已知 $\frac{a}{a + 2 b} = \frac{3}{5}$ ，则 $\frac{a}{b}$ 的值为．

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13. 已知a是方程 $x^{2} + 3 x - 1 = 0$ 的一个实数根，则 $a^{2} + 3 a + 2022$ 的值为．

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14. 已知 $\sqrt{a + 2}$ 为最简二次根式，且能够与 $\sqrt{\frac{5}{2}}$ 合并，则a的值是．

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15. 若某等腰三角形的底和腰的长分别是一元二次方程 $x^{2} - 6 x + 8 = 0$ 的两根，则这个等腰三角形的周长是．

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16. 如图，在平面直角坐标系中，已知 $A (0 ， m) ， B (n ， 0) ， C (n ， 4)$ 三点，其中m ， n满足关系式 $m = \frac{\sqrt{n^{2} - 9} + \sqrt{9 - n^{2}}}{n + 3} + 2$ ．若在第二象限内有一点 $P (a ， 1)$ ，使四边形ABOP的面积与三角形ABC的面积之比为 $2 ： 3$ ，则点P的坐标为．

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三、解答题（共10小题）

17. 计算： $2023 ° + \sqrt{8} \div \sqrt{\frac{1}{2}} + | 1 - \sqrt{2} |$

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18. 解方程： $x^{2} - 4 x - 2 = 0$

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19.

(1)、若 $\sqrt{(1 + x)^{2}} = - 1 - x$ ，则x的取值范围为；

(2)、已知实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简 $\sqrt{a^{2}} - | c - a | + \sqrt{(b - c)^{2}}$

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20. 如图，爷爷家有一块长方形空地ABCD，空地的长AB为 $\sqrt{32} m$ ，宽BC为 $\sqrt{18} m$ ，爷爷准备在空地中划出一块长 $(\sqrt{3} + 1) m$ ，宽 $(\sqrt{3} - 1) m$ （的小长方形地种植香菜（即图中阴影部分），其余部分种植青菜．

(1)、求出长方形ABCD的周长；（结果化为最简二次根式）

(2)、求种植青菜部分的面积．

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21. 已知关于x的方程 $x^{2} + (2 k - 1) x + k^{2} - 1 = 0$ 有两个不相等实数根．

(1)、求k的取值范围；

(2)、若方程其中一个根为 $- 1$ ，求方程的另一个根．

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22. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定.某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同.

(1)、求该品牌头盔销售量的月增长率；

(2)、若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？

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23. 如图，一次函数 $y = a x + b$ 的图象与反比例函数的图象交于第一象限 $C (1 ， 4) ， D (4 ， m)$ 两点，与坐标轴交于A、B两点，连接OC，OD，（O是坐标原点）

(1)、求一次函数与反比例函数的表达式；

(2)、当 $a x + b < \frac{k}{x}$ 时，直接写出x的取值范围；

(3)、将直线AB向下平移多少个单位长度，直线与反比例函数图象只有一个交点？

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24. 若我们规定：在平面直角坐标系中，点P的坐标为 $(x ， y_{1})$ ，点Q的坐标为 $(x ， y_{2})$ ， $y_{1}$ 和 $y_{2}$ 的差构成一个新函数y，即 $y = y_{1} - y_{2}$ ．称y是 $y_{1} - y_{2}$ 的“数天数函数”，P为“天数点1”，Q为“天数点2”．（亲爱的同学们：愿你们在“数天数”中不负韶华，一次次交上自己满意的答卷．）

(1)、已知“天数点1”为点 $A (x ， k x + 4)$ ， “天数点2”为点 $B (x ， 2 x)$ ．点 $C (2 ， 3)$ 在“数天数函数” $y = y_{1} - y_{2}$ 图象上，求y的解析式；

(2)、已知“天数点1”为点 $M (x ， x^{2} + 3)$ ， “天数点2”为点 $N (x ， 3 x)$ ， y是“数天数函数”，求 $x + y$ 的最小值；

(3)、关于x的方程的两个实数根 $x_{1} 、 x_{2}$ ， “数天数函数” $S = S_{1} - S_{2}$ ．若， $S_{2} = - x_{2}$ ，且 $S_{1} = m + 1$ ，求m的值．

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25. 如图所示， $△ A B C$ 中， $∠ B = 90 ° ， A B = 6 c m ， B C = 8 c m$ ．点P从点A开始沿AB边向B以 $1 c m / s$ 的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以 $2 c m / s$ 的速度移动，P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动设运动时间为t秒

(1)、是否存在某一时刻t，使 $P Q ∥ A C$ ？若存在，请求出此刻t的值，若不存在请说出理由．

(2)、当t为何值时，点PQ之间的距离为 $4 \sqrt{2} c m$ ?

(3)、若点P，Q的速度保持不变，点P在到达点B后返回点A，点Q在到达点C后返回点B，一个点停止，另一个点也随之停止．问：当t为何值时， $△ P B Q$ 的面积等于 $3 c m^{2}$ ?

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