河北省保定市高碑店市2023-2024学年九年级上学期月考数学试题

试卷更新日期：2023-11-09 类型：月考试卷

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一、选择题（本大题共16个小题，共38分．1～6小题各3分，7～16小题各2分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 如图，围绕在正方形四周的四条线段 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ 中，长度最长的是（）

A、 $a$ B、 $b$ C、 $c$ D、 $d$

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2. 若方程 $□ - 3 = x$ 是关于 $x$ 的一元二次方程，则“ $□$ ”可以是（）

A、 $- 2 x$ B、 $2^{2}$ C、 $2 x^{2}$ D、 $y^{2}$

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3. 如图， $A C$ 为菱形 $A B C D$ 的对角线，若 $∠ D A B = 40 °$ ，则 $∠ B A C$ 的度数为（）

A、 $15 °$ B、 $20 °$ C、 $25 °$ D、 $30 °$

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4. 一元二次方程 $x^{2} - 3 x = 0$ 的解为（）

A、 $x = 0$ B、 $x = 3$ C、 $x_{1} = 0$ ， $x_{2} = 3$ D、 $x_{1} = 0$ ， $x_{2} = - 3$

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5. 菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（）

A、对角线互相垂直 B、对边相等 C、对角相等 D、是中心对称图形

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6. 探索关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 的一个解的过程如下表所示：x
x -3 -1
1
4
$a x^{2} + b x + c$
0.06
0.02
-0.03 -0.07
可以看出该方程的一个解应介于整数 $m$ 和 $n (m < n)$ 之间，则整数 $m$ ， $n$ 分别是（）

A、 $- 3$ ， $- 1$ B、 $- 1$ ， 1 C、1，4 D、4，5

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7. 如图，在矩形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ ， $B D$ 相交于点 $O$ ，如果 $∠ A D B = 25 °$ ，那么 $∠ A O B$ 的度数为（）

A、 $50 °$ B、 $45 °$ C、 $40 °$ D、 $35 °$

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8. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + m x - 3 = 0$ 有一个解为1，则该方程的另一个解为（）

A、0 B、2 C、3 D、 $- 3$

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9. 如图，若四边形 $A B C D$ 是平行四边形，则下列结论中错误的是（）

A、当 $A C ⊥ B D$ 时，它是矩形 B、当 $A C = B D$ 时，它是矩形 C、当 $∠ A B C = 90 °$ 时，它是矩形 D、当 $A B = B C$ 时，它是正方形

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10. 若一元二次方程 $x^{2} - 3 x = ?$ 有两个不相等的实数根，则“ $?$ ”所表示的数可以是（）

A、 $- 4$ B、 $- 3$ C、 $- \frac{9}{4}$ D、 $- 2$

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11. 在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $O$ 是 $A C$ 的中点，求证： $B O = \frac{1}{2} A C$ ．
证明：如图，延长 $B O$ 至点 $D$ ，使 $O D = B O$ ，连接 $A D$ ， $C D$ ．
……
$∴ A C = B D = 2 O B$ ，
$∴ B O = \frac{1}{2} A C$ ．
下面是“……”部分被打乱顺序的证明过程：①∴四边形 $A B C D$ 是平行四边形；②∵ $∠ A B C = 90 °$ ；③∵ $O A = O C$ ， $O B = O D$ ；④∴四边形 $A B C D$ 是矩形．

A、③①②④ B、③②①④ C、②③①④ D、②①③④

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12. 某节数学课上，老师让学生解关于

x

的方程

x (x + 5) = 2 (x + 5)

，下面是这三位同学的解答过程：

小逸

小明

小琛

两边同时除以 $(x + 5)$ ，得 $x = 2$ ．

整理得 $x^{2} + 3 x = 10$ ，

配方得 $x^{3} + 3 x + \frac{9}{4} = 10 + \frac{9}{4}$ ，

$∴ {(x + \frac{3}{2})}^{2} = \frac{49}{4}$ ， $∴ x + \frac{3}{2} = \pm \frac{7}{2}$ ，

$∴ x_{1} = 2$ ， $x_{2} = - 5$ ．

移项得 $x (x + 5) - 2 (x + 5) = 0$ ，

$∴ (x + 5) (x - 2) = 0$ ，

$∴ x + 5 = 0$ 或 $x - 2 = 0$ ，

$∴ x_{1} = - 5$ ， $x_{2} = 2$ ．

下列选项中，说法正确的是（）

A、只有小明的解法正确 B、只有小琛的解法正确 C、只有小逸的解法错误 D、小逸和小琛的解法都是错误的

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13. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，四边形 $A B C O$ 是正方形，已知点 $A$ 的坐标为 $(2 ， 1)$ ，则点 $C$ 的坐标为（）

A、 $(- 1 ， 2)$ B、 $(1 ， - 2)$ C、 $(- 1 ， \sqrt{5})$ D、 $(- 2 ， 1)$

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14. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + b x + c = 0$ 有一个非零实数根 $c$ ，则 $b + c$ 的值为（）

A、1 B、 $- 1$ C、0 D、2

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15. 如图，矩形绿地的长为 $12 m$ ，宽为 $9 m$ ，将此绿地的长、宽各增加相同的长度后，绿地面积增加了 $72 m^{2}$ ，设绿地的长、宽增加的长度为 $x m$ ，则下面所列方程正确的是（）

A、 $12 x \cdot 9 x = 12 \times 9 + 72$ B、 $12 x + 9 x = 72$ C、 $(12 + x) (9 + x) = 12 \times 9 + 72$ D、 $(12 - x) (9 - x) = 12 \times 9 + 72$

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16. 如图，把一张矩形纸片 $A B C D$ 按如下方法进行两次折叠：第一次将 $D A$ 边折叠到 $D C$ 边上得到 $D A^{'}$ ，抓痕为 $D M$ ，连接 $A^{'} M$ ， $C M$ ，第二次将 $△ M B C$ 沿着 $M C$ 折叠， $M B$ 边恰好落在 $M D$ 边上．若 $A D = 1$ ，则 $A B$ 的长为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{2} - 1$

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二、填空题（本大题共3个小题，共10分．17小题2分，18～19小题各4分，每空2分）

17. 把一元二次方程 $x (x - 3) = 4$ 化成 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的一般形式，其中 $a = 1$ ，则常数项 $c =$ ．

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18. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} = b (a b > 0)$ 的两个根分别是 $m$ 与 $2 m - 6$ ，则 $m$ 的值为，方程的根为．

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19. 如图，菱形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ ， $B D$ 相交于点 $O$ ，过点 $A$ 作 $A E ⊥ B C$ 于点 $E$ ，连接 $O E$ ．

(1)、 $∠ C E O$ $∠ B A C$ ．（填“ $>$ ”、“ $<$ ”或“=”）

(2)、若 $O B = 2$ ，菱形 $A B C D$ 的面积为4，则 $A E$ 的长为．

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三、解答题（本大题共7个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

20. 嘉淇同学解方程 $x^{2} - 2 x - 1 = 0$ 的过程如下表表示．
解方程： $x^{2} - 2 x - 1 = 0$ ．
解： $x^{2} - 2 x = 1$ ， ……第一步
$(x - 1)^{2} = 1$ ， ……第二步
$x_{1} = 0$ ， $x_{2} = 2$ ． ……第三步

(1)、嘉淇同学是用（“配方法”、“公式法”或“因式分解法”）求求解的，从第步开始出现错误．

(2)、请你用不同于（1）中的方法解该方程．

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21. 如图，矩形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ ， $B D$ 相交于点 $O$ ，过点 $C$ 作 $B D$ 的平行线交 $A B$ 的延长线于点 $E$ ．

(1)、求证： $A C = C E$ ．

(2)、若 $∠ B O C = 60 °$ ， $C E = 4$ ，求 $A B$ 的长．

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22. 定义：如果关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 满足 $b = a + c$ ，那么我们称这个方程为“完美方程”．

(1)、下面方程是“完美方程”的是．（填序号）
① $x^{2} - 4 x + 3 = 0$ ② $2 x^{2} + x + 3 = 0$ ③ $2 x^{2} - x - 3 = 0$

(2)、已知 $3 x^{2} + m x + n = 0$ 是关于 $x$ 的“完美方程”，若 $m$ 是此“完美方程”的一个根，求 $m$ 的值．

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23. 如图，在 $▱ A B C D$ 中， $E$ ， $F$ 分别是边 $C D$ ， $B C$ 上的点，连接 $B E$ ， $D F$ ， $B E$ 与 $D F$ 交于点 $P$ ， $B E = D F$ ．添加下列条件之一使 $▱ A B C D$ 成为菱形：① $C E = C F$ ；② $B E ⊥ C D$ ， $D F ⊥ B C$ ．

(1)、你添加的条件是 ▲ （填序号），并证明．

(2)、在（1）的条件下，若 $∠ A = 45 °$ ， $△ B F P$ 的周长为4，求菱形的边长．

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24. 如图1，在 $▱ A B C D$ 中，点 $E$ ， $F$ 在对角线 $A C$ 上， $A E = C F$ ， $D E ⊥ A C$ ，过点 $D$ 作 $D G ∥ A C$ 交 $B F$ 的延长线于点 $G$ ．
图1

(1)、求证：四边形 $D E F G$ 是矩形．

(2)、如图2，连接 $D F$ ， $B E$ 当 $∠ D F G = ∠ B E F$ 时，判断四边形 $D E F G$ 的形状，并说明理由．
图2

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25. 某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶，在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现，每降价1元，每月多售出20顶，已知头盔的进价为每顶50元．

(1)、若每顶头盔降价10元，则每月可销售顶头盔，每月销售利润为元．

(2)、若商店为了减少库存，准备降价销售这批头盔，同时确保每月的销售利润为7500元，求头盔的销售单价．

(3)、若降价销售这批头盔，每月的利润能否达到9000元？请说明理由．

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26. 在正方形 $A B C D$ 中， $F$ 为对角线 $A C$ 上一点，连接 $B F$ ， $D F$ ．

(1)、如图1，图中的全等三角形有（不必证明）．

(2)、如图2， $P$ 为 $D F$ 延长线上一点，且 $B P ⊥ B F$ ， $D P$ 交 $B C$ 于点 $E$ ．判断 $△ B P E$ 的形状，并说明理由．

(3)、如图3，过点 $F$ 作 $H F ⊥ B F$ 交 $D C$ 的延长线于点 $H$ ．
①求证： $H F = D F$ ．
②若 $A B = \sqrt{3} + 1$ ， $∠ C B F = 30 °$ ，请直接写出 $C H$ 的长．

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x	-3	-1	1	4
$a x^{2} + b x + c$	0.06	0.02	-0.03	-0.07