湖北省恩施市沙地、崔坝、双河、新塘四校2023-2024学年九年级上学期数学期中试卷

试卷更新日期：2023-11-09 类型：期中考试

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一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）

1. 抛物线 $y = - 2 {(x - 3)}^{2} + 5$ 的顶点坐标是（）

A、 $(3 ， 5)$ B、 $(3 ， - 5)$ C、 $(- 3 ， 5)$ D、 $(- 2 ， 5)$

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2. 下列4个图形中，是中心对称图形但不是轴对称的图形是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 把抛物线 $y = 2 x^{2}$ 先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的函数表达式为（）

A、 $y = 2 {(x + 3)}^{2} + 4$ B、 $y = 2 {(x + 3)}^{2} - 4$ C、 $y = 2 {(x - 3)}^{2} - 4$ D、 $y = 2 {(x - 3)}^{2} + 4$

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4. 若 $α$ 、 $β$ 是方程 $x^{2} + 2 x - 2005 = 0$ 的两个实数根，则 $α^{2} + 3 α + β$ 的值为（）

A、2005 B、2003 C、－2005 D、4010

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5. 方程 $x^{2} - x + 3 = 0$ 的根的情况是（）

A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根 C、无实数根 D、只有一个实数根

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6. 甲、乙两个同学分别解一道一元二次方程，甲因把一次项系数看错了，而解得方程两根为－3和5，乙把常数项看错了，解得两根为＋2和－3，则原方程是（）

A、 $x^{2} + 4 x - 15 = 0$ B、 $x^{2} - 4 x + 15 = 0$ C、 $x^{2} + 4 x + 15 = 0$ D、 $x^{2} + x - 15 = 0$

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7. 已知等腰三角形两边的长x、y满足 $| x^{2} - 9 | + {(y - 4)}^{2} = 0$ ，则第三角形周长为（）

A、10 B、11 C、12 D、10或11

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8. 关于x的二次函数 $y = (m^{2} - 2 m - 3) x^{m^{2} - 7} - 2 x + 1$ 中m的值是（）

A、 $\pm 3$ B、3 C、－3 D、1

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9. 已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 与x轴有两个不同的交点，则关于x的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 根的情况是（）

A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根 C、实数根 D、无法确定

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10. 抛物线 $y = - 2 x^{2} + 4 x + 5$ 上有三个点 $A (- 1 ， y_{1})$ 、 $B (2 ， y_{2})$ 、 $C (4 ， y_{3})$ ，则 $y_{1}$ 、 $y_{2}$ 、 $y_{3}$ 的大小关系正确的是（）

A、 $y_{1} < y_{2} < y_{3}$ B、 $y_{2} < y_{1} < y_{3}$ C、 $y_{3} < y_{1} < y_{2}$ D、 $y_{3} < y_{2} < y_{1}$

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11. 直线 $y = a x + b$ 与抛物线 $y = a x^{2} + b x - a b$ 在同一坐标系里的大致图象正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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12. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象如图所示，有下列4个结论：① $a b c > 0$ ；② $b < a + c$ ；③ $4 a + 2 b + c > 0$ ；④ $b^{2} - 4 a c > 0$ ；其中正确的结论有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．把答案填在题中的横线上．）

13. 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请个队参赛；

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14. 抛物线 $y = x^{2} - x - 6$ 与x轴交于A、B两点，则线段AB的长为；

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15. 抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 的部分图象如图所示，则 $- x^{2} + b x + c < 0$ 的解集是；

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16. 如图所示的图形，如果用x表示六边形边上的小圆圈数（第一个图形看作边上的小圆圈数为1的六边形），用y表示第x个图形的小圆圈的总数，则y与x的函数关系式是．

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三、解答题共（本大题共8小题，共72分）

17. 解方程

(1)、 $3 x (x + 2) = x + 2$

(2)、 $x^{2} - 5 x + 3 = - 1$

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18. 如图，在平面直角坐标系中有一个 $△ A B C$ ．

(1)、作出 $△ A B C$ 关于原点O对称的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，并写出 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 各顶点的坐标；

(2)、求出 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 的面积．

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19. 已知：关于x的方程 $x^{2} - 2 (m + 1) x + m^{2} = 0$ ．

(1)、当m取何值时，方程有两个实数根？

(2)、为m选取一个合适的整数，使方程有两个不相等的实数根，并求这两个根．

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20. 随着市民环保意识的增强，春节期间烟花爆竹销售量逐年下降．某镇2021年销售烟花爆竹20万箱，到2023年烟花爆竹销售量为9.8万箱．

(1)、求该市2021年到2023年烟花爆竹年销售量的平均下降率；

(2)、预测该市2024年春节期间的烟花爆竹销售量．

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21. 某广场有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管OA喷出，OA长为1.5米.水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示，落点B到O的距离为3米．建立平面直角坐标系，水流喷出的高度y（米）与水平距离x（米）之间近似满足函数关系 $y = a x^{2} + x + c （ a \neq 0)$

(1)、求y与x之间的函数关系式；

(2)、求水流喷出的最大高度．

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22. 利用一面墙（墙的长度不超过45m），用80m长的篱笆围一个矩形场地．

(1)、怎样围才能使矩形场地的面积为750m²？

(2)、能否使所围的矩形场地的面积为810m²？说明理由？

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23. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元．为了扩大销售，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件．

(1)、若使商场平均每天赢利1200元，则每件衬衫应降价多少元？

(2)、若想获得最大利润，每件衬衫应降价多少元？最大利润为多少元？

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24. 已知：二次函数 $y = x^{2} + b x + c$ 的图象与x轴交于A ， B两点，其中A点坐标为 $(- 3 ， 0)$ ，与y轴交于点C ，点 $D (- 2 ， - 3)$ 在抛物线上．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、抛物线的对称轴上有一动点P ，求出 $P A + P D$ 的最小值；

(3)、若抛物线上有一动点P ，使三角形ABP的面积为6，求P点坐标。

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