浙江省宁波市江北区惠贞书院2022-2023学年九年级（上）期中数学试卷

试卷更新日期：2023-11-09 类型：期中考试

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一、选择题(本题有10小题，每小题4分，共40分。请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不给分)

1. 某病毒的直径约为0.00000013m，则数据0.00000013m用科学记数法表示为（）

A、0.13×10^-6 B、1.3×10^-7 C、0.13×10^-7 D、1.3×10^-8

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2. 如图是由5个相同大小的正方体搭成的几何体，则它的主视图是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 假设命题“a>0"不成立，那么a与0的大小关系只能是（）

A、a≠0 B、a≤0 C、a=0 D、a<0

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4. 若点A (-5，y₁)，B (1，y₂)，C(5，y₃)都在反比例函数y= $- \frac{5}{x}$ 的图象上，则y₁ ， y₂ ， y₃的大小关系是（）

A、y₁<y₂<y₃ B、y₂<y₃<y₁ C、y₁<y₃<y₂ D、y₃<y₁<y₂

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5. 已知⊙O的半径为2，点P到圆心O的距离为 $\sqrt{3}$ ，则点P在（）

A、圆内 B、圆上 C、圆外 D、不能确定

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6. 某射击运动员在训练中射击了10次，成绩如图所示：

下列结论不正确的是（）

A、众数是8 B、中位数是8 C、平均数是8.2 D、方差是1.2

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7. 如图，△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，其中OE=2OB，则△ABC与△DEF的周长之比是（）

A、1：2 B、1：4 C、1：3 D、1：9

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8. 图①是第七届国际数学教育大会(ICME)会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图②所示的四边形OABC，若AB=BC=1，∠AOB=α，则tan∠BOC的值为（）

A、sinα B、cosα C、tanα D、 $\frac{1}{s i n α}$

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9. 定义符号min{a，b}的含义为：当a≥b时， min{a，b}=b；当a<b时，min{a，b}=a.如：min{1，-3}=-3，min{-4，-2}=-4.已知一种关于x的新函数y=min{x+1，-x+m}，且m>-1，则关于y的函数下面说法错误的是（）.

A、若m=1，则当y≤-2时，则x≤-3或x≥3 B、当函数图象经过(0， $\frac{1}{2}$ )时，该函数图象的最高点的坐标为( $- \frac{1}{4}$ ， $\frac{3}{4}$ ) C、( $\frac{m}{2}$ ， y₁) ( $\frac{m + 1}{2}$ ， y₂)是函数图象上的两点，则y₁>y₂ D、当1≤x≤2时，函数y的最大值为3，则m=3或5

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10. 如图， $▱ A B C D$ 中， $A B = 5 a$ ， $B C = 4 a$ ， $∠ A = 60 °$ ，平行四边形内放着两个菱形，菱形 $D E F G$ 和菱形 $B H I L$ ，它们的重叠部分是平行四边形 $I J F K$ .已知三个阴影平行四边形的周长相等，那么平行四边形 $I J F K$ 的面积为（）

A、 $a^{2}$ B、 $2 a^{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2} a^{2}$ D、 $\sqrt{3} a^{2}$

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二、填空题(本题有6小题，每小题5分，共30分)

11. 分解因式： $x^{2}$ －9= ．

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12. 如图所示的网格是正方形网格，则 $∠ P A B + ∠ P B A =$ $° ($ 点 $A$ ， $B$ ， $P$ 是网格线交点 $)$ ．

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13. 某校开展读书日活动，小亮和小莹分别从校图书馆的“科技”、“文学”、“艺术”三类书籍中随机地抽取一本，抽到同一类书籍的概率是．

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14. 如图，菱形OABC的顶点A，B，C在⊙O上，过点B作⊙O的切线交OA的延长线于点D.若⊙O的半径为1，则BD的长为

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15. “地摊经济”一时兴起，小惠计划在夜市销售一款产品，进价每件40元，售价每件110元，每天可以销售20件，每销售一件需缴纳摊位管理费用a元(a>0).未来30天，这款产品将开展“每天降价1元”的大促销活动，即从第一天起每天的单价均比前天降1元，通过市场调研发现：该产品单价每降1元，每天销量增加4件.在这30天内，要使每天缴纳摊位管理费用后的利润随天数t ( t为正整数)的增大而增大，则a的取值范围应为.

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16. 如图，已知矩形ABCD，AB= $4 \sqrt{3}$ ， BC=3，点P是在直线AB的右侧的一动点，且∠APB=60°，CE= $2 \sqrt{3}$ -3．点P到直线AB距离的最大值是；PE的最小值是

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三、解答题(本题有8小题，第17、18、19题每题8分，第20、21题10分，第22、23、24题每题12分，共80分)

17. 按要求计算：

(1)、计算： $(- \frac{1}{2})^{0} -^{3} \sqrt{8} + \sqrt{3} t a n 30 °$

(2)、先化简，再求值： $\frac{y^{2}}{y - 2} + \frac{4}{2 - y}$ ，其中y=-2．

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18. 在6×6的方格纸中，点A，B，C都在格点上，仅用无刻度尺画图(保留画图痕迹，不写画法)．
⑴在图1中，画△ABC的中线CD．
⑵在图2中，在AB边上找一点P，使点P到AC、BC的距离之比为2：3.

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19. 安全使用电瓶车可以大幅度减少因交通事故引发的人身伤害，为此交警部门在全市范围开展了安全使用电瓶车专项宣传活动．在活动前和活动后分别随机抽取了部分使用电瓶车的市民，就骑电瓶车戴安全帽情况进行问卷调查

(1)、宣传活动前，在抽取的市民中哪一类别的人数最多？占抽取人数的百分之几？

(2)、该市约有30万人使用电瓶车，请估计活动前全市骑电瓶车“都不戴”安全帽的总人数；

(3)、小明认为，宣传活动后骑电瓶车“都不戴”安全帽的人数为178，比活动前增加了1人，对小明分析数据的方法及交警部门宣传活动的效果谈谈你的看法．

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20. 如图1是一台刷脸支付仪，由底柱、水平托板、支撑板和电子器材构成，图2是其上半部分的侧面示意图．电子器材长AC=16cm，水平托板DE离地面的高度为120cm，∠CBD=75°，已知摄像头在点A处，支撑点B是AC的中点，支撑板BD可绕点D转动．

(1)、如图2，求摄像头(点A)离地面的高度h (精确到0.1cm)；

(2)、如图3，为方便使用，把AC绕点B逆时针旋转15° 后，使点C落在水平托板DE上，求α(精确到0.1° )．(参考数据： tan26.6° ≈0.5； $\sqrt{2}$ ≈1.41， $\sqrt{3}$ ≈1.73)

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21. 如图所示，抛物线y=ax²+c与x轴交于A，B两点，顶点为C，且位于x轴的下方，若点P (1，-3)，B(4，0)．

(1)、求该抛物线的函数表达式．

(2)、若D是抛物线上一点，且满足∠DPO=∠POB，求点D的坐标．

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22. 根据下列题目要求，解答下列问题：

(1)、如图1，已知正方形ABCD和正方形BEFG，连接AG、CE．求证AG= CE．

(2)、如图2，在矩形ABCD中，AB：BC=2：3，已知矩形ABCD∽矩形GBEF，相似比为AD：GF= $\sqrt{3}$ ， ∠ABG=30°，连接AG、CE，延长EF交BC于M．探究线段AG与CE的数量关系．

(3)、如图3，已知矩形ABCD矩形GBEF，连接AG、CE、DF，发现线段AG、CE、DF存在这样的数量关系：AG²+CE²=DF² ，请你对这个数量关系加以证明．

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23. 对于给定的两个函数，任取自变量x的一个值，当x<0时；它们对应的函数值互为相反数；当x≥0时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两个函数互为“伴随”函数，例如：一次函数y=x-3，它的“伴随”函数为y= ${\begin{cases} - x + 3 (x < 0) \\ x - 3 (x \geq 0) \end{cases}$ .

(1)、已知点M (-2，1)在一次函数y=-mx+1的“伴随”函数的图象上，求m的值．

(2)、已知二次函数y=-x²+4x- $\frac{1}{2}$
①当点A (a， $\frac{3}{2}$ )在这个函数的“伴随”函数的图象上时，求a的值．
②当-3≤x≤3时，函数y=-x²+4x- $\frac{1}{2}$ 的“伴随”函数是否存在最大值或最小值，若存在，请求出最大值或最小值；若不存在，请说明理由．

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24. 已知△ABC内接于⊙O，AB=BC，AD⊥BC于点D．

(1)、如图1，求证：∠ABC=2∠CAD；

(2)、如图2，延长AD，交⊙O于点E，点F在线段AD上，DF=DE，过点F作FG⊥AC，垂足为点G，求证： AG=CG；

(3)、如图3，在（2）的条件下，连接CE，点H在线段BD上，CH=CE，连接AH、OH，若AB=10， S_△ABC=30，求线段OH的长.

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