广东省湛江市2024届高三上学期数学10月调研试卷

试卷更新日期：2023-11-09 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知复数 $z = - 1 + \frac{1 - i}{1 - i^{2}}$ ，则 $| z | =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、2 D、1

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2. 已知集合 $A = {x \in N | - 2 \leq x \leq 1} ， B = {x \in Z | | x | \leq 2}$ ，则 $A \cap B$ 的真子集的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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3. 已知向量 $\vec{a} = (- 1 ， 3) ， \vec{b} = (- 1 ， 2) ， \vec{c} = (2 ， m)$ ，若 $\vec{b} / /$ $(2 \vec{a} - \vec{c})$ ，则 $m =$ （）

A、 $- 1$ B、 $- 2$ C、1 D、2

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4. 已知函数 $f (x) = a s i n 2 x + c o s 2 x + 2 (a > 0)$ 的最小值为0，则 $a =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、 $\sqrt{3}$

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5. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的一条渐近线方程是 $y = \sqrt{2} x ， F_{1} ， F_{2}$ 分别为双曲线 $C$ 的左、右焦点，过点 $F_{2}$ 且垂直于 $x$ 轴的垂线在 $x$ 轴上方交双曲线 $C$ 于点 $M$ ，则 $t a n ∠ M F_{1} F_{2} =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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6. 某企业面试环节准备编号为 $1 ， 2 ， 3 ， 4$ 的四道试题，编号为 $1 ， 2 ， 3 ， 4$ 的四名面试者分别回答其中的一道试题（每名面试者回答的试题互不相同），则每名面试者回答的试题的编号和自己的编号都不同的情况共有（）

A、9种 B、10种 C、11种 D、12种

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7. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $(- ∞ ， 0) ∪ (0 ， + \infty)$ ，且 $x f (x) = (y + 1) f (y + 1)$ ，则（）

A、 $f (x) \geq 0$ B、 $f (1) = 1$ C、 $f (x)$ 是偶函数 D、 $f (x)$ 没有极值点

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8. 已知抛物线 $C ： x^{2} = 4 y$ 的焦点为 $B ， C$ 的准线与 $y$ 轴交于点 $A ， P$ 是 $C$ 上的动点，则 $\frac{| P A |}{| P B |}$ 的取值范围为（）

A、 $[1 ， 2]$ B、 $[1 ， + \infty)$ C、 $[1 ， \sqrt{2}]$ D、 $[\frac{\sqrt{2}}{2} ， 1]$

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二、多选题

9. 某商店的某款商品近5个月的月销售量 $y$ （单位：千瓶）如下表：
第 $x$ 个月
1
2
3
4
5
月销售量 $y$
2.5
3.2
4
4.8
5.5
若变量 $y$ 和 $x$ 之间具有线性相关关系，用最小二乘法建立的经验回归方程为 $\hat{y} = 0.76 x + \hat{a}$ ，则下列说法正确的是（）

A、点 $(3 ， 4)$ 一定在经验回归直线 $\hat{y} = 0.76 x + \hat{a}$ 上 B、 $\hat{a} = 1.72$ C、相关系数 $r < 0$ D、预计该款商品第6个月的销售量为7800瓶

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10. 已知大气压强 $p (P a)$ 随高度 $h (m)$ 的变化满足关系式 $l n p_{0} - l n p = k h ， p_{0}$ 是海平面大气压强， $k = 1 0^{- 4}$ .我国陆地地势可划分为三级阶梯，其平均海拔如下表：

平均海拔 $/ m$
第一级阶梯
$\geq 4000$
第二级阶梯
$1000 \sim 2000$
第三级阶梯
$200 \sim 1000$
若用平均海拔的范围直接代表各级阶梯海拔的范围，设在第一、二、三级阶梯某处的压强分别为 $p_{1} ， p_{2} ， p_{3}$ ，则（）

A、 $p_{1} \leq \frac{p_{0}}{e^{0.4}}$ B、 $p_{0} < p_{3}$ C、 $p_{2} \leq p_{3}$ D、 $p_{3} \leq e^{0.18} p_{2}$

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11. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{x} - l n x - x$ ，下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 有且只有一个零点 B、 $\exists n \in N ， f (n) > 0$ C、 $\exists m \in R$ ，直线 $y = - x + m$ 与 $f (x)$ 的图象相切 D、 $f (\frac{1}{5}) + f (\frac{1}{4}) + f (\frac{1}{3}) + f (\frac{1}{2}) + f (1) + f (2) + f (3) + f (4) + f (5) = 0$

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12. 如图，有一个正四面体形状的木块，其棱长为 $a$ .现准备将该木块锯开，则下列关于截面的说法中正确的是（）

A、过棱 $A C$ 的截面中，截面面积的最小值为 $\frac{\sqrt{2} a^{2}}{4}$ B、若过棱 $A C$ 的截面与棱 $B D$ （不含端点）交于点 $P$ ，则 $\frac{1}{3} < c o s ∠ A P C \leq \frac{1}{2}$ C、若该木块的截面为平行四边形，则该截面面积的最大值为 $\frac{a^{2}}{4}$ D、与该木块各个顶点的距离都相等的截面有7个

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三、填空题

13. 若 $f (x) = 2^{a x}$ 是增函数，则 $a$ 的取值范围为.

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14. 如图，一个圆柱内接于圆锥，且圆柱的底面圆半径是圆锥底面圆半径的一半，则该圆柱与圆锥的体积的比值为.

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15. 已知直线 $l ： x + y - 2 = 0$ 关于 $y = a$ 的对称直线与圆 $(x - 1)^{2} + y^{2} = 1$ 存在公共点.则 $a$ 的取值范围为.

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16. 已知正项数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 1} = \frac{a_{n}^{2} + 1}{2 a_{n} - 1}$ ， $a_{2023} = \sqrt{1 + \sqrt{1 + a_{2023}}}$ ，则 $a_{1} =$ .

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四、解答题

17. 如图，在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 在边 $A C$ 上，且 $A B ⊥ B D$ .已知 $c o s A = 2 s i n \frac{A}{2} s i n \frac{∠ A B C + C}{2} ， A B = \sqrt{2}$ .

(1)、求A；

(2)、若 $△ B C D$ 的面积为 $\frac{1}{2}$ ，求 $B C$ .

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18. 函数 $y = 2 s i n x - 1$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上的零点从小到大排列后构成数列 ${a_{n}}$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = a_{2 n - 1} + a_{2 n}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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19. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A C ⊥ C B$ ，点 $N$ 在棱 $B C$ 上，点 $M$ 在棱 $A A_{1}$ 上， $A C = 1 ， B C = 2 ， A A_{1} = 3 ， A M = 1$ .

(1)、若 $M N ⊥ A B_{1}$ ，求 $C N$ ；

(2)、若 $C N = \frac{1}{2}$ ，求二面角 $N - A B_{1} - C_{1}$ 的余弦值.

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20. 甲、乙两人准备进行羽毛球比赛，比赛规定：一回合中赢球的一方作为下一回合的发球方.若甲发球，则本回合甲赢的概率为 $\frac{2}{3}$ ，若乙发球，则本回合甲赢的概率为 $\frac{1}{3}$ ，每回合比赛的结果相互独立.经抽签决定，第1回合由甲发球.

(1)、求前4个回合甲发球两次的概率；

(2)、求第4个回合甲发球的概率；

(3)、设前4个回合中，甲发球的次数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列及期望.

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21. 已知点 $F (0 ， \sqrt{3})$ 和直线 $l ： y = \frac{4 \sqrt{3}}{3}$ ，动点 $T$ 到点 $F$ 的距离与到直线 $l$ 的距离之比为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

(1)、求动点 $T$ 的轨迹 $C$ 的方程；

(2)、过点 $A (1 ， 2)$ 的直线交 $C$ 于 $P ， Q$ 两点，若点 $B$ 的坐标为 $(1 ， 0)$ ，直线 $B P ， B Q$ 与 $y$ 轴的交点分别是 $M ， N$ ，证明：线段 $M N$ 的中点为定点.

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22.

(1)、证明：函数 $f (x) = - c o s x + \frac{1}{(x + 1)^{2}}$ 在 $(- 1 ， \frac{1}{2})$ 上单调递减.

(2)、已知函数 $h (x) = c o s a x + x - l n (x + 1)$ ，若 $x = 0$ 是 $h (x)$ 的极小值点，求实数 $a$ 的取值范围.

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	平均海拔 $/ m$
第一级阶梯	$\geq 4000$
第二级阶梯	$1000 \sim 2000$
第三级阶梯	$200 \sim 1000$

第 $x$ 个月	1	2	3	4	5
月销售量 $y$	2.5	3.2	4	4.8	5.5