广东省深圳市宝安区2024届高三上学期数学10月调研试卷

试卷更新日期：2023-11-09 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 若集合 $A = {x | | 2 x - 3 | \leq 1} ， B = {x | - 2 < x < 5 ， x \in N^{*}}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $[1 ， 2]$ B、 ${0 ， 1 ， 2}$ C、 $\emptyset$ D、 ${1 ， 2}$

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2. 设 $i z + 2 \bar{z} = 3$ ， $\bar{z}$ 是 $z$ 的共轭复数，则复数 $z =$ （）

A、 $2 + i$ B、 $2 - i$ C、 $1 + i$ D、 $1 - i$

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3. 平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = \sqrt{3}$ ， $\vec{b} = (1 ， \sqrt{3})$ ， $| \vec{a} - 2 \vec{b} | = \sqrt{11}$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上投影向量为（）

A、 $(1 ， \sqrt{3})$ B、 $(\frac{\sqrt{2}}{2} ， \frac{\sqrt{2}}{2})$ C、 $(\frac{1}{2} ， \frac{\sqrt{3}}{2})$ D、 $(\frac{\sqrt{3}}{2} ， \frac{1}{2})$

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4. 已知圆锥曲线 $\frac{x^{2}}{2} + \frac{y^{2}}{cos θ} = 1 (0 < θ < π)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ ，则 $θ =$ （）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{5 π}{6}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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5. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \frac{2}{x} ， 0 < x < a ， \\ \frac{l n x}{x} ， x \geq a ， \end{array}$ 若 $f (x)$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上单调递减，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[1 ， e^{2}]$ B、 $[e ， 2 e]$ C、 $[e ， e^{2}]$ D、 $[e ， + \infty)$

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6. 已知过点P与圆 $x^{2} + y^{2} - 4 y + 1 = 0$ 相切的两条直线的夹角为 $\frac{π}{3}$ ，设过点P与圆 $x^{2} + y^{2} - 4 y = 0$ 相切的两条直线的夹角为 $α$ ，则 $s i n α =$ （）

A、 $\frac{1}{9}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ D、 $\frac{4 \sqrt{5}}{9}$

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7. 设数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ .记命题 $p$ ：“数列 ${a_{n}}$ 为等比数列”，命题 $q$ ：“ $S_{n}$ ， $S_{2 n} - S_{n}$ ， $S_{3 n} - S_{2 n}$ 成等比数列”，则 $p$ 是 $q$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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8. 我国人脸识别技术处于世界领先地位.所谓人脸识别，就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法.假设二维空间中有两个点 $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2})$ ， O为坐标原点，余弦相似度为向量 $\vec{O A}$ ， $\vec{O B}$ 夹角的余弦值，记作 $c o s (A ， B)$ ，余弦距离为 $1 - c o s (A ， B)$ .已知 $P (c o s α ， s i n α)$ ， $Q (c o s β ， s i n β)$ ， $R (c o s α ， - s i n α)$ ，若P ， Q的余弦距离为 $\frac{1}{3}$ ， $t a n α \cdot t a n β = \frac{1}{7}$ ，则Q ， R的余弦距离为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{7}$

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二、多选题

9. 下列说法正确的有（）

A、从40个个体中随机抽取一个容量为10的样本，则每个个体被抽到的概率都是0.25 B、已知一组数据1，2，m ， 6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5 C、数据26，11，14，31，15，17，19，23的50%分位数是18 D、若样本数据 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， …， $x_{n}$ 的标准差为4，则数据 $2 x_{1} + 1$ ， $2 x_{2} + 1$ ， …， $2 x_{n} + 1$ 的标准差为16

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10. 星等是衡量天体光度的量.为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯（又名依巴谷）在公元前二世纪首先提出了星等这个概念，例如，1等星的星等值为1， $- 0.46$ 等星的星等值为 $- 0.46$ .已知两个天体的星等值 $m_{1}$ ， $m_{2}$ 和它们对应的亮度 $E_{1}$ ， $E_{2}$ 满足关系式 $m_{2} - m_{1} = - 2.5 l g \frac{E_{2}}{E_{1}} (E_{1} > 0 ， E_{2} > 0)$ ，关于星等下列结论正确的是（）

A、星等值越小，星星就越亮 B、1等星的亮度恰好是6等星的100倍 C、若星体甲与星体乙的星等值的差小于2.5，则星体甲与星体乙的亮度的比值小于 $1 0^{- 1}$ D、若星体甲与星体乙的星等值的差大于10，则星体甲与星体乙的亮度的比值小于 $1 0^{- 4}$

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11. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，且 $f (x + y) f (x - y) = f^{2} (x) - f^{2} (y)$ ， $f (1) = \sqrt{3}$ ， $f (2 x + \frac{3}{2})$ 为偶函数，则（）

A、 $f (x)$ 为偶函数 B、 $f (2) = \sqrt{3}$ C、 $f (3 + x) = - f (3 - x)$ D、 $\sum_{k = 1}^{2023} f (k) = \sqrt{3}$

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12. 如图，圆锥 $V A B$ 内有一个内切球 $O$ ，球 $O$ 与母线 $V A ， V B$ 分别切于点 $C ， D$ .若 $△ V A B$ 是边长为2的等边三角形， $O_{1}$ 为圆锥底面圆的中心， $M N$ 为圆 $O_{1}$ 的一条直径（ $M N$ 与 $A B$ 不重合），则下列说法正确的是（）

A、球的表面积与圆锥的侧面积之比为 $2 ： 3$ B、平面 $C M N$ 截得圆锥侧面的交线形状为抛物线 C、四面体 $C D M N$ 的体积的取值范围是 $(0 ， \frac{\sqrt{3}}{3}]$ D、若 $P$ 为球面和圆锥侧面的交线上一点，则 $P M + P N$ 最大值为 $2 \sqrt{2}$

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三、填空题

13. 将一些小于10的正整数填入如下 $4 \times 4$ 的方格 $A B C D$ 中，使得每行和每列中的数的乘积都等于10，共有种不同的填法．

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14. 中国客家博物馆坐落于有“世界客都”之称的广东省梅州市城区，是一间收藏、研究、展示客家历史文化的综合性博物馆，其主馆是一座圆台形建筑，如图.现有一圆台，其上、下底面圆的半径分别为3米和6米，母线长为5米，则该圆台的体积约为立方米.（结果保留整数）

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15. 先将函数 $f (x) = c o s x$ 的图象向左平移 $\frac{2 π}{3}$ 个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的 $\frac{1}{ω} (ω > 0)$ ，纵坐标不变，所得图象与函数 $g (x)$ 的图象关于x轴对称，若函数 $g (x)$ 在 $[0 ， \frac{2 π}{3}]$ 上恰有两个零点，且在 $[- \frac{π}{12} ， \frac{π}{12}]$ 上单调递增，则 $ω$ 的取值范围是．

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16. 正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $2$ ，底面 $A B C D$ 内 $($ 含边界 $)$ 的动点 $P$ 到直线 $C C_{1}$ 的距离与到平面 $A D D_{1} A_{1}$ 的距离相等，则三棱锥 $P - A B_{1} D_{1}$ 体积的取值范围为．

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四、解答题

17. $△ A B C$ 的角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c ， \vec{A B} \cdot \vec{A C} = - 1 ， △ A B C$ 的面积为 $\sqrt{2}$ .

(1)、若 $a = 2 \sqrt{2}$ ，求 $△ A B C$ 的周长；

(2)、设 $D$ 为 $A C$ 中点，求 $A$ 到 $B D$ 距离的最大值.

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18. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面ABCD是直角梯形， $A D ⊥ A B$ ， $A B ∥ D C$ ， $P A ⊥$ 底面ABCD ，点E为棱PC的中点， $A D = D C = A P = 2 A B = 2$ ．

(1)、证明： $B E / /$ 平面PAD；

(2)、在棱PC上是否存在点F ，使得二面角 $F - A D - C$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ ，若存在，求出 $\frac{P F}{P C}$ 的值，若不存在，请说明理由．

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19. 已知函数 $f (x) = a (l n x + a) - x$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、证明：当 $a > 0$ 时， $f (x) \leq 2 a^{2} - 2 a$ .

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20. 给定数列 ${a_{n}}$ ，若满足 $a_{1} = a$ $(a > 0$ 且 $a \neq 1)$ ，且对于任意的 $m ， n \in N^{*}$ ，都有 $a_{m + n} = a_{m} \cdot a_{n}$ ，则称数列 ${a_{n}}$ 为“指数型数列”．

(1)、已知数列 ${a_{n}}$ 的通项公式 $a_{n} = 4^{n}$ ，证明： ${a_{n}}$ 为“指数型数列”；

(2)、若数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{1} = \frac{1}{2}$ ， $a_{n} = 2 a_{n} a_{n + 1} + 3 a_{n + 1} (n \in N *)$ ；
①判断数列 ${\frac{1}{a_{n}} + 1}$ 是否为“指数型数列”，若是给出证明，若不是说明理由；
②若数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，证明： $S_{n} < \frac{3}{4}$ .

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21. 人口老龄化加剧的背景下，我国先后颁布了一系列生育政策，根据不同政策要求，分为两个时期Ⅰ和Ⅱ．根据部分调查数据总结出如下规律：对于同一个家庭，在Ⅰ时期内生孩 $X$ 人，在Ⅱ时期生孩 $Y$ 人，（不考虑多胞胎）生男生女的概率相等． $X$ 服从0-1分布且 $P (X = 0) = \frac{1}{5}$ ． $Y$ 分布列如下图：
$Y$
0
1
2
$P$
$p$
$p + q$
$p - q$
现已知一个家庭在Ⅰ时期没生孩子，则在Ⅱ时期生2个孩子概率为 $\frac{1}{24}$ ；若在Ⅰ时期生了1个女孩，则在时期生2个孩子概率为 $\frac{1}{6}$ ；若在Ⅰ时期生了1个男孩，则在Ⅱ时期生2个孩子概率为 $\frac{1}{12}$ ，样本点中Ⅰ时期生孩人数与Ⅱ时期生孩人数之比为 $2 ： 5$ （针对普遍家庭）．

(1)、求 $Y$ 的期望与方差；

(2)、由数据 $z_{i} (i = 1 ， 2 ， \cdot \cdot \cdot ， n)$ 组成的样本空间根据分层随机抽样分为两层，样本点之比为 $a ： b$ ，分别为 $x_{i} (i = 1 ， 2 ， \cdot \cdot \cdot ， k)$ 与 $y_{i} (i = 1 ， 2 ， \cdot \cdot \cdot ， m)$ ， $k + m = n$ ，总体样本点与两个分层样本点均值分别为 $\bar{z}$ ， $\bar{x}$ ， $\bar{y}$ ，方差分别为 $S_{0}^{2}$ ， $S_{1}^{2}$ ， $S_{2}^{2}$ ，证明： $S_{0}^{2} = \frac{a}{a + b} [S_{1}^{2} + (\bar{x} - \bar{z})^{2}] + \frac{b}{a + b} [S_{2}^{2} + (\bar{y} - \bar{z})^{2}]$ ，并利用该公式估算题设样本总体的方差．

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五、证明题

22. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，两焦点与短轴两顶点围成的四边形的面积为 $4 \sqrt{2}$ ．

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、我们称圆心在椭圆C上运动，半径为 $\frac{a}{2}$ 的圆是椭圆C的“卫星圆”，过原点O作椭圆C的“卫星圆”的两条切线，分别交椭圆C于A ， B两点，若直线OA ， OB的斜率存在，记为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ．
①求证： $k_{1} k_{2}$ 为定值；
②试问 ${| O A |}^{2} + {| O B |}^{2}$ 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

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$Y$	0	1	2
$P$	$p$	$p + q$	$p - q$