陕西省西安市长安区2023-2024学年高三上学期数学10月第三次月考试卷

试卷更新日期：2023-11-09 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知复数 $z = a + b i (a ， b \in R)$ 的共轭复数为 $\bar{z}$ ，且 $z - (2 + i) \bar{z} = - 3 + 5 i$ ，则 $a + b =$ （）

A、 $- 1$ B、1 C、2 D、3

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2. 不等式“ $l o g_{3} x > 1$ ”是“ $2^{x} > 1$ ”成立的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 设集合 $A = {1 ， 2 ， 4}$ ， $B = {x | x^{2} - 4 x + m = 0}$ ．若 $A \cap B = {1}$ ，则 $B =$ （）

A、 ${1 ， - 3}$ B、 ${1 ， 0}$ C、 ${1 ， 3}$ D、 ${1 ， 5}$

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4. 在 $△ A B C$ 中，已知 $A = \frac{π}{6}$ ， $a = 2$ ，若 $△ A B C$ 有两解，则（）

A、 $2 \leq b < 4$ B、 $b \geq 4$ C、 $2 < b < 4$ D、 $0 < b < 2$

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5. 已知 $t a n (θ - φ)$ 和 $t a n (θ + φ)$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} + m x - 3 = 0$ 的两根，且 $t a n θ = \frac{1}{2}$ ，则 $m$ 的值为（）

A、 $- 5$ B、 $- \frac{16}{3}$ C、 $- \frac{17}{3}$ D、 $- 6$

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6. 函数 $y = \frac{x - 3 s i n x}{e^{| x |}}$ 的大致图像是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 已知 $y = f (x)$ 是定义域为 $R$ 的奇函数，若 $y = f (2 x + 1)$ 的最小正周期为1，则下列说法中正确的个数是（）
① $f (\frac{1}{4}) + f (\frac{3}{4}) = 0$ ② $f (\frac{1}{2}) + f (\frac{3}{2}) = 0$
③ $f (x)$ 的一个对称中心为 $(1 ， 0)$ ④ $f (x)$ 的一条对称轴为 $x = \frac{1}{2}$

A、 $1$ 个 B、 $2$ 个 C、 $3$ 个 D、 $4$ 个

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8. 函数 $f (x) = a x + \frac{l n x}{b} + 1$ 在 $x = 1$ 处取得极值0，则 $a + b =$ （）

A、0 B、 $\frac{1}{2}$ C、1 D、2

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9. 中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而流芳后世．如图，某同学为测量鹳雀楼的高度MN ，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物AB ，高约为37m，在地面上点C处（B ， C ， N三点共线）测得建筑物顶部A ，鹳雀楼顶部M的仰角分别为 $3 0^{∘}$ 和 $4 5^{∘}$ ，在A处测得楼顶部M的仰角为 $1 5^{∘}$ ，则鹳雀楼的高度约为（）

A、74m B、60m C、52m D、91m

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10. 已知函数 $f (x) = s i n^{2} \frac{ω x}{2} + \frac{1}{2} s i n ω x - \frac{1}{2} (ω > 0)$ ， $x ∈ R$ .若 $f (x)$ 在区间 $(π ， 2 π)$ 内没有零点，则 $ω$ 的取值范围是

A、 $(0 ， \frac{1}{8}]$ B、 $(0 ， \frac{1}{4}] \cup [\frac{5}{8} ， 1)$ C、 $(0 ， \frac{5}{8}]$ D、 $(0 ， \frac{1}{8}] \cup [\frac{1}{4} ， \frac{5}{8}]$

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11. 已知函数 $f (x) ， g (x)$ 的定义域均为R，且 $f (x) + g (2 - x) = 5 ， g (x) - f (x - 4) = 7$ ．若 $y = g (x)$ 的图像关于直线 $x = 2$ 对称， $g (2) = 4$ ，则 $\sum_{k = 1}^{22} f (k) =$ （）

A、 $- 21$ B、 $- 22$ C、 $- 23$ D、 $- 24$

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12. 在平面直角坐标系中， $O$ 为原点， $A (- 1 ， 0)$ ， $B (0 ， \sqrt{3})$ ， $C (3 ， 0)$ ，动点 $D$ 满足 $| \vec{C D} | = 1$ ，则 $| \vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O D} |$ 的取值范围是（）

A、 $[4 ， 6]$ B、 $[\sqrt{19} - 1 ， \sqrt{19} + 1]$ C、 $[2 \sqrt{3} ， 2 \sqrt{7}]$ D、 $[\sqrt{7} - 1 ， \sqrt{7} + 1]$

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二、填空题

13. $i + i^{2} + i^{3} + \cdot \cdot \cdot + i^{2023} =$ .（ $i$ 为虚数单位）

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14. 向量 $\vec{a} 、 \vec{b}$ 满足 $(\vec{a} - \vec{b}) \cdot (2 \vec{a} + \vec{b}) = - 4$ ，且 $| \vec{a} | = 2 ， | \vec{b} | = 4$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 夹角的余弦值等于．

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15. 在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，若 $\frac{2 a - c}{b} = \frac{c o s C}{c o s B} ， b = 4$ ，则 $a + c$ 的最大值为．

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16. 已知函数 $f (x) = a x^{3} - 4 x$ ，若对于任意 $3 < x_{1} < x_{2} < 6$ ，都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1}^{2} - x_{2}^{2}} > 2$ ，则实数 $a$ 的取值范围是.

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三、解答题

17. 已知向量 $\overset{⇀}{a} = (c o s x ， \frac{1}{2}) ， \overset{⇀}{b} = (\sqrt{3} s i n x ， - c o s 2 x) ， x \in R$ ，设函数 $f （ x ） = \overset{⇀}{a} \cdot \overset{⇀}{b}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期

(2)、求函数 $f (x)$ 的单调递减区间

(3)、求 $f (x)$ 在 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上的最大值和最小值

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18. 已知二次函数 $f (x) = a x^{2} - x + 2 a - 1$ ．

(1)、若 $f (x)$ 在区间 $[1 ， 2]$ 上是减函数，求a的取值范围．

(2)、若 $a > 0$ ，设函数 $f (x)$ 在区间 $[1 ， 2]$ 的最小值为 $g (a)$ ，求 $g (a)$ 的表达式．

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19. 在① $(a - c) s i n (A + B) = (a - b) (s i n A + s i n B)$ ；② $2 S = \sqrt{3} \vec{B A} \cdot \vec{B C}$ ；③ $b c o s C = a - \frac{\sqrt{3}}{3} c s i n B$ ；这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题．问题：在 $△ A B C$ 中，角 $A 、 B 、 C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，且 ▲ ．

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、 $A C$ 边上的中线 $B D = 2$ ，求 $△ A B C$ 的面积的最大值．

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20. 已知函数f(x)＝ $\frac{l n x}{x}$ －1.

(1)、求函数f(x)的单调区间；

(2)、设m＞0，求函数f(x)在区间[m ， 2m]上的最大值.

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21. 已知函数 $f (x) = (\frac{1}{x} + a) l n (1 + x)$ .

(1)、当 $a = - 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (x))$ 处的切线方程.

(2)、若函数 $f (x)$ 在 $(0 ， + ∞)$ 单调递增，求 $a$ 的取值范围.

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22. 已知函数 $f (x) = \sqrt{x} - l n x$ ．

(1)、若 $f (x)$ 在 $x = x_{1} ， x_{2} (x_{1} \neq x_{2})$ 处导数相等，证明： $f (x_{1}) + f (x_{2}) > 8 - 8 l n 2$ ；

(2)、若 $a \leq 3 - 4 l n 2$ ，证明：对于任意 $k > 0$ ，直线 $y = k x + a$ 与曲线 $y = f (x)$ 有唯一公共点．

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