浙江省杭金湖四校2023-2024学年高三上学期数学第六次联考试卷-在线组卷题库

1. 已知集合 $N = {x \in N | 1 < x < 3}$ ，则集合 $N$ 有（）个子集．

A、0 B、1 C、2 D、4

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2. 已知向量 $\vec{b}$ 与直线 $x + 2 y + 3 = 0$ 平行且 $| \vec{b} | = \sqrt{5}$ ， $\vec{a} = (3 ， 1)$ ，则向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 方向上的投影向量可以是（）

A、 $\vec{a}$ B、 $- \vec{b}$ C、 $\sqrt{10} \vec{b}$ D、 $- \frac{\sqrt{10}}{10} \vec{a}$

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3. 已知 $z_{1}$ 、 $z_{2} \in C$ 满足 $z_{1} \cdot z_{2} = 1$ ， $z_{1} + z_{2} = - 1$ ，则 $z_{1} - z_{2}$ 的实部是（）

A、 $- 1$ B、 $0$ C、 $1$ D、 $\sqrt{3}$

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4. 函数 $f (x) = (x - \frac{1}{x}) c o s x$ 的大致图象为（）

A、 B、 C、 D、

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5. “杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记 $a_{n}$ 为图中所选数 $1 ， 1 ， 2 ， 3 ， 6 ， 10 ， 20 ， ⋯$ 1，构成的数列 ${a_{n}}$ 的第 $n$ 项，则 $a_{12}$ 的值为（）

A、252 B、426 C、462 D、924

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6. 锐角 $△ A B C$ 满足 $t a n A = t a n B + \frac{1}{s i n 2 A}$ ，则下列等式成立的是（）

A、 $c o s 2 A + s i n B = 0$ B、 $c o s 2 A + c o s B = 0$ C、 $s i n 2 A + c o s B = 0$ D、 $s i n 2 A + s i n B = 0$

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7. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的左顶点为A ，右焦点为 $F_{2}$ ，过右焦点作x轴垂线交椭圆于B、C两点，连结BO并延长交AC于点M ，若M为AC的中点，则椭圆的离心率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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8. 已知 $| \vec{a} - \vec{b} | = 3$ ， $| \vec{a} | = 2 | \vec{b} |$ ，则 $c o s ⟨ \vec{a} ， \vec{a} - \vec{b} ⟩$ 的最小值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、1

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9. 某地区高三男生的身高X服从正态分布 $N (170 ， σ^{2}) (σ > 0)$ ，则（）

A、 $P (X > 170) = 0.5$ B、若 $σ$ 越大，则 $P (165 < X < 175)$ 越大 C、 $P (X > 180) = P (x < 160)$ D、 $P (160 < X < 165) = P (65 < X < 170)$

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10. 函数 $f (x) = s i n (x^{2} - x)$ ，下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 是周期函数 B、 $f (x)$ 最大值是1 C、 $f (x)$ 图像至少有一条对称轴 D、 $f (x)$ 图像至少有一个对称中心

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11. 已知 $x + y = 1 ， x ， y > 0$ ，则下列命题为真命题的是（）

A、 $y - x$ 的取值范围为 $(0 ， 1)$ B、 $x^{2} + y^{2}$ 的取值范围为 $[\frac{1}{2} ， 1)$ C、 $\frac{y}{x} + \frac{x}{y}$ 的取值范围为 $[2 ， + \infty)$ D、 $s i n x + s i n y$ 的取值范围为 $(s i n 1 ， 2 s i n \frac{1}{2}]$

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12. 在空间直角坐标系中，有以下两条公认事实：
①过点 $P_{0} (x_{0} ， y_{0} ， z_{0})$ ，且以 $\vec{u} = (a ， b ， c) (a b c \neq 0)$ 为方向向量的空间直线l的方程为 $\frac{x - x_{0}}{a} = \frac{y - y_{0}}{b} = \frac{z - z_{0}}{c}$ ；
②过点 $P (x_{0} ， y_{0} ， z_{0})$ ，且 $\vec{v} = (m ， n ， t) (m n t \neq 0)$ 为法向量的平面 $α$ 的方程为 $m (x - x_{0}) + n (y - y_{0}) + t (z - z_{0}) = 0$ ．
现已知平面 $α ： x + 2 y + 3 z = 6$ ， $l_{1} ： {\begin{array}{l} 2 x - y = 1 \\ 3 y - 2 z = 1 \end{array}$ ， $l_{2} ： x = y = 2 - z$ ， $l_{3} ： \frac{x - 1}{5} = \frac{y}{- 4} = \frac{z}{1}$ （）

A、 $l_{1} / / α$ B、 $l_{2} / / α$ C、 $l_{3} / / α$ D、 $l_{1} ⊥ α$

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13. 已知函数 $f (x) = s i n x$ ，曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0 ， 0)$ 处的切线方程是．

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14. 用4种不同颜色给一个正四面体涂色，每个面涂一种颜色，4个颜色都要用到，共有种涂色的方法．

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15. 直线 $y = \sqrt{2} x + 1$ 与直线 $y = (3 - 2 \sqrt{2}) x + 2$ 所成夹角大小为．

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16. 若正四面体 $S A B C$ 的棱长为3，平面ABC内有一动点P到平面 $S A B$ 、平面 $S B C$ 、平面 $S C A$ 的距离依次成等差数列，则点P在面 $A B C$ 内的轨迹的长度为.

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17. 直角三角形ABC斜边上一点D满足 $c o s 2 B + s i n ∠ C A D = 0$ ，

(1)、求证： $A B = A D$ ；

(2)、若 $A C = \sqrt{3} C D$ ，求角B的大小．

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，满足 $a_{1} = 1$ ， $n S_{n + 1} - (n + 1) S_{n} = n (n + 1)$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = {(- 1)}^{n + 1} \frac{a_{n + 1}}{S_{n} + n}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前20项和 $T_{20}$ .

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P A D ⊥$ 平面ABCD，底面ABCD是直角梯形， $A D / / B C$ ， $∠ D A B = 90 °$ ， $A B = B C = 4$ ， $P A = P C = 5$ .

(1)、求证： $P B ⊥ A C$ ；

(2)、若平面 $P B D ⊥$ 平面PBC，且 $△ P A D$ 中，AD边上的高为3，求AD的长.

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20. 随着人口老龄化的到来，我国的劳动力人口在不断减少，“延迟退休”已经成为人们越来越关注的话题，为了了解公众对“延迟退休”的态度，某校课外研究性学习小组对某社区随机抽取了5人进行调查，将调查情况进行整理后制成下表：
年龄
[20，25）
[25，30）
[30，35）
[35，40）
[40，45）
人数
4
5
8
5
3
年龄
[45，50）
[50，55）
[55，60）
[60，65）
[65，70）
人数
6
7
3
5
4
年龄在[25，30），[55，60）的被调查者中赞成人数分别是3人和2人，现从这两组的被调查者中各随机选取2人，进行跟踪调查．

(1)、求年龄在[25，30）的被调查者中选取的2人都是赞成的概率；

(2)、求选中的4人中，至少有3人赞成的概率；

(3)、若选中的4人中，不赞成的人数为X ，求随机变量X的分布列和数学期望．

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21. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 经过点 $(1 ， \frac{3}{2})$ ，离心率为 $e = \frac{1}{2}$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、设椭圆 $C$ 的左、右两个顶点分别为 $A_{1} ， A_{2}$ ， $T$ 为直线 $l ： x = 4$ 上的动点，且 $T$ 不在 $x$ 轴上，直线 $T A_{1}$ 与 $C$ 的另一个交点为 $M$ ，直线 $T A_{2}$ 与 $C$ 的另一个交点为 $N$ ， $F$ 为椭圆 $C$ 的左焦点，求证： $△ F M N$ 的周长为定值．

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22. 已知函数 $f (x) = a x l n x - x ， (a \in R)$ ）.

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $x > 1$ 时， $f (x) > - 1$ ，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、对任意 $n \in N^{*}$ ，证明： $\sqrt{\frac{1}{2}} + \sqrt{\frac{2}{3}} + \sqrt{\frac{3}{4}} + ⋯ + \sqrt{\frac{n}{n + 1}} + l n \sqrt{n + 1} > n$ .

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浙江省杭金湖四校2023-2024学年高三上学期数学第六次联考试卷

一、单选题

二、多选题

三、填空题

四、解答题

五、证明题

六、解答题

七、证明题

八、解答题

年龄	[20，25）	[25，30）	[30，35）	[35，40）	[40，45）
人数	4	5	8	5	3
年龄	[45，50）	[50，55）	[55，60）	[60，65）	[65，70）
人数	6	7	3	5	4