浙江省新阵地教育联盟2024届高三上学期数学第二次联考试卷

试卷更新日期：2023-11-09 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 2 x - 3 < 0}$ ， $B = {y | y = 2^{x} ， x < 1}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $(- \infty ， 3)$ B、 $(0 ， 2)$ C、 $(- 1 ， 2)$ D、 $(2 ， 3)$

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2. 已知复数 $z$ 满足 $(1 + i) z = 3 + 2 i$ ，则 $\bar{z}$ 的虚部为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2} i$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2} i$

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3. 已知向量 $\vec{a} = (m ， 3)$ ， $\vec{b} = (1 ， m)$ ，若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 反向共线，则 $| \vec{a} - \sqrt{3} \vec{b} |$ 的值为（）

A、0 B、48 C、 $4 \sqrt{3}$ D、 $3 \sqrt{6}$

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4. 已知函数 $y = l o g_{a} (x^{2} - a x + 2)$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）在 $[0 ， 1]$ 上是减函数，则实数a的取值范围是（）

A、 $(0 ， 1)$ B、 $[2 ， 3]$ C、 $[2 ， 3)$ D、 $(2 ， + ∞)$

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5. 已知椭圆 $C_{1} ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + y^{2} = 1$ 和双曲线 $C_{2} ： x^{2} - \frac{y^{2}}{a} = 1$ 有相同的焦点，则实数a的值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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6. 过点 $P (- 2 ， 0)$ 作圆 $x^{2} + y^{2} - 4 y = 1$ 的两条切线，设切点分别为A ， B ，则 $△ P A B$ 的面积为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{15}}{8}$ B、 $\frac{3 \sqrt{15}}{8}$ C、 $\frac{5 \sqrt{15}}{8}$ D、 $\frac{7 \sqrt{15}}{8}$

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7. 已知 $2 s i n α - s i n β = \sqrt{3}$ ， $2 c o s α - c o s β = 1$ ，则 $c o s (2 α - 2 β) =$ （）

A、 $- \frac{1}{8}$ B、 $\frac{\sqrt{15}}{4}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $- \frac{7}{8}$

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8. 记 $S_{n}$ 为公比不是1的等比数列 ${a_{n}}$ 的前n项和．设甲： $S_{i}$ ， $S_{j}$ ， $S_{k}$ 依次成等差数列．乙： $a_{i + 1}$ ， $a_{j + 1}$ ， $a_{k + 1}$ 依次成等差数列． $(i ， j ， k \in N^{*})$ ．则（）

A、甲是乙的充分条件但不是必要条件 B、甲是乙的必要条件但不是充分条件 C、甲是乙的充要条件 D、甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

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二、多选题

9. 有一组样本甲的数据 $x_{i} (i = 1 ， 2 ， \cdot \cdot \cdot ， 20)$ ，由这组数据得到新样本乙的数据 $5 x_{i} + 1 (i = 1 ， 2 ， \cdot \cdot \cdot ， 20)$ ，其中 $x_{i} (i = 1 ， 2 ， \cdot \cdot \cdot ， 20)$ 为不全相等的正实数．下列说法正确的是（）

A、样本甲的极差可能等于样本乙的极差 B、样本甲的方差一定大于样本乙的方差 C、若 $t$ 为样本甲的中位数，则样本乙的中位数为 $5 t + 1$ D、若 $t$ 为样本甲的平均数，则样本乙的平均数为 $5 t + 1$

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10. 声强级 $L i$ （单位： $d B$ ）与声强 $I$ （单位： $W / m^{2}$ ）之间的关系是： $L i = 10 l g \frac{I}{I_{0}}$ ，其中 $I_{0}$ 指的是人能听到的最低声强，对应的声强级称为闻阈．人能承受的最大声强为 $1 W / m^{2}$ ，对应的声强级为 $120 d B$ ，称为痛阈.某歌唱家唱歌时，声强级范围为 $[70 ， 80]$ （单位： $d B$ ），下列选项中正确的是（）

A、闻阈的声强级为 $0.1 d B$ B、此歌唱家唱歌时的声强范围为 $[1 0^{- 5} ， 1 0^{- 4}]$ （单位： $W / m^{2}$ ） C、如果声强变为原来的2倍，对应声强级也变为原来的2倍 D、声强级增加 $10 d B$ ，则声强变为原来的10倍

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11. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为4，正四面体 $E - F G H$ 的棱长为a ，则以下说法正确的是（）

A、正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的内切球直径为4 B、正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的外接球直径为 $4 \sqrt{2}$ C、若正四面体 $E - F G H$ 可以放入正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 内自由旋转，则a的最大值是 $\frac{4 \sqrt{6}}{3}$ D、若正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 可以放入正四面体 $E - F G H$ 内自由旋转，则a的最小值是 $12 \sqrt{2}$

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12. 已知定义在R上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x) + f (2 - x) = 6$ ， $f (x + 2) = f (2 - x) + 4 x$ ，则（）

A、 $f (8) + f (2) = 12$ B、4是 $f^{'} (x)$ 的一个周期 C、 $f^{'} (0) + f^{'} (4) = 4$ D、 $\sum_{i = 1} f (i) = 483$

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三、填空题

13. 已知圆台 $O O_{1}$ 的上下底面半径分别为2，4，母线长为6，则该圆台的表面积是．

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14. 首个全国生态主场日活动于2023.8.15在浙江湖州举行，推动能耗双控转向碳排放双控．有A ， B ， C ， D ， E ， F共6项议程在该天举行，每个议程有半天会期．现在有甲、乙、丙三个会议厅可以利用，每个会议厅每半天只能容纳一个议程．若要求A ， B两议程不能同时在上午举行，而C议程只能在下午举行，则不同的安排方案一共有种．（用数字作答）

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15. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x - \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 在区间 $(π ， 2 π)$ 内没有零点，则 $ω$ 的最大值是．

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16. 已知抛物线 $x^{2} = 6 y$ 的焦点为 $F$ ，圆 $M$ 与抛物线相切于点 $P$ ，与 $y$ 轴相切于点 $F$ ，则 $| P F | =$ ．

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四、解答题

17. 如图，在三棱锥 $S - A B C$ 中， $B A = B C$ ， $∠ S A B = ∠ S C B = ∠ A B C = 90 °$ ．

(1)、证明： $A C ⊥ S B$ ；

(2)、若 $A B = 2$ ， $S C = 2 \sqrt{2}$ ，点D满足 $\vec{A S} = \sqrt{2} \vec{B D}$ ，求二面角 $S - B C - D$ 的大小．

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18. 记 $△ A B C$ 的内角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ，已知 $\frac{1}{t a n B} + \frac{1}{t a n C} = \frac{2}{t a n A}$ ．

(1)、若 $A = \frac{π}{3}$ ，求B；

(2)、若 $a = 1$ ，求 $B C$ 边上的中线 $A D$ 的长．

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19. 已知函数 $f (x) = a (l n x - a) - x$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、证明：当 $a > 0$ 时， $f (x) < - 3 a + 2$ ．

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20. 已知 ${a_{n}}$ 为等差数列， ${b_{n}}$ 为等比数列， $b_{1} = 2$ ，数列 ${a_{n} \cdot b_{n}}$ 的前n项和为 $(n - 1) \cdot 2^{n + 1} + 2$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式．

(2)、设 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前n项和， $c_{n} = \frac{4 S_{n} \cdot t^{n - 1}}{n (n + 1) b_{n}}$ ， $t \neq 0$ ，求 $c_{1} b_{n} + c_{2} b_{n - 1} + \cdot \cdot \cdot + c_{n} b_{1}$ ．

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21. 杭州亚运会定于2023年9月23日至10月8日举行．在此期间，参加亚运会的运动员可以在亚运村免费食宿．亚运村的某餐厅从第一天起到最后一天，晚餐只推出“中式套餐”和“西式套謷”．已知某运动员每天晚餐会在该食堂提供的这两种套餐中选择．已知他第一晚选择“中式套餐”的概率为 $\frac{4}{5}$ ，而前一晚选择了“中式套餐”，后一晚继续选择“中式套餐”的概率为 $\frac{1}{4}$ ，前一晚选择“西式套餐”，后一晚继续选择“西式套餐”的概率为 $\frac{1}{3}$ ，如此往复．

(1)、求该运动员第二晚“中式套餐”套餐的概率；

(2)、记该运动员第 $n (n = 1 ， 2 ， \cdot \cdot \cdot ， 16)$ 晚选择“中式套餐”的概率为 $P_{n}$
①求 $P_{n}$ ；
②求该运动员在这16晚中选择“中式套餐”的概率大于“西式套餐”概率的晚数．

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，O为坐标原点，动点 $D (x ， y)$ 与定点 $F (2 ， 0)$ 的距离和D到定直线 $x = \frac{1}{2}$ 的距离的比是常数2，设动点D的轨迹为曲线C ．

(1)、求曲线C的方程；

(2)、已知定点 $P (t ， 0)$ ， $0 < t < 1$ ，过点P作垂直于x轴的直线 $l$ ，过点P作斜率大于0的直线 $l^{'}$ 与曲线C交于点G ， H ，其中点G在x轴上方，点H在x轴下方．曲线C与x轴负半轴交于点A ，直线 $A G$ ， $A H$ 与直线 $l$ 分别交于点M ， N ，若A ， O ， M ， N四点共圆，求t的值．

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