浙江省强基联盟2023-2024学年高三上学期数学10月联考试卷

试卷更新日期：2023-11-09 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x | x^{2} - 6 x + 8 < 0} ， B = {x | - 1 \leq x \leq 3}$ ，下列属于 $A \cap B$ 的元素是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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2. 若复数 $z = \frac{2 - a i}{2 + i}$ 是纯虚数，则实数 $a =$ （）

A、2 B、4 C、 $- 2$ D、 $- 4$

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3. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的离心率为 $\sqrt{5}$ ，则渐近线方程是（）

A、 $y = \pm \frac{1}{2} x$ B、 $y = \pm 2 x$ C、 $y = \pm \sqrt{3} x$ D、 $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} x$

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4. 已知向量 $\vec{a} = (2 ， 4) ， \vec{b} = (1 ， x)$ ，若 $(\vec{a} + \vec{b}) ∥ (\vec{a} - 2 \vec{b})$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ （）

A、10 B、 $\sqrt{10}$ C、8 D、 $2 \sqrt{2}$

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5. 若函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 3 a x + 6 ， x \leq 2 \\ a^{x} + a ， x > 2 \end{array}$ 是单调递增函数，则实数 $a$ 可取的一个值是（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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6. 近期浙江大学、复旦大学、南京大学三所学校发布了2024年冬令营招生简章，现有甲、乙、丙、丁四位同学报名，每位同学只能选一所大学，每所大学至少有一名同学报名，且甲同学不报南京大学，则不同的报名方法共有（）

A、16种 B、20种 C、24种 D、28种

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7. 已知函数 $f (x) = 1 + c o s 4 x + 2 s i n 2 x ， x \in [0 ， a]$ 的值域为 $[2 ， \frac{5}{2}]$ ，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $[\frac{π}{6} ， \frac{π}{2}]$ B、 $[\frac{π}{12} ， \frac{π}{2}]$ C、 $[\frac{π}{12} ， \frac{π}{6}]$ D、 $[\frac{5 π}{12} ， π]$

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8. 定义 $m a x {a ， b} = {\begin{array}{l} a ， a \geq b \\ b ， a < b \end{array}$ ．若数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n} = λ n^{2} + (20 + λ) n (λ \in R ， n \in N^{*})$ ，数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{1} = 2 ， 2^{n + 1} (b_{n + 1} - b_{n}) = b_{n} b_{n + 1}$ ，令 $c_{n} = m a x {a_{n} ， b_{n}}$ ，且 $c_{n} \geq c_{3}$ 恒成立，则实数 $λ$ 的取值范围是（）

A、 $[- 4 ， - 3]$ B、 $[- 3 ， - 2]$ C、 $[- \frac{2}{3} ， - \frac{1}{2}] ∪ {0}$ D、 $[- 3 ， - \frac{2}{3}] ∪ {0}$

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二、多选题

9. 已知 $m$ ， $n$ 是两条不重合的直线， $α$ ， $β$ 是两个不重合的平面，下列命题正确的是（）

A、若 $m / / α$ ， $m / / β$ ， $n / / α$ ， $n / / β$ 则 $α / / β$ B、若 $m / / n$ ， $m / / α$ ， $n ⊥ β$ 则 $α ⊥ β$ C、若 $m ⊥ n$ ， $m \subset α$ ， $n \subset β$ 则 $α ⊥ β$ D、若 $m / / n$ ， $m ⊥ α$ ， $n ⊥ β$ 则 $α / / β$

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10. 下列说法正确的是（）

A、若随机变量 $X$ 服从二项分布 $B (6 ， p)$ ，且 $E (X) = 2$ ，则 $D (X) = \frac{2}{3}$ B、随机事件 $A ， B$ 相互独立，满足 $P (A B) = \frac{5}{9} ， P (A \bar{B}) = \frac{2}{9}$ ，则 $P (B) = \frac{2}{5}$ C、若 $P (A | B) = P (B | A) = \frac{2}{3} ， P (A) = \frac{1}{2}$ ，则 $P (B) = \frac{1}{2}$ D、设随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (3 ， σ) ， P (X < 5) = 0.8$ ，则 $P (1 < X < 3) = 0.3$

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11. 已知抛物线 $E ： y^{2} = 4 x$ 上的两个不同的点 $A (x_{1} ， y_{1}) ， B (x_{2} ， y_{2})$ 关于直线 $x = k y + 4$ 对称，直线 $A B$ 与 $x$ 轴交于点 $C (x_{0} ， 0)$ ，下列说法正确的是（）

A、 $E$ 的焦点坐标为 $(1 ， 0)$ B、 $x_{1} + x_{2}$ 是定值 C、 $x_{1} x_{2}$ 是定值 D、 $x_{0} \in (- 2 ， 2)$

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12. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (2 x - 2)$ 的图象关于直线 $x = 1$ 对称，函数 $f (\frac{1}{2} x + 1)$ 的图象关于点 $(2 ， 0)$ 中心对称，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x) = f (- x)$ B、8是函数 $f (x)$ 的一个周期 C、 $f (2) = 0$ D、 $f (1 + x) + f (1 - x) = 0$

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三、填空题

13. 过圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 上点 $P (- \frac{\sqrt{2}}{2} ， \frac{\sqrt{2}}{2})$ 的切线方程为．

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14. ${(\frac{1}{2 x} - x)}^{8}$ 展开式中含 $x^{2}$ 项的系数是．

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15. 已知 $s i n (x + \frac{π}{4}) = \frac{1}{3} ， x \in (0 ， π)$ ，则 $s i n 2 x =$ ．

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16. 设 $a ， b ， c$ 为正数， $a > b$ ，且 $a ， b$ 为一元二次方程 $a x^{2} - 3 b x + c = 0$ 的两个实根，则 $\frac{4 c}{b} + \frac{1}{b (a - b)}$ 的最小值为．

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四、解答题

17. 已知锐角 $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，且满足 $b s i n C + c s i n B = \sqrt{3} b$

(1)、求 $C$ ；

(2)、若 $c = 2 ， △ A B C$ 面积为 $\sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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18. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足 $3 S_{4} = 2 (a_{5} + a_{8}) ， a_{3} = 3 a_{1} + 2 ， n \in N^{*}$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = {(- \frac{1}{2})}^{n - 1}$ ，令 $c_{n} = a_{n} b_{n}$ ，数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求 $T_{n}$ 的取值范围．

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五、证明题

19. 如图，已知四棱锥 $P - A B C D ，$ $△ P A D$ 是边长为4的等边三角形，满足 $A B = 2 B C = 4$ ， $A B ⊥ B C ， B C ∥ A D$ ．

(1)、求证： $P C ⊥ A D$ ；

(2)、若 $P D$ 与平面 $A B C D$ 所成的角为 $\frac{π}{4}$ ，求二面角 $P - C D - A$ 的余弦值．

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20. 已知函数 $f (x) = l n x - a x^{2} + (1 - 2 a) x . (a \in R)$

(1)、若 $a = 1$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、当 $0 < a \leq \frac{1}{2}$ 时，求证： $f (x) \leq \frac{1}{2 a} - a - 1$ ．

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六、解答题

21. 如图所示，已知椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $M (2 \sqrt{2} ， \sqrt{2})$ ，且满足 $a = 2 b ， O$ 为坐标原点，平行于 $O M$ 的直线交椭圆 $E$ 于两个不同的点 $A ， B$ ．

(1)、求椭圆 $E$ 的方程；

(2)、直线 $A M$ 与 $x$ 轴交于点 $C$ ．证明 $∠ B M C$ 的平分线所在直线与 $x$ 轴垂直．

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22. 甲口袋中装有2个红球和1个黑球，乙口袋中装有1个红球和2个黑球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，称为1次球交换的操作，重复 $n$ 次这样的操作，记甲口袋中红球个数为 $X_{n}$ ．

(1)、求 $P (X_{1} = 1)$ ；

(2)、求 $X_{2}$ 的概率分布列并求出 $E (X_{2})$ ；

(3)、证明： $E (X_{n + 1}) = 1 + \frac{1}{3} E (X_{n}) (n \geq 2 ， n \in N^{*})$ ．

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