陕西省西安市灞桥区2023-2024学年高二上学期数学第一次联考试卷

试卷更新日期：2023-11-09 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 直线 $x - 2 y - 2 = 0$ 在 $x$ 轴上的截距为 $a$ ，在 $y$ 轴上的截距为 $b$ ，则（）

A、 $a = 2$ ， $b = 1$ B、 $a = 2$ ， $b = - 1$ C、 $a = - 2$ ， $b = 1$ D、 $a = - 2$ ， $b = - 1$

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2. 若 $M (1 ， 0 ， 1)$ ， $N (2 ， m ， 3)$ ， $P (2 ， 2 ， n + 1)$ 三点共线，则 $m + n =$ （）

A、4 B、 $- 2$ C、1 D、0

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3. 若直线 $x + y - 1 = 0$ 是圆 $(x - m)^{2} + (y - 1)^{2} = 1$ 的一条对称轴，则 $m =$ （）

A、0 B、1 C、2 D、4

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4. 圆 $C_{1} ： x^{2} + y^{2} = 1$ 与圆 $C_{2} ： x^{2} + y^{2} - 6 y + 5 = 0$ 的公切线有（）

A、1条 B、2条 C、3条 D、4条

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5. 如图，在圆锥SO中，AB是底面圆 $O$ 的直径，D ， E分别为SO ， SB的中点， $O C ⊥ A B$ ， $S O = A B = 4$ ，则直线AD与直线CE所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$

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6. 若某等腰直角三角形斜边所在直线的倾斜角为 $15 °$ ，则该三角形两条直角边所在直线的斜率之和为（）

A、0 B、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ C、 $- 2 \sqrt{3}$ D、 $- \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

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7. 如图，在正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 2$ ， $A A_{1} = 4$ ．点 $A_{2}$ ， $C_{2}$ ， $D_{2}$ 分别在棱 $A A_{1}$ ， $C C_{1}$ ， $D D_{1}$ 上， $A A_{2} = 1$ ， $D D_{2} = 2$ ， $C C_{2} = 3$ ，则点 $D$ 到平面 $A_{2} C_{2} D_{2}$ 的距离为（）

A、 $\frac{4 \sqrt{6}}{3}$ B、 $\sqrt{6}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{6}}{3}$

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8. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P D ⊥$ 底面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 是矩形， $A B = 2 A D = 4$ ， $P D = \frac{4 \sqrt{5}}{5}$ ， $E$ 是 $P A$ 的中点， $\vec{F B} = 2 \vec{P F}$ ．若点 $M$ 在矩形 $A B C D$ 内，且 $P M ⊥$ 平面 $D E F$ ，则 $D M =$ （）

A、 $\frac{3 \sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{4 \sqrt{5}}{5}$

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二、多选题

9. 已知直线 $l_{1} ： a x + y + 1 = 0 ， l_{2} ： 2 x - b y + 2 = 0$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，则 $b = 2 a$ B、若 $a b = - 2$ ，则 $l_{1} / / l_{2}$ C、 $l_{1}$ 过定点 $(0 ， - 1)$ D、当 $l_{1} / / l_{2}$ 时， $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 之间的距离的最大值为 $\sqrt{2}$

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10. 如图，在四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，四边形ABCD是正方形， $A A_{1} = 6$ ， $A B = 4$ ，且 $∠ C_{1} C B = ∠ C_{1} C D = \frac{π}{3}$ ，则（）

A、 $\vec{A C_{1}} = \vec{A B} + \vec{A D} + \vec{C C_{1}}$ B、 $\vec{A B} \cdot \vec{C C_{1}} = 24$ C、 $A C_{1} = 2 \sqrt{5}$ D、直线 $C C_{1}$ 与平面ABCD所成的角为 $\frac{π}{4}$

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11. 已知直线 $l ： (m + 2) x + (m - 3) y + 5 = 0 (m \in R)$ 与圆 $M ： x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 y = 0$ 交于 $A ， B$ 两点，下列说法正确的是（）

A、 $| A B |$ 的最小值是4 B、若过点 $D (1 ， 0)$ 的直线 $l^{'}$ 垂直平分弦 $A B$ ，则 $m = \frac{1}{2}$ C、 $△ M A B$ 的面积的最大值是 $\frac{5}{2}$ D、 $A B$ 中点的轨迹方程为 $(x + 1)^{2} + {(y - \frac{3}{2})}^{2} = \frac{1}{4} (x \neq - \frac{3}{2})$

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12. 清初著名数学家孔林宗曾提出一种“蒺藜形多面体”，其可由两个正交的正四面体组合而成，如图1，也可由正方体切割而成，如图2．在图2所示的“蒺藜形多面体”中，若 $A B = 2$ ，则给出的说法中正确的是（）

A、该几何体的表面积为 $18 \sqrt{3}$ B、该几何体的体积为4 C、二面角 $B - E F - H$ 的余弦值为 $- \frac{1}{3}$ D、若点P ， Q在线段BM ， CH上移动，则PQ的最小值为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

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三、填空题

13. 若向量 $\vec{a} = (1 ， 1 ， 1)$ ， $\vec{b} = (2 ， - 1 ， - 2)$ ，且 $(\vec{a} + λ \vec{b}) ⊥ \vec{a}$ ，则 $λ =$ ．

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14. 如图，圆 $C_{1}$ 和圆 $C_{2}$ 的圆心分别为 $C_{1} (1 ， 2)$ ， $C_{2} (3 ， 4)$ ，半径都为 $\sqrt{2}$ ，写出一条与圆 $C_{1}$ 和圆 $C_{2}$ 都相切的直线的方程：.

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15. 在正四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 3 \sqrt{2}$ ， $A_{1} B_{1} = 2 \sqrt{2}$ ， $A A_{1} = 2$ ， $A C ∩ B D = O$ ， $\vec{C E} = λ \vec{C C_{1}}$ ，若 $O E / /$ 平面 $A B_{1} D_{1}$ ，则 $λ =$ ．

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四、双空题

16. 已知 $A (3 ， 0) ， B$ 为圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 上的动点，点 $C$ 在 $x$ 轴上，若 $| B C | = \frac{2}{3} | A B |$ ，则点 $C$ 的坐标为；若点 $P$ 为直线 $x + y - 3 = 0$ 上的动点，则 $| P B | + \frac{2}{3} | A B |$ 的最小值为.

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五、解答题

17. 已知 $△ A B C$ 的三个顶点的坐标分别为 $A (2 ， 1)$ ， $B (5 ， 0)$ ， $C (1 ， 8)$ .

(1)、求点 $A$ 到直线 $B C$ 的距离；

(2)、求 $B C$ 边上的高所在直线的方程.

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18. 如图，在直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B / / C D$ ， $A B ⊥ A D$ ， $A A_{1} = A B = 2 A D = 2 C D = 4$ ， E ， F ， G分别为棱 $D D_{1}$ ， $A_{1} D_{1}$ ， $B B_{1}$ 的中点．

(1)、求 $\vec{C G} \cdot \vec{E F}$ 的值；

(2)、证明：C ， E ， F ， G四点共面．

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19. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E ， F ， G分别是 $D D_{1}$ ， $B C$ ， $A D$ 的中点．

(1)、证明： $A E ⊥ B_{1} G$ ．

(2)、求直线 $A_{1} C_{1}$ 与平面 $B_{1} F G$ 所成角的正弦值．

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20. 已知直线 $l ： y = k x$ ，圆 $C ： x^{2} - 12 x + y^{2} - 4 y + 20 = 0$ .

(1)、若直线 $l$ 与圆 $C$ 相离，求 $k$ 的取值范围；

(2)、若直线 $l$ 与圆 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，是否存在过点 $D (3 ， 3)$ 的直线 $l^{'}$ 垂直平分弦 $A B$ ？若存在，求出直线 $l^{'}$ 的方程；若不存在，请说明理由.

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21. 已知圆 $C ： x^{2} + y^{2} - 4 x - 6 y + 4 = 0$ ，过点 $P (4 ， 2)$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交于点 $M$ ， $N$ ，且 $| M N | = 4$ .

(1)、求 $l$ 的方程；

(2)、设 $O$ 为坐标原点，求 $\vec{O M} \cdot \vec{O N}$ .

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22. 如图，在四面体ABCD中， $A C ⊥ B C$ ， $A C = 2 \sqrt{2}$ ， $B C = 4$ ， $C D = B D = 2 \sqrt{3}$ ， $c o s ∠ A B D = \frac{\sqrt{2}}{6}$ ， E ， F ， G分别为棱BC ， AD ， CD的中点，点 $H$ 在线段AB上.

(1)、若 $F H / /$ 平面AEG ，试确定点 $H$ 的位置，并说明理由；

(2)、求平面AEG与平面CDH的夹角的取值范围.

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