陕西省西安市长安区2023-2024学年高二上学期数学10月月考试卷-在线组卷题库

1. 已知空间向量 $\vec{a} = (4 ， - 1 ， 1)$ ， $\vec{b} = (x ， y ， 2)$ ，且 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $x + y =$ （）

A、6 B、10 C、8 D、4

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2. 如图，设 $\vec{O A} = \vec{a} ， \vec{O B} = \vec{b} ， \vec{O C} = \vec{c}$ ，若 $\vec{A N} = \vec{N B} ， \vec{B M} = 3 \vec{M C}$ ，则 $\vec{M N} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{4} \vec{b} - \frac{3}{4} \vec{c}$ B、 $- \frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{4} \vec{b} + \frac{3}{4} \vec{c}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{4} \vec{b} - \frac{1}{4} \vec{c}$ D、 $- \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{4} \vec{b} + \frac{1}{4} \vec{c}$

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3. 若直线 $l$ 的方向向量为 $\vec{e} = (2 ， 3 ， - 1)$ ，平面 $α$ 的法向量为 $\vec{n} = (- 1 ， - \frac{3}{2} ， \frac{1}{2})$ ，则直线 $l$ 和平面 $α$ 的位置关系是（）

A、 $l ⊥ α$ B、 $l / / α$ C、 $l / / α$ 或 $l ⊂ α$ D、 $l ⊂ α$

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4. 已知平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的各棱长均为1， $∠ A_{1} A B = ∠ A_{1} A D = 60 °$ ， $∠ D A B = 90 °$ ，则 $| \vec{A C_{1}} | =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{2} + 2$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{5}$

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5. 已知经过点 $A (1 ， 2 ， 3)$ 的平面 $α$ 的法向量为 $\vec{n} = (1 ， - 1 ， 1)$ ，则点 $P (- 2 ， 3 ， 1)$ 到平面 $α$ 的距离为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、2 C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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6. 在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为2的正方形， $A A_{1} = 4$ ， $∠ A_{1} A D = ∠ A_{1} A B = 60 °$ ，则异面直线 $A C$ 与 $D C_{1}$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{14}}{7}$ B、 $\frac{\sqrt{70}}{14}$ C、 $\frac{3 \sqrt{14}}{14}$ D、 $\frac{11 \sqrt{14}}{14}$

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7. 已知正四面体ABCD ， M为BC中点，N为AD中点，则直线BN与直线DM所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{21}}{21}$ D、 $\frac{4 \sqrt{21}}{21}$

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8. 正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 棱长为2， $E$ 是棱 $A B$ 的中点， $F$ 是四边形 $A A_{1} D_{1} D$ 内一点（包含边界），且 $\vec{F E} \cdot \vec{F D} = - \frac{3}{4}$ ，当三棱锥 $F - A E D$ 的体积最大时， $E F$ 与平面 $A B B_{1} A_{1}$ 所成角的正弦值为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$

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9. 已知 $\vec{a} = (1 ， 0 ， 1)$ ， $\vec{b} = (- 1 ， 2 ， - 3)$ ， $\vec{c} = (2 ， - 4 ， 6)$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ B、 $\vec{b} ∥ \vec{c}$ C、 $⟨ \vec{a} ， \vec{c} ⟩$ 为钝角 D、 $\vec{c}$ 在 $\vec{a}$ 方向上的投影向量为 $(4 ， 0 ， 4)$

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10. 已知 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 是空间的三个单位向量，下列说法正确的是（）

A、若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ， $\vec{b} / / \vec{c}$ ，则 $\vec{a} / / \vec{c}$ B、若 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 两两共面，则 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 共面 C、对于空间的任意一个向量 $\vec{p}$ ，总存在实数 $x$ ， $y$ ， $z$ ，使得 $\vec{p} = x \vec{a} + y \vec{b} + z \vec{c}$ D、若 ${\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}}$ 是空间的一组基底，则 ${\vec{a} + \vec{b} ， \vec{b} + \vec{c} ， \vec{c} + \vec{a}}$ 也是空间的一组基底

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11. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E 、 F$ 分别为线段 $B_{1} D_{1} ， B C_{1}$ 上的动点，则下列结论正确的是（）

A、 $D B_{1} ⊥$ 平面 $A C D_{1}$ B、直线 $A E$ 与平面 $B B_{1} D_{1} D$ 所成角的正弦值为定值 $\frac{1}{3}$ C、平面 $A_{1} C_{1} B$ $∥$ 平面 $A C D_{1}$ D、点 $F$ 到平面 $A C D_{1}$ 的距离为定值

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12. 如图，已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，点 $M$ 为 $C C_{1}$ 的中点，点 $P$ 为正方形A₁B₁C₁D₁上的动点，则（）

A、满足 $M P ∥$ 平面 $B D A_{1}$ 的点 $P$ 的轨迹长度为 $\sqrt{2}$ B、满足 $M P ⊥ A M$ 的点 $P$ 的轨迹长度为 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ C、存在唯一的点 $P$ 满足 $∠ A P M = \frac{π}{2}$ D、存在点 $P$ 满足 $P A + P M = 4$

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13. 试写出一个点 $C$ 的坐标：，使之与点 $A (- 1 ， 1 ， 0)$ ， $B (- 1 ， 0 ， 1)$ 三点共线．

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14. 已知 $\vec{a}$ ､ $\vec{b}$ 是空间相互垂直的单位向量，且 $| \vec{c} | = 5$ ， $\vec{c} \cdot \vec{a} = \vec{c} \cdot \vec{b} = 2 \sqrt{2}$ ，则 $| \vec{c} - m \vec{a} - n \vec{b} |$ 的最小值是.

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15. 已知梯形ABCD和矩形CDEF ．在平面图形中， $A B = A D = D E = \frac{1}{2} C D = 1$ ， $C D ⊥ A E$ ．现将矩形CDEF沿CD进行如图所示的翻折，满足面ABCD垂直于面CDEF ．设 $\vec{E N} = 2 \vec{N C}$ ， $\vec{E P} = μ \vec{P B}$ ，若 $A P ∥$ 面DBN ，则实数 $μ$ 的值为．

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16. 《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.在堑堵 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B ⊥ A C$ ， M是 $A_{1} C_{1}$ 的中点， $A B = 7$ ， N，G分别在棱 $B B_{1}$ ， AC上，且 $B N = \frac{1}{3} B B_{1}$ ， $A G = \frac{1}{3} A C$ ，平面MNG与AB交于点H，则 $\frac{A H}{B H} =$ ， $\vec{H M} \cdot \vec{A B} =$ .

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17. 如图所示，在三棱锥 $O - A B C$ 中， $O A$ ， $O B$ ， $O C$ 两两垂直， $O A = 1$ ， $O B = 2$ ， $O C = 3$ ， $E$ ， $F$ ， $P$ 分别为 $A C$ ， $B C$ ， $E F$ 的中点，以 $\vec{O A}$ ， $\vec{O B}$ ， $\vec{O C}$ 方向上的单位向量为基底，求 $O P$ ．

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18. 如图所示，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，连接PA ， PB ， PC ， PD ，点E ， F ， G ， H分别为 $△ P A B$ ， $△ P B C$ ， $△ P C D$ ， $△ P D A$ 的重心．求证：E ， F ， G ， H四点共面．

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19. 如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD ， $P D = A B = 2$ ， E、F分别是PC、AD中点．

(1)、求直线DE和PF夹角的余弦值；

(2)、求点E到平面PBF的距离．

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20. 如图所示，四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为菱形，点 $P$ 在底面的投影 $O$ 点恰好是菱形 $A B C D$ 对角线交点，点 $E$ 为侧棱 $P C$ 中点，若 $∠ B A D = 60 °$ ， $A B = 2$ ， $P O = \sqrt{3}$ ．

(1)、求证：平面 $P B C$ ⊥平面 $B D E$ ；

(2)、点 $Q$ 在线段 $P A$ 上，且 $P Q = 2 Q A$ ，求二面角 $Q - B D - E$ 的平面角的正弦值．

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21. 如图，直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B C$ 是边长为 $2$ 的正三角形， $O$ 为 $A B$ 的中点．

(1)、证明： $C O ⊥$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ ；

(2)、若直线 $B_{1} C$ 与平面 $A B B_{1} A_{1}$ 所成的角的正切值为 $\frac{\sqrt{15}}{5}$ ，求平面 $A_{1} B C_{1}$ 与平面 $A B C_{1}$ 夹角的余弦值．

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22. 长方形 $A B C D$ 中， $A B = 2 A D$ ， M是 $C D$ 中点（图1），将 $△ A D M$ 沿 $A M$ 折起，使得 $A D ⊥ B M$ （图2），在图2中

(1)、求证：平面 $A D M ⊥$ 平面 $A B C M$ ；

(2)、在线段 $B D$ 上是否存点E ，使得平面 $A D M$ 与 $A M E$ 的夹角为 $\frac{π}{4}$ ，请说明理由．

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陕西省西安市长安区2023-2024学年高二上学期数学10月月考试卷

一、单选题

二、多选题

三、填空题

四、双空题

五、解答题

六、证明题

七、解答题

八、证明题

九、解答题

十、证明题