江苏省淮安市2023-2024学年高一上学期数学期中模拟试卷

试卷更新日期：2023-11-09 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {- 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ ， $B = {x | - 1 < x < 2}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${0 ， 1}$ B、 ${- 1 ， 1}$ C、 ${- 1 ， 0 ， 1}$ D、 ${0 ， 1 ， 2}$

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2. 若 $x > 1$ ，则 $4 x + \frac{1}{x - 1}$ 的最小值为（）

A、 $4$ B、 $6$ C、 $8$ D、 $9$

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3. 若 $a = l o g_{3} 4$ ，则 $3^{a} + 3^{- a}$ 的值为（）

A、 $\frac{15}{4}$ B、 $\frac{17}{4}$ C、 $\frac{8}{3}$ D、 $\frac{10}{3}$

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4. 设全集 $U = R$ ，集合 $A = {x | 1 < x < 4}$ ，集合 $B = {x | 2 \leq x < 5}$ ，则 $A \cap (C_{U} B) =$ （）

A、 ${x | 1 \leq x < 2}$ B、 ${x | x < 2}$ C、 ${x | x \geq 5}$ D、 ${x | 1 < x < 2}$

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5. 已知 $f (x)$ 满足 $f (a b) = f (a) + f (b)$ ，且 $f (2) = 2$ ， $f (3) = 3$ ，那么 $f (12) =$ （）．

A、 $6$ B、 $7$ C、 $10$ D、 $12$

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6. 若命题“对任意的 $x \in (0 ， + \infty)$ ， $x + \frac{1}{x} - m > 0$ 恒成立”为假命题，则m的取值范围为（）

A、 ${m | m \geq 2}$ B、 ${m | m > 2}$ C、 ${m | m \leq 2}$ D、 ${m | m < 2}$

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7. 已知 $f (x) = {\begin{array}{l} (3 a - 1) x + 4 a ， x < 1 ， \\ - a x ， x \geq 1 \end{array}$ 是定义在 $(- ∞ ， + ∞)$ 上的减函数，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{1}{8} ， \frac{1}{3})$ B、 $[0 ， \frac{1}{3}]$ C、 $(0 ， \frac{1}{3})$ D、 $(- \infty ， \frac{1}{3}]$

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8. 对于实数 $x$ ，规定 $[x]$ 表示不大于 $x$ 的最大整数，那么不等式 $4 [x]^{2} - 16 [x] + 7 < 0$ 成立的充分不必条件要是（）

A、 $x \in (\frac{1}{2} ， \frac{7}{2})$ B、 $x \in [1 ， 3]$ C、 $x \in [1 ， 4)$ D、 $x \in [1 ， 4]$

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二、多选题

9. 已知集合 $M = {- 2$ ， $3 x^{2} + 3 x - 4$ ， $x^{2} + x - 4}$ ，若 $2 \in M$ ，则满足条件的实数 $x$ 可能为（）

A、2 B、 $- 2$ C、 $- 3$ D、1

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10. 下列说法中正确的有（）

A、“ $a > b > 0$ ”是“ $a^{2} > b^{2}$ ”成立的充分不必要条件 B、命题 $p$ ： $\forall x > 0$ ，均有 $x^{2} > 0$ ，则 $p$ 的否定： $\exists x_{0} \leq 0$ ，使得 $x_{0}^{2} \leq 0$ C、设 $A ， B$ 是两个数集，则“ $A ∩ B = A$ ”是“ $A \subseteq B$ ”的充要条件 D、设 $A ， B$ 是两个数集，若 $A \cap B \neq \emptyset$ ，则 $\exists x \in A$ ， $x \in B$

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11. 关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} + b x + 1 > 0$ ，下列关于此不等式的解集结论正确的是（）

A、不等式 $a x^{2} + b x + 1 > 0$ 的解集可以为 $(1 ， + \infty)$ B、不等式 $a x^{2} + b x + 1 > 0$ 的解集可以为 $R$ C、不等式 $a x^{2} + b x + 1 > 0$ 的解集可以为 $\emptyset$ D、不等式 $a x^{2} + b x + 1 > 0$ 的解集可以为 ${x | - 1 < x < 1}$

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12. 已知 $a ， b > 0$ ， $a + b^{2} = 1$ ，则下列选项一定正确的是（）

A、 $\sqrt{a} + b < \sqrt{2}$ B、 $b \sqrt{a}$ 的最大值为 $\frac{1}{2}$ C、 $a + 2 b$ 的最大值为2 D、 $\frac{1}{a} + \frac{4}{b^{2}} \geq 9$

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三、填空题

13. 函数 $f (x) = \sqrt{x + 1} + (x - 1)^{0} + \frac{1}{2 - x}$ 的定义域为．

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14. 若命题“ $\exists x \in R$ ，使得 $x^{2} + (a + 2) x + 1 < 0$ ”是假命题，则实数 $a$ 的取值范围是．

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15. 已知函数 $f (x) = a x^{7} + b x - 2$ ，若 $f (2019) = 10$ ，则 $f (- 2019) =$ ．

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16. 定义在 $(- \infty ， 0) \cup (0 ， + \infty)$ 上的奇函数 $f (x)$ ，若函数 $f (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上为增函数，且 $f (1) = 0$ ，则不等式 $\frac{f (x)}{x} < 0$ 的解集为．

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四、计算题

17. 计算：

(1)、求值： $0.12 5^{- \frac{1}{3}} - {(\frac{9}{8})}^{0} + {[(- 2)^{2}]}^{\frac{3}{2}} + (\sqrt{2} \times \sqrt[3]{3})^{6}$ ；

(2)、 $\frac{1}{2} l g 25 + l g 2 - l g \sqrt{0.1} - l o g_{2} 9 \times l o g_{3} 2$ ．

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五、解答题

18.

(1)、设集合 $A = {a^{2} ， a + 1 ， - 3}$ ， $B = {a - 3 ， 2 a - 1 ， a^{2} + 1}$ ， $A \cap B = {- 3}$ ，求实数a的值；

(2)、若集合 $A = {1 ， 3 ， x}$ ， $B = {1 ， x^{2}}$ ， $A \cup B = A$ ，求满足条件的实数x ．

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19. 设函数 $f (x) = x^{2} + (a - 4) x + 4 - 2 a$ ，

(1)、解关于 $x$ 的不等式 $f (x) > 0$ ；

(2)、若对任意的 $x \in [- 1 ， 1]$ ，不等式 $f (x) > 0$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围；

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20. 函数 $f (x) = 2 x^{2} - 2 a x + 3$ 在区间[－1，1]上的最小值记为 $g (a)$ ．

(1)、求 $g (a)$ 的函数解析式；

(2)、求 $g (a)$ 的最大值．

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六、应用题

21. 2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严重影响.在党和政府强有力的抗疫领导下，我国控制住疫情后，一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步复工复产，减轻经济下降对企业和民众带来的损失.为降低疫情影响，某厂家拟在2020年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量） $x$ 万件与年促销费用m万元（ $m \geq 0$ ）满足 $x = 4 - \frac{k}{m + 1}$ （k为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件.已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按 $\frac{8 + 16 x}{x}$ 元来计算）

(1)、将2020年该产品的利润 $y$ 万元表示为年促销费用m万元的函数；

(2)、该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？

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七、解答题

22. 已知 $f (x) = \frac{x + a}{x^{2} + b x + 1}$ 是定义在 $[- 1 ， 1]$ 上的奇函数．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、判断并证明 $f (x)$ 的单调性；

(3)、解不等式： $f (x) - f (1 - x) < 0$

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