广东省阳江市2023-2024学年高一上学期数学期中试卷

试卷更新日期：2023-11-09 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {0 ， 1 ， 2} ， B = {x | x - 2 < 0}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${0 ， 2}$ B、 ${0 ， 1}$ C、 ${1 ， 2}$ D、 ${0 ， 1 ， 2}$

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2. 设 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ 为实数，且 $a > b > 0 > c > d$ ，则下列不等式正确的是（）

A、 $a^{2} < c d$ B、 $a - c < b - d$ C、 $a c > b d$ D、 $\frac{c}{a} - \frac{d}{b} > 0$

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3. 当 $x > 0$ ， $y > 0$ ，且满足 $\frac{1}{x} + \frac{2}{y} = 2$ 时，有 $2 x + y > k^{2} + k + 2$ 恒成立，则k的取值范围为（）

A、 $(- 2 ， 1)$ B、 $[- 2 ， 1]$ C、 $(- 1 ， 2)$ D、 $[- 1 ， 2]$

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4. 已知 $a > 1$ ， $b > \frac{1}{2}$ ，且 $2 a + b = 4$ ，则 $\frac{1}{a - 1} + \frac{1}{2 b - 1}$ 的最小值是（）

A、1 B、 $\frac{4}{3}$ C、2 D、3

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5. 下列不等式中，解集为R的是（）

A、 $\frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 2} < 1$ B、 $- x^{2} + 4 x - 3 < 0$ C、 $x^{2} + 6 x > 9$ D、 $x^{2} - 4 \sqrt{2} x + 6 \geq 0$

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6. 函数 $f (x) = \sqrt{x + 3} + \frac{1}{1 - x}$ 的定义域为（）

A、 $[- 3 ， + ∞)$ B、 $(- 3 ， 1) \cup (1 ， + \infty)$ C、 $(- 3 ， + \infty)$ D、 $[- 3 ， 1) ∪ (1 ， + \infty)$

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7. 函数 $f (2 x + 1) = x^{2} - 3 x + 1$ ，则 $f (3) =$ （）

A、 $- 1$ B、1 C、 $- 2$ D、2

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8. 已知幂函数 $f (x)$ 的图象过点 $(2 ， \frac{\sqrt{2}}{2})$ ，则 $f (8) =$ （）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ D、 $\sqrt{2}$

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二、多选题

9. 设 $A = {x | x^{2} - 8 x + 15 = 0}$ ， $B = {x | a x - 1 = 0}$ ，若 $A \cap B = B$ ，则实数a的值可以为（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、0 C、3 D、 $\frac{1}{3}$

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10. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $a + b = 1$ ，则（）

A、 $2 a^{2} + b \geq \frac{7}{8}$ B、 $\frac{4}{a + 2} + \frac{1}{b + 1} \geq \frac{9}{4}$ C、 $\frac{a b}{a + 2 b} \leq 3 - 2 \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{a} + \sqrt{b + 1} \leq 2$

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11. 若 $a$ ， $b$ 均为正数，且 $a + 2 b = 1$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $a b$ 的最大值为 $\frac{1}{9}$ B、 $\frac{1}{a} + \frac{2}{b}$ 的最小值为9 C、 $a^{2} + 4 b^{2}$ 的最小值为 $\frac{1}{2}$ D、 $(a + 2) (2 b + 1)$ 的最小值为4

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12. 函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，已知 $f (x + 1)$ 是奇函数， $f (2 + x) = f (2 - x)$ ，当 $x \in [1 ， 2]$ 时， $f (x) = a x^{2} + 2$ ，则下列各选项正确的是（）

A、 $f (x + 4) = f (x)$ B、 $f (x)$ 在 $[0 ， 1]$ 单调递增 C、 $f (1) = 0$ D、 $f (\frac{13}{3}) = \frac{5}{3}$

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三、填空题

13. 已知集合 $A = {x ， x^{2}}$ ，集合 $B = (- \infty ， 3]$ ，若 $A \cap B = {2}$ ，则 $x =$ .

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14. 若“ $x = 1$ ”是“ $x > a$ ”的充分条件，则实数 $a$ 的取值范围为．

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15. 已知 $4 x^{2} + y^{2} - 3 x y - 1 = 0$ ，则 $x y$ 的最大值为．

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16. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x - \frac{4}{x} ， x < 0 ， \\ \frac{2 x}{x + 3} ， x \geq 0 ， \end{array}$ 则 $f (f (- 1)) =$ .

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四、解答题

17. 已知全集U=R，集合 $A = {x | 0 \leq x \leq 6}$ ， $B = {x | 2 m - 1 < x < m + 1}$ .

(1)、当 $m = - 1$ 时，求 $∁_{U} (A ∪ B)$ ；

(2)、若 $B ⊆ A$ ，求实数m的取值范围.

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18. 已知函数 $f (x) = m x^{2} - m x - 1$ .

(1)、若 $m \leq 0$ ，试讨论不等式 $f (x) > 1 - 2 x$ 的解集；

(2)、若对于任意 $x \in [1 ， 3]$ ， $f (x) < - m + 4$ 恒成立，求参数 $m$ 的取值范围.

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19. 已知二次函数 $f (x) = a x^{2} + b x + c$ .

(1)、若 $f (x) > 0$ 的解集为 ${x | - 3 < x < 4}$ ，解关于 $x$ 的不等武 $b x^{2} + 2 a x - (c + 3 b) < 0$ ；

(2)、若不等式 $f (x) \geq 2 a x + b$ 对 $x \in R$ 恒成立，求 $\frac{b^{2}}{a^{2} + c^{2}}$ 的最大值.

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20. 已知 $f (x) = - 3 x^{2} + a (6 - a) x + 12$ .

(1)、若不等式 $f (x) > b$ 的解集为 $(0 ， 3)$ ，求实数 $a$ 、 $b$ 的值；

(2)、若 $a = 3$ 时，对于任意的实数 $x \in [- 1 ， 1]$ ，都有 $f (x) \geq - 3 x^{2} + (m + 9) x + 10$ ，求 $m$ 的取值范围.

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21. 港珠澳大桥通车后，经常往来于珠港澳三地的刘先生采用自驾出行.某次出行，刘先生全程需要加两次油，由于燃油的价格有升也有降，现刘先生有两种加油方案，第一种方案：每次均加30升的燃油；第二种方案，每次加200元的燃油.

(1)、若第一次加油时燃油的价格为5元/升，第二次加油时燃油的价格为4元/升，请计算出每种加油方案的平均价格（平均价格 $=$ 总价格 $/$ 总升数）；

(2)、分别用m ， n（ $m \neq n$ ）表示刘先生先后两次加油时燃油的价格，请计算出每种加油方案的平均价格，选择哪种加油方案比较经济划算？并给出证明.

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22. 设 $a > 0$ ， $b > 0$ ，函数 $f (x) = a - 2 b + 2 b x - a x^{2}$ .

(1)、求关于 $x$ 的不等式 $f (x) > 0$ 解集；

(2)、若 $f (x)$ 在 $[0 ， 2]$ 上的最小值为 $a - 2 b$ ，求 $\frac{b}{a}$ 的取值范围.

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