云南省昆明市嵩明县2024届高三上学期数学期中试卷

试卷更新日期：2023-11-09 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = (x | - 1 < x < 2}$ ， $B = {x | x > 1}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 ${x | - 1 < x < 1}$ B、 ${x | 1 < x < 2}$ C、 ${x | x > - 1}$ D、 ${x | x > 1}$

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2. 已知复数 $z = \frac{5}{2 + i}$ ，则 $\bar{z} =$ （）

A、 $- 2 - i$ B、 $- 2 + i$ C、 $2 - i$ D、 $2 + i$

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3. （1+ $\frac{1}{x^{2}}$ ）（1+x）⁶展开式中x²的系数为（　　）

A、15 B、20 C、30 D、35

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4. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ，且满足 $\frac{S_{3}}{3} - \frac{S_{2}}{2} = 1$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的公差为（）.

A、1 B、2 C、4 D、3

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5. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ 的左焦点是 $F_{1}$ ，过 $F_{1}$ 的直线l： $y = x + m$ 与圆： $x^{2} + y^{2} = 4$ 交于A ， B两点，则 $| A B |$ 的长为（）

A、 $\sqrt{14}$ B、 $\sqrt{7}$ C、2 D、 $\frac{\sqrt{14}}{2}$

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6. 已知 $s i n \frac{α}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}$ ，则 $c o s (α - π) =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、. $\frac{5}{8}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $- \frac{5}{8}$

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7. 若函数 $f (x) = x + t s i n x$ 在 $(0 ， \frac{π}{3})$ 上单调递增，则实数t的取值范围是（）

A、 $[- 1 ， + \infty)$ B、 $(- 1 ， + \infty)$ C、 $(- 2 ， + \infty)$ D、 $[- 2 ， + \infty)$

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8. $△ A B C$ 中， $A B = 3$ ， $B C = 4$ ， $A C = 5$ ， PQ为 $△ A B C$ 内切圆的一条直径，M为 $△ A B C$ 边上的动点，则 $\vec{M P} \cdot \vec{M Q}$ 的取值范围为（）

A、 $[0 ， 4]$ B、 $[1 ， 4]$ C、 $[0 ， 9]$ D、 $[1 ， 9]$

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二、多选题

9. 甲乙两支足球队在上一赛季中分别参加了10场比赛，在这10场比赛中两队的进球数如下表，设两支足球队在10场比赛中进球数的平均数为

\bar{x_{1}} ， \bar{x_{2}}

，标准差为

s_{1} ，

s_{2}

，则下列说法正确的是（）

场次

球队

甲

乙

A、

\bar{x_{1}} \neq \bar{x_{2}}

B、

\bar{x_{1}} = \bar{x_{2}}

C、

s_{1} > s_{2}

D、

s_{1} < s_{2}

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10. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，经过点 $F$ 且斜率为 $\sqrt{3}$ 的直线 $l$ 与抛物线 $C$ 交于点 $A ， B$ 两点（点 $A$ 在第一象限），若 $| A F | = 8$ ，则以下结论正确的是（）

A、 $p = 2$ B、 $| A F | = 3 | B F |$ C、 $\frac{1}{| A F |} + \frac{1}{| B F |} = \frac{1}{2}$ D、 $S_{△ A O B} = \frac{32 \sqrt{3}}{3}$

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11. 已知定义在R上的函数 $y = f (x)$ 满足 $f (x - \frac{3}{2}) = - f (x)$ ，且 $f (x + \frac{3}{4})$ 为奇函数， $f (- 1) = - 1$ ， $f (0) = 2$ .下列说法正确的是（）

A、3是函数 $y = f (x)$ 的一个周期 B、函数 $y = f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{3}{4}$ 对称 C、函数 $y = f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{3}{4} ， 0)$ 对称 D、 $f (1) + f (2) + f (3) + ⋯ + f (2023) = 2$

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12. 直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B ⊥ A C$ ， $A B = A C = A A_{1} = 1$ ，点D是线段 $B C_{1}$ 上的动点（不含端点），则以下正确的有（）

A、 $A C / /$ 平面 $A_{1} B D$ B、三棱锥 $A_{1} - A B C$ 的外接球的表面积为 $12 π$ C、 $A D + D C$ 的最小值为 $\sqrt{3}$ D、 $∠ A D C$ 一定是锐角

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三、填空题

13. 曲线 $f (x) = x e^{x} - 3 x + 1$ 在 $(0 ， 1)$ 点处的切线方程是

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14. 在 $△ A B C$ 中，若 $s i n C = 3 s i n A$ ， $b^{2} = 2 a c$ ，则 $c o s B =$

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15. 杭州亚运会举办在即，主办方开始对志愿者进行分配 $.$ 已知射箭场馆共需要 $6$ 名志愿者，其中 $3$ 名会说韩语， $3$ 名会说日语 $.$ 目前可供选择的志愿者中有 $4$ 人只会韩语， $5$ 人只会日语，另外还有 $1$ 人既会韩语又会日语，则不同的选人方案共有种 $. ($ 用数字作答 $)$

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16. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点为 $F$ ，过点 $F$ 作倾斜角为 $\frac{π}{4}$ 的直线交椭圆 $C$ 于 $A$ ， $B$ 两点，弦 $A B$ 的垂直平分线交 $x$ 轴于点 $P$ ，若 $\frac{| P F |}{| A B |} = \frac{1}{4}$ ，则椭圆 $C$ 的离心率 $e =$ ．

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四、解答题

17. 已知 $△ A B C$ 的角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ，且 $c (s i n C - \sqrt{3} s i n B) = (a - b) (s i n A + s i n B)$ ．

(1)、求A；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ， $s i n B = 1 + c o s C$ ，点 $D$ 为边 $B C$ 的中点，求 $A D$ 的长．

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 3$ ， $S_{n} = 2 + a_{n + 1} (n ∈ N^{*})$ ．

(1)、证明：数列 ${S_{n} - 2}$ 为等比数列；

(2)、设 $b_{n} = \frac{a_{n + 2}}{(a_{n + 1} + 1) (2 S_{n} - 3)}$ ，记数列 ${b_{n}}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，证明： $T_{n} < 1$ ．

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19. 如图，四边形 $A B C D$ 是正方形， $D G ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A E ∥ D G ∥ C F$ ， $A E = C F = \frac{1}{2} D G = 1$ .

(1)、证明： $B G ⊥ A C$ ；

(2)、若点 $D$ 到平面 $B E G F$ 的距离为 $\sqrt{2}$ ，求平面 $B E G F$ 与平面 $A D G E$ 所成角的大小.

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20. 数轴上的一个质点Q从原点出发，每次随机向左或向右移动1个单位长度，其中向左移动的概率为 $\frac{1}{3}$ ，向右移动概率为 $\frac{2}{3}$ ，记点Q移动n次后所在的位置对应的实数为 $X_{n}$ ．

(1)、求 $X_{4}$ 的分布列和期望；

(2)、当 $n = 10$ 时，点Q在哪一个位置的可能性最大，并说明理由．

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21. 已知动点P到定点 $F (0 ， 4)$ 的距离和它到直线 $y = 1$ 距离之比为2；

(1)、求点P的轨迹C的方程；

(2)、直线l在x轴上方与x轴平行，交曲线C于A ， B两点，直线l交y轴于点D.设OD的中点为M ，是否存在定直线l ，使得经过M的直线与C交于P ， Q ，与线段AB交于点N ， $\vec{P M} = λ \vec{P N}$ ， $\vec{M Q} = λ \vec{Q N}$ 均成立；若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由.

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22. 已知 $f (x) = a l n x - x^{2} - e^{2}$ （其中e为自然对数的底数， $a \in R$ ）

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若存在实数 $x > 0$ ，使 $f (x) > 0$ 能成立，求正数a的取值范围．

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