广东省深圳市名校2023-2024学年高二上学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2023-11-09 类型：期中考试

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一、单选题

1. 在空间直角坐标系 $O x y z$ 中，点B与点 $A (- 3 ， 6 ， 1)$ 关于平面 $O x y$ 对称，则B的坐标为（）

A、 $(3 ， 6 ， 1)$ B、 $(- 3 ， - 6 ， 1)$ C、 $(- 3 ， 6 ， - 1)$ D、 $(- 3 ， - 6 ， - 1)$

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2. 已知向量 $\vec{a} = (- 1 ， 1 ， 2) ， \vec{b} = (- 2 ， 0 ， - 1)$ ，则 $2 \vec{a} - \vec{b} =$ （）

A、 $(- 4 ， 2 ， 3)$ B、 $(4 ， - 2 ， - 3)$ C、 $(0 ， - 2 ， - 5)$ D、 $(0 ， 2 ， 5)$

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3. 经过 $A (0 ， \sqrt{3}) ， B (3 ， 0)$ 两点的直线的倾斜角为（）

A、 $\frac{5 π}{6}$ B、 $\frac{π}{6}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{π}{3}$

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4. 在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $\vec{A B} + \vec{A_{1} D_{1}} + \vec{C C_{1}} =$ （）

A、 $\vec{A C_{1}}$ B、 $\vec{C_{1} A}$ C、 $\vec{A D_{1}}$ D、 $\vec{D_{1} A}$

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5. 若直线 $l$ 的斜率大于1，则 $l$ 的倾斜角的取值范围为（）

A、 $(\frac{π}{4} ， + \infty)$ B、 $(\frac{π}{4} ， \frac{π}{2})$ C、 $(\frac{π}{4} ， \frac{π}{2}]$ D、 $(\frac{π}{4} ， π)$

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6. 在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B ⊥ A C ， \vec{B_{1} D} = 3 \vec{D C_{1}}$ ，则向量 $\vec{A D}$ 在向量 $\vec{A B}$ 上的投影向量为（）

A、 $\frac{2}{3} \vec{A B}$ B、 $\frac{1}{3} \vec{A B}$ C、 $\frac{3}{4} \vec{A B}$ D、 $\frac{1}{4} \vec{A B}$

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7. 已知直线 $l_{1}$ 的倾斜角是直线 $l_{2}$ 的倾斜角的2倍，且 $l_{1}$ 的斜率为 $- \frac{3}{4}$ ，则 $l_{2}$ 的斜率为（）

A、3或 $- \frac{1}{3}$ B、3 C、 $\frac{1}{3}$ 或 $- 3$ D、 $\frac{1}{3}$

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8. 在三棱锥 $A - B C D$ 中， $A B = A C = A D = 6 ， A B ， A C ， A D$ 两两垂直， $E$ 为 $A B$ 的中点， $F$ 为 $A D$ 上更靠近点 $D$ 的三等分点， $O$ 为 $△ B C D$ 的重心，则 $O$ 到直线 $E F$ 的距离为（）

A、2 B、1 C、 $\frac{2 \sqrt{26}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{26}}{5}$

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二、多选题

9. 已知直线 $l$ 的倾斜角为 $\frac{2 π}{3}$ ，则 $l$ 的方向向量可能为（）

A、 $(1 ， - \sqrt{3})$ B、 $(\sqrt{3} ， - 1)$ C、 $(- 2 ， 2 \sqrt{3})$ D、 $(2 \sqrt{3} ， - 2)$

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10. 已知 ${\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}}$ 是空间的一个基底，则可以与向量 $\vec{a} + \vec{c} ， \vec{b} - \vec{c}$ 构成空间的一个基底的向量是（）

A、 $\vec{a} + \vec{b}$ B、 $\vec{a}$ C、 $2 \vec{a} + 2 \vec{b} + \vec{c}$ D、 $\vec{a} - \vec{b} + 2 \vec{c}$

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11. 如图，在圆台 $O O^{'}$ 中， $A B ， A^{^{'}} B^{^{'}}$ 分别为圆 $O ， O^{'}$ 的直径， $A B ∥ A^{'} B^{'} ， A B = 3 A^{'} B^{'} = 12$ ，圆台 $O O^{'}$ 的体积为 $\frac{104 π}{3} ， C$ 为内侧 $\overset{⌢}{A^{^{'}} B^{^{'}}}$ 上更靠近 $B^{'}$ 的三等分点，以 $O$ 为坐标原点，下底面垂直于 $A B$ 的直线为 $x$ 轴， $O B ， O O^{'}$ 所在的直线分别为 $y ， z$ 轴，建立空间直角坐标系，则（）

A、 $O^{'}$ 的坐标为 $(0 ， 0 ， 2)$ B、 $\vec{A C} = (- \sqrt{3} ， 7 ， 2)$ C、平面 $A B C$ 的一个法向量为 $(2 ， 1 ， \sqrt{3})$ D、 $O^{'}$ 到平面 $A B C$ 的距离为 $\frac{2 \sqrt{21}}{7}$

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12. 在正四面体 $A B C D$ 中， $M ， N$ 分别是 $A D ， B C$ 的中点， $A B = 2 \sqrt{6}$ ，则（）

A、 $\vec{M N} \cdot \vec{A B} = 24$ B、 $\vec{M N} \cdot \vec{A B} = 12$ C、 $⟨ \vec{B M} ， \vec{C D} ⟩ > \frac{π}{3}$ D、异面直线 $M N$ 与 $B D$ 所成的角为 $\frac{π}{3}$

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三、填空题

13. 已知 $\vec{a} = (0 ， 1 ， m) ， \vec{b} = (0 ， n ， - 3)$ 分别是平面 $α ， β$ 的法向量，且 $α / / β$ ，则 $m n =$ .

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14. 已知点 $A (1 ， 2) ， B (2 ， 3)$ ，点 $C$ 在 $x$ 轴上， $△ A B C$ 为直角三角形，请写出 $C$ 的一个坐标：．

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15. 在空间直角坐标系中，向量 $\vec{a} = (s i n α ， - c o s α ， 1) ， \vec{b} = (2 c o s θ ， 1 ， 2 s i n θ)$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 的最大值为．

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16. 在三棱锥 $P - A B C$ 中，底面 $A B C$ 为正三角形， $P A ⊥$ 平面 $A B C$ ， $P A = A B$ ， G为 $△ P A C$ 的外心，D为直线 $B C$ 上的一动点，设直线 $A D$ 与 $B G$ 所成的角为 $θ$ ，则 $θ$ 的取值范围为．

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四、解答题

17. 已知直线 $l_{1}$ 经过 $A (m ， 3) ， B (1 ， m)$ 两点， $l_{2}$ 经过 $P (2 ， 1) ， Q (4 ， 2)$ 两点．

(1)、若 $l_{1} / / l_{2}$ ，求 $m$ 的值；

(2)、若 $l_{1} ， l_{2}$ 的倾斜角互余，求 $m$ 的值．

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18. 在空间直角坐标系中，平行四边形 $A B C D$ 的三个顶点为 $A (0 ， - 1 ， 1) ， B (0 ， 1 ， 2) ， C (3 ， 1 ， 3)$ ．

(1)、求 $D$ 的坐标；

(2)、求四边形 $A B C D$ 的面积．

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为1的正方形， $P C ⊥$ 底面 $A B C D$ ，且 $P C = 1$ ．

(1)、证明： $B D ⊥ P A$ ．

(2)、若 $\vec{P B} = 3 \vec{P E}$ ，求二面角 $P - A C - E$ 的余弦值．

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20. 《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 平面 $P B C$ ， $B C ⊥$ 平面 $P A B$ ， $D$ 为 $P C$ 的中点， $\vec{B E} = 2 \vec{E A}$ ．

(1)、设 $\vec{P A} = \vec{a}$ ， $\vec{P B} = \vec{b}$ ， $\vec{B C} = \vec{c}$ ，用 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 表示 $\vec{D E}$ ；

(2)、若 $| \vec{P A} | = | \vec{P B} | = | \vec{B C} | = 1$ 求 $\vec{A C} \cdot \vec{D E}$ ．

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21. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 2 ， E ， F ， G$ 分别是 $A A_{1} ， B C ， C_{1} D_{1}$ 的中点

(1)、证明： $B_{1} D ⊥$ 平面 $E F G$ .

(2)、在直线 $D B$ 上是否存在点 $P$ ，使得 $B_{1} P$ $∥$ 平面 $E F G$ ？若存在，请指出 $P$ 的位置；若不存在.请说明理由.

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22. 如图， $A ， B ， C$ 为圆柱底面圆周上三个不同的点， $A A_{1} ， B B_{1} ， C C_{1}$ 分别为半圆柱的三条母线，且 $C$ 是 $\overset{⌢}{A B}$ 的中点， $O ， E$ 分别为 $A B ， B B_{1}$ 的中点.

(1)、证明： $A_{1} C_{1}$ $∥$ 平面 $A C E$ .

(2)、若 $A A_{1} = 4 A B = 8 ， F$ 是 $\overset{⌢}{A_{1} B_{1}}$ 上的动点（含弧的端点），求 $O F$ 与平面 $A C E$ 所成角的正弦值的最大值.

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