浙江省浙南名校联盟2023-2024学年高二上学期数学10月联考试卷

试卷更新日期：2023-11-09 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 若集合 $A = {x | x^{2} - 2 x + 3 > 0}$ ， $B = {1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6}$ ，则 $A \cap B$ =（）

A、 $\emptyset$ B、 ${1 ， 2 ， 3}$ C、 ${4 ， 5 ， 6}$ D、 ${1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6}$

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2. 若直线 $y = a x + c$ 经过第一、二、三象限，则有（）

A、 $a > 0 ， c > 0$ B、 $a > 0 ， c < 0$ C、 $a < 0 ， c > 0$ D、 $a < 0 ， c < 0$

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3. 已知直线 $x + 2 y - 4 = 0$ 与直线 $2 x + 4 y + 7 = 0$ 平行，则它们之间的距离为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\sqrt{10}$ C、 $\frac{3 \sqrt{5}}{2}$ D、 $\frac{3 \sqrt{10}}{2}$

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4. 图，某四边形 $A B C D$ 的直观图是正方形 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ ，且 $A^{'} (1 ， 0) ， C^{'} (- 1 ， 0)$ ，则原四边形 $A B C D$ 的周长等于（）

A、2 B、 $2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{3}$ C、4 D、 $4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{3}$

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5. 在三棱锥 $P - A B C$ 中，PA、AB、AC两两垂直， $A P = 3$ ， $B C = 4$ ，则三棱锥外接球的表面积为（）

A、 $12 π$ B、 $20 π$ C、 $25 π$ D、 $36 π$

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6. 已知圆C： $x^{2} + y^{2} + 2 x - 2 y = 0$ ，直线l的横纵截距相等且与圆C相切﹐则满足条件的直线l有（）条.

A、1 B、2 C、3 D、4

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7. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，点 $A$ ， $B$ 是长轴的两个端点，若椭圆上存在点 $P$ ，使得 $∠ A P B = 120 °$ ，则该椭圆的离心率的取值范围是（）

A、 $[\frac{\sqrt{6}}{3} ， 1)$ B、 $[\frac{\sqrt{3}}{2} ， 1)$ C、 $(0 ， \frac{\sqrt{2}}{2}]$ D、 $(0 ， \frac{3}{4}]$

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8. 已知 $A (- 3 ， 0) ， B (0 ， 3)$ ，从点 $P (0 ， 2)$ 射出的光线经x轴反射到直线 $A B$ 上，又经过直线 $A B$ 反射到 $P$ 点，则光线所经过的路程为（）

A、 $2 \sqrt{10}$ B、6 C、 $\sqrt{26}$ D、 $2 \sqrt{6}$

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二、多选题

9. 已知 $a$ ， $b$ 为空间中不同的两条直线， $α$ ， $β$ 为空间中不同的两个平面，下列命题错误的是（）

A、若 $a / / b$ ， $b \subset α$ ，则 $a / / α$ B、若 $α / / β$ ， $a \subset α$ ， $b \subset β$ ，则 $a / / b$ C、若 $a \subset α$ ， $b \subset β$ ，则 $a$ 和 $b$ 为异面直线 D、若 $a / / α$ ， $a / / β$ ，且 $α ∩ β = b$ ，则 $a / / b$

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10. 有一组样本数据 $x_{1} ， x_{2} ， \cdot \cdot \cdot ， x_{8}$ ，其中 $x_{1}$ 是最小值， $x_{8}$ 是最大值，则（）

A、 $x_{2} ， x_{3} ， x_{4} ， x_{5} ， x_{6} ， x_{7}$ 的平均数等于 $x_{1} ， x_{2} ， \cdot \cdot \cdot ， x_{8}$ 的平均数 B、 $x_{2} ， x_{3} ， x_{4} ， x_{5} ， x_{6} ， x_{7}$ 的中位数等于 $x_{1} ， x_{2} ， \cdot \cdot \cdot ， x_{8}$ 的中位数 C、 $x_{2} ， x_{3} ， x_{4} ， x_{5} ， x_{6} ， x_{7}$ 的标准差不小于 $x_{1} ， x_{2} ， \cdot \cdot \cdot ， x_{8}$ 的标准差 D、 $x_{2} ， x_{3} ， x_{4} ， x_{5} ， x_{6} ， x_{7}$ 的极差不大于 $x_{1} ， x_{2} ， \cdot \cdot \cdot ， x_{8}$ 的极差

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11. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A A_{1} = 2$ ，点 $M$ ， $N$ 分别在棱 $A B$ 和 $B B_{1}$ 上运动（不含端点），若 $D_{1} M ⊥ M N$ ，则下列命题正确的是（）

A、 $M N ⊥ A_{1} M$ B、 $M N ⊥$ 平面 $D_{1} M C$ C、线段 $B N$ 长度的最大值为1 D、三棱锥 $D_{1} - A_{1} C_{1} M$ 体积不变

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12. 已知直线l₁： $(s i n α) x - (c o s α) y + 1 = 0$ ， l₂： $(s i n α) x + (c o s α) y + 1 = 0$ ， l₃： $(c o s α) x - (s i n α) y + 1 = 0$ ， l₄： $(c o s α) x + (s i n α) y + 1 = 0$ .则（）

A、存在实数α ，使l₁ $∥$ l₂ ， B、存在实数α ，使l₂ $∥$ l₃； C、对任意实数α ，都有l₁⊥l₄ D、存在点到四条直线距离相等

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三、填空题

13. 复数 $z = \frac{2}{- 1 + i}$ ，则z的实部为.

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14. 已知点 $P$ 是圆 $C$ ： $(x - 2)^{2} + y^{2} = 64$ 上动点， $A (- 2 ， 0)$ .若线段 $P A$ 的中垂线交 $C P$ 于点 $N$ ，则点 $N$ 的轨迹方程为.

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15. 已知圆 $C_{1} ： x^{2} + y^{2} - 2 x - 2 y = 0$ ，圆 $C_{2} ： x^{2} + y^{2} - m x - n y = 0$ ，若圆 $C_{2}$ 平分圆 $C_{1}$ 的周长，则 $m + n =$ .

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四、双空题

16. 如图，正四面体 $A B C D$ 的体积为 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ ， E、F、G、H分别是棱AD、BD、BC、AC的中点，则 $A B =$ ，多面体 $A B - E F G H$ 体积为.

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五、解答题

17. 平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为2的正方形，侧棱 $A A_{1} = 4$ ，且 $∠ A_{1} A D = ∠ A_{1} A B = 60 °$ ， $M$ 为 $B D$ 中点， $P$ 为 $B B_{1}$ 中点，设 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ ， $\vec{A A_{1}} = \vec{c}$ .

(1)、用向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 表示向量 $\vec{P M}$ ；

(2)、求线段 $P M$ 的长度．

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六、证明题

18. 已知 $△ A B C$ 的三边长互不相等，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，其中 $c = 1$ ， $a c o s A = b c o s B$ .

(1)、求证 $△ A B C$ 是直角三角形；

(2)、求 $a + b$ 的取值范围.

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七、解答题

19. 已知 $A (3 ， 1) ， B (- 1 ， 2)$ ， $∠ A C B$ 的平分线方程为 $y = x + 1$ .

(1)、求 $A B$ 所在直线方程；

(2)、求 $A C$ 所在直线方程.

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20. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的左､右焦点分别为 $F_{1} (- 1 ， 0)$ ， $F_{2} (1 ， 0)$ ，离心率 $e = \frac{1}{2}$ ，过 $F_{2}$ 的直线l交椭圆C于A ， B两点. $△ A B F_{1}$ 的内切圆的半径为 $\frac{3 \sqrt{2}}{7}$ .

(1)、求椭圆的方程；

(2)、求直线l的方程.

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21. 如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $A B ⊥ B C$ ， $A B = 2$ ， $B C = 2 \sqrt{2}$ ， $P B = P C = \sqrt{6}$ ， BP ， AP ， BC的中点分别为D ， E ， O ， $A D = \sqrt{5} D O$ ，点F在AC上， $B F ⊥ A O$ ．

(1)、证明： $E F / /$ 平面 $B C P$ ；

(2)、求平面 $A D O$ 与平面 $A C O$ 夹角的余弦值．

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22. 如图所示，在平面直角坐标系中，椭圆 $Γ$ ： $\frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，设 $P$ 是第一象限内 $Γ$ 上一点， $P F_{1}$ ， $P F_{2}$ 的延长线分别交 $Γ$ 于点 $Q_{1}$ ， $Q_{2}$ .

(1)、求 $△ P F_{1} Q_{2}$ 的周长；

(2)、设 $r_{1}$ ， $r_{2}$ 分别为 $△ P F_{1} Q_{2}$ ， $△ P F_{2} Q_{1}$ 的内切圆半径，求 $r_{1} - r_{2}$ 的最大值.

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