备考2024年浙江中考数学一轮复习专题7.1二次根式基础夯实

试卷更新日期：2023-11-07 类型：一轮复习

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一、选择题（每题3分，共30分）

1. 若x为任意实数，下列各式一定是二次根式的是（）

A、 $\sqrt{x^{2} - 3}$ B、 $\sqrt{\frac{2}{{(x + 1)}^{2}}}$ C、 $\sqrt{x^{2} + 1}$ D、 $\sqrt{x^{2} + 2 x}$

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2. 要使二次根式 $\sqrt{3 - x}$ 有意义，则x的取值范围是（）

A、x≤3 B、x<3 C、x>3 D、x≥3

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3. 若 $\sqrt{(x - 2)^{2}} = 2 - x$ 成立，则 $x$ 的取值范围是（）

A、 $x \leq 2$ B、 $x \geq 2$ C、 $0 \leq x \leq 2$ D、任意实数

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4. 下列计算正确的是（）

A、 $\sqrt{6} + \sqrt{3} = 3$ B、 $\sqrt{6} - \sqrt{3} = \sqrt{3}$ C、 $\sqrt{6} \times \sqrt{3} = 3 \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{6} \div \sqrt{3} = 2$

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5. 下列二次根式中，最简二次根式的是（）

A、 $\sqrt{\frac{1}{5}}$ B、 $\sqrt{0.5}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $\sqrt{50}$

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6. 下列各式中，能与 $\sqrt{2}$ 合并的是（）

A、 $2 \sqrt{5}$ B、 $\sqrt{7}$ C、 $3 \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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7. $\sqrt{2}$ 的倒数是（）

A、 $- \sqrt{2}$ B、 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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8. 已知x= $\sqrt{2022} + \sqrt{2023}$ ，则x²-2 $\sqrt{2023}$ x +2022的值为（）

A、1 B、2021 C、2022 D、2023

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9. 定义运算“★”：对于任意实数a，b，都有 $a$ ★ $b$ = $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ ．若 $\sqrt{x + 2} + y^{2} - 4 y + 4 = 0$ ，则 $x$ ★ $y$ 的值为（）

A、0 B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{5}$ D、5

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10. 高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为.据研究，高空抛出的物体下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足 $t = \sqrt{\frac{h}{5}}$ （不考虑风速的影响）.从20m，40m高空抛物到落地所需时间分别为 $t_{1}$ ， $t_{2}$ ，则 $t_{2}$ 是 $t_{1}$ 的（）

A、2倍 B、 $\sqrt{2}$ 倍 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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二、填空题（每题3分，共18分）

11. 要使二次根式 $\sqrt{x - 2023}$ 在实数范围内有意义，则x的取值范围是．

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12. 计算： $\sqrt{{(2 - \sqrt{3})}^{2}} + \sqrt{3} =$ ．

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13. 把 $\sqrt{\frac{3}{4}}$ 化为最简二次根式，结果是．

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14. 用一个x的值来说明“ $\sqrt{x^{2}} = x$ ”是错误的，则x的值可以是．

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15. 若点 $P (a ， 2)$ 与 $Q (- 1 ， b)$ 关于原点对称，则 $\sqrt{2 a - 3 b} \div \sqrt{- \frac{a}{3 b}} =$ ．

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16. 若关于a，b，c的方程 $\sqrt{a - b + 2} + {(2 a + b - c)}^{2} = 0$ ，求4a-b-c的值为．

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三、计算题（共4题，共24分）

17. 计算

(1)、 $\sqrt{{(- 4)}^{2}} - {(\sqrt{5})}^{2}$

(2)、 $(\sqrt{6} - \sqrt{3}) \times \sqrt{12}$

(3)、 $\frac{1}{1 + \sqrt{3}} + \sqrt{\frac{4}{3}}$

(4)、已知 $m = \sqrt{5} + 2$ ， $n = \sqrt{5} - 2$ ，求 $m^{2} - m n + n^{2}$ 的值．

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18. 计算：

(1)、 $\sqrt{27} + 3 \sqrt{\frac{1}{3}} - \sqrt{24} \times \sqrt{2}$

(2)、 $(\sqrt{5} - 2) (2 + \sqrt{5}) - {(\sqrt{3} - 1)}^{2}$

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19. 下面是小华同学解答题目的过程：
$\sqrt{\frac{9}{2}} - \sqrt{12} \times (\sqrt{24} + 3 \sqrt{\frac{2}{3}})$

$= \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{2}} - \sqrt{12} \times (\sqrt{24} + 3 \sqrt{\frac{2}{3}}) \dots \dots$ 第一步．

$= \frac{3 \sqrt{2}}{2} - 2 \sqrt{3} \times 2 \sqrt{6} + 2 \sqrt{3} \times 3 \sqrt{\frac{2}{3}} \dots \dots$ 第二步．

$= \frac{3 \sqrt{2}}{2} - 12 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} \dots \dots$ 第三步．

$= \frac{9 \sqrt{2}}{2} \dots \dots$ 第四步．

小华的解题过程是否有错误？如果有，请写出正确解答过程．

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20. 若有理数x、y、z满足 $\sqrt{x} + \sqrt{y - 1} + \sqrt{z - 2} = \frac{1}{2} (x + y + z)$ ，求 ${(x - y z)}^{3}$ 的值.

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四、解答题（共5题，共48分）

21. 已知 $x = 2 - \sqrt{3}$ ， $y = 2 + \sqrt{3}$ ．

(1)、求 $x^{2} + y^{2} - x y$ 的值；

(2)、若 $x$ 的小数部分是 $a$ ， $y$ 的整数部分是 $b$ ，求 $a x - b y$ 的值．

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22. 观察下列各式：
$\sqrt{1 + \frac{1}{1^{2}} + \frac{1}{2^{2}}} = 1 + \frac{1}{1} - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$ ； $\sqrt{1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}}} = 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{7}{6}$ ； $\sqrt{1 + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{4^{2}}} = 1 + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{13}{12}$

(1)、请你根据上面三个等式提供的信息，猜想： $\sqrt{1 + \frac{1}{4^{2}} + \frac{1}{5^{2}}} =$ ；

(2)、请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n（n为正整）表示的等式，并验证；

(3)、利用上述规律计算 $\sqrt{\frac{50}{49} + \frac{1}{64}}$ ．

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23. 阅读材料：像 $(\sqrt{5} + 2) \times (\sqrt{5} - 2) = 1$ ， $\sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = a (a \geq 0)$ ， ……这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．数学课上，老师出了一道题“已知 $a = \frac{1}{\sqrt{2} - 1}$ ，求 $3 a^{2} - 6 a - 1$ 的值．”
聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答：

因为 $a = \frac{1}{\sqrt{2} - 1} = \frac{\sqrt{2} + 1}{(\sqrt{2} - 1) \times (\sqrt{2} + 1)} = \sqrt{2} + 1$

所以 $a - 1 = \sqrt{2}$

所以 ${(a - 1)}^{2} = 2$ ，所以 $a^{2} - 2 a + 1 = 2$

所以 $a^{2} - 2 a = 1$ ，所以 $3 a^{2} - 6 a = 3$ ，所以 $3 a^{2} - 6 a - 1 = 2$

请你根据上述材料和小明的解答过程，解决如下问题：

(1)、 $\sqrt{3} - \sqrt{2}$ 的有理化因式是， $\frac{1}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} =$ ；
$\sqrt{3} - 2$ 的有理化因式是， $\frac{1}{\sqrt{3} - 2} =$ ；

(2)、若 $a = \frac{2}{3 - \sqrt{7}}$ ，求 $- 2 a^{2} + 12 a + 3$ 的值．

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24. 阅读材料：小明在学习了二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如： $3 + 2 \sqrt{2} =$ ${(1 + \sqrt{2})}^{2}$ ，善于思考的小明进行了以下探索：
设 $a + b \sqrt{2} = {(m + n \sqrt{2})}^{2}$ (其中a，b，m，n均为正整数)，则有 $a + b \sqrt{2} = m^{2} + 2 n^{2} + 2 m n \sqrt{2}$

$∴ a = m^{2} + 2 n^{2} ， b = 2 m n$ .这样小明就找到了一种把部分形如 $a + b \sqrt{2}$ 的式子化为平方式的方法.请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：

(1)、当a，b，m，n均为正整数时，若 $a + b \sqrt{3} = {(m + n \sqrt{3})}^{2}$ ，用含m，n的式子分别表示a，b，得a= ， b=.

(2)、利用所探索的结论，找一组正整数a，b，m，n，填空：+ $\sqrt{3} = ($ + $\sqrt{3})^{2} .$

(3)、若 $a + 4 \sqrt{3} = {(m + n \sqrt{3})}^{2}$ ，且a，m，n均为正整数，求 $a$ 的值.

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25. 我们知道， $\sqrt{a}$ ≥0(a≥0)，所以当a≥0时， $\sqrt{a}$ 的最小值为0．根据这种结论，小明同学对二次根式 $\sqrt{x^{2} + 1}$ 和 $\sqrt{- x^{2} + 3}$ 进行了以下的探索：
∵x²≥0，∴x²+1≥1，∴ $\sqrt{x^{2} + 1}$ ≥ $\sqrt{1}$ =1，
∴当x=0时， $\sqrt{x^{2} + 1}$ 的最小值为1．
∵x²≥0，∴-x²≤0，∴-x²+3≤3，∴ $\sqrt{- x^{2} + 3}$ ≤v3，
∴当x=0时， $\sqrt{- x^{2} + 3}$ 的最大值为 $\sqrt{3}$ ．

(1)、求 $\sqrt{(x + 2)^{2} + 7}$ 的最小值和 $\sqrt{- 3 (x - 5)^{2} + 9}$ 的最大值；

(2)、求 $\sqrt{x^{2} - 4 x + 20}$ 的最小值；

(3)、我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记p= $\frac{a + b + c}{2}$ ，则其面积S= $\sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ ．这个公式也被称为海伦一秦九韶公式．若p=5，c=4，则此三角形面积的最大值为多少？

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一、选择题（每题3分，共30分）

二、填空题（每题3分，共18分）

三、计算题（共4题，共24分）

四、解答题（共5题，共48分）

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