备考2024年浙江中考数学一轮复习专题6.1分式基础夯实

试卷更新日期：2023-11-07 类型：一轮复习

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一、选择题（每题3分，共30分）

1. 下列说法正确的是（）

A、形如 $\frac{A}{B}$ 的式子叫分式 B、分式 $\frac{m^{2} - m + 1}{m - 1}$ 不是最简分式 C、分式 $\frac{2}{a^{2} b}$ 与 $\frac{1}{a b}$ 的最简公分母是 $a^{3} b^{2}$ D、当 $x \neq 3$ 时，分式 $\frac{x}{x - 3}$ 有意义

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2. 对于分式 $\frac{2 - x}{2 x - 6}$ 下列说法错误的是（）

A、当x=2时，分式的值为0 B、当x=3时，分式无意义 C、当x>2时，分式的值为正数 D、当x= $\frac{8}{3}$ 时，分式的值为1

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3. 将分式 $\frac{x^{2} + y^{2}}{x y}$ 中的 $x$ ， $y$ 都扩大2倍，则分式的值（）

A、不变 B、扩大2倍 C、扩大4倍 D、扩大6倍

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4. 下列分式约分正确的是（）

A、 $\frac{a^{2} + b^{2}}{a + b} = a + b$ B、 $\frac{3 x - y}{x - y} = 3$ C、 $\frac{x + a}{x + b} = \frac{a}{b}$ D、 $\frac{- x + y}{x - y} = - 1$

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5. 若a、b两数互为相反数，且 $b > a$ ，则以下结论① $\frac{a}{b} = - 1$ ；②ab是非正数；③ $\frac{a - 1}{b + 1}$ 是负数；④ $\frac{a + 66}{b + 66}$ 是正数；⑤ $(a + 66) (b + 66)$ 可以利用平方差公式计算.其中正确的是（）

A、③⑤ B、①③⑤ C、①②③④ D、①②③⑤

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6. 已知 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y + z} = \frac{1}{2}$ ， $\frac{1}{y} + \frac{1}{z + x} = \frac{1}{3}$ ， $\frac{1}{z} + \frac{1}{x + y} = \frac{1}{4}$ ，则 $\frac{2}{x} + \frac{3}{y} + \frac{4}{z}$ 的值为（）

A、1 B、 $\frac{3}{2}$ C、2 D、 $\frac{5}{2}$

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7. 下列运算正确的是（）

A、 $\frac{1}{2 a} + \frac{1}{a} = \frac{2}{3 a}$ B、 $\frac{3 b}{4 a} \cdot \frac{2 a}{9 b^{2}} = \frac{b}{6}$ C、 $\frac{1}{a - 1} - \frac{1}{a + 1} = \frac{2}{a^{2} - 1}$ D、 $\frac{1}{3 a b} \div \frac{2 b^{2}}{3 a} = \frac{b^{3}}{2}$

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8. 若 $\frac{2}{3 x^{2} + 4 x + 7}$ 的值为 $\frac{1}{4}$ ，则 $\frac{1}{6 x^{2} + 8 x - 1}$ 的值为（）

A、 $1$ B、 $- 1$ C、 $- \frac{1}{7}$ D、 $\frac{1}{5}$

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9. 若 $p = \frac{1}{n (n + 2)} + \frac{1}{(n + 2) (n + 4)} + \frac{1}{(n + 4) (n + 6)} + \frac{1}{(n + 6) (n + 8)} + \frac{1}{(n + 8) (n + 10)}$ ，则使p最接近 $\frac{1}{10}$ 的正整数n是（　）

A、4 B、5 C、6 D、7

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10. 若 $a$ ， $b$ 为实数且满足 $a \neq - 1$ ， $b \neq - 1$ ，设 $M = \frac{a}{a + 1} + \frac{b}{b + 1}$ ， $N = \frac{1}{a + 1} + \frac{1}{b + 1}$ ，有以下2个结论： $①$ 若 $a b = l$ ，则 $M = N$ ； $②$ 若 $a + b = 0$ ，则 $M N \leq 0 .$ 下列判断正确的是（）

A、①对②错 B、①错②对 C、①②都错 D、①②都对

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二、填空题（每题4分，共24分）

11. 代数式 $\frac{\sqrt{x + 1}}{x - 2}$ 有意义，则 $x$ 的取值范围是．

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12. 若分式 $\frac{| x | - 2}{x + 2}$ 的值为零，则x的值是．

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13. 计算： $\frac{a + 3 b}{a + b} + \frac{a - b}{a + b} =$ .

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14. 如图所示的解题过程中，第①步出现错误，但最后所求得的值与原题的正确结果一样．则图中被污染掉的 $x$ 的值是．

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15. 目前代表华为手机最强芯片的麒麟 $990$ 处理器采用 $7 n m$ 工艺制程， $1 n m = 0.0000001 c m .$ 则 $7 n m =$ $c m ($ 用科学记数法表示 $)$ ．

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16. 当 $x$ 分别取值 $\frac{1}{2020} ， \frac{1}{2019} ， \frac{1}{2018} ， \frac{1}{2017} ， ⋯ ， \frac{1}{2} ， 0 ， 1 ， 2 ， ⋯ ， 2017 ， 2018 ， 2019 ， 2020$ 时，计算代数式 $\frac{x^{2} - 1}{3 x^{2} + 3}$ 的值，将所得结果相加，其和等于．

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三、解答题（共8题，共66分）

17. 先化简，再求值， $\frac{a}{a + 1} - \frac{a^{2} - 6 a + 9}{a^{2} - 1} \div \frac{a - 3}{a - 1}$ ；其中a= $\sqrt{3} - 1$

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18. 已知 $x^{2} + 4 x + 1 = 0$ ，求下列代数式 $(x - 3 - \frac{7}{x + 3}) \div \frac{x - 4}{x^{2} + 3 x}$ 的值．

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19. 阅读以下内容，完成问题．

解： $1 - \frac{x - y}{x + 2 y} \div \frac{x^{2} - y^{2}}{x^{2} + 4 x y + 4 y^{2}}$

$= \frac{x + 2 y - (x - y)}{x + 2 y} \div \frac{(x + y) (x - y)}{(x + 2 y) (x + 2 y)}$ ①

$= \frac{y}{x + 2 y} \cdot \frac{(x + 2 y) (x + 2 y)}{(x + y) (x - y)}$ ②

$= \frac{y (x + 2 y)}{(x + y) (x - y)}$ ③

$= \frac{x y + 2 y^{2}}{x^{2} - y^{2}}$ ④

(1)、小明的计算步骤中，从哪一步开始出现错误？（填写序号）

(2)、小明从第①步的运算结果到第②步的运算是否正确？（填“是”或“否”）若不正确，错误的原因是．

(3)、请你帮小明写出此题完整正确的解答过程．

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20. 已知 $t = \frac{b x - 1}{x + a}$ $(a ， b$ 是常数， $x \neq - a) ①$ ．

(1)、若 $a = - 2$ ， $b = \frac{1}{2}$ ，求 $t$ ；

(2)、试将等式 $①$ 变形成“ $A x = B$ ”形式，其中 $A$ ， $B$ 表示关于 $a$ ， $b$ ， $t$ 的整式；

(3)、若 $t$ 的取值与 $x$ 无关，请说明 $a b = - 1$ ．

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21. 定义：若分式 $M$ 与分式 $N$ 的差等于它们的积，即 $M - N = M N$ ，则称分式N是分式 $M$ 的“互联分式”．如 $\frac{1}{x + 1}$ 与 $\frac{1}{x + 2}$ ，因为 $\frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x + 2} = \frac{1}{(x + 1) (x + 2)}$ ， $\frac{1}{x + 1} \times \frac{1}{x + 2} = \frac{1}{(x + 1) (x + 2)}$ ，所以 $\frac{1}{x + 2}$ 是 $\frac{1}{x + 1}$ 的“互联分式”．

(1)、判断分式 $\frac{3}{x + 2}$ 与分式 $\frac{3}{x + 5}$ 是否是“互联分式”，请说明理由；

(2)、小红在求分式 $\frac{1}{x^{2} + y^{2}}$ 的“互联分式”时，用了以下方法：
设 $\frac{1}{x^{2} + y^{2}}$ 的“互联分式”为 $N$ ，则 $\frac{1}{x^{2} + y^{2}} - N = \frac{1}{x^{2} + y^{2}} \times N$ ，
$∴ (\frac{1}{x^{2} + y^{2}} + 1) N = \frac{1}{x^{2} + y^{2}}$ ， $∴ N = \frac{1}{x^{2} + y^{2} + 1}$ ．
请你仿照小红的方法求分式 $\frac{x + 2}{x + 5}$ 的“互联分式”．

(3)、解决问题：
仔细观察第（1）（2）小题的规律，请直接写出实数 $a$ ， $b$ 的值，使 $\frac{4 a - 2}{b x + b}$ 是 $\frac{4 b + 2}{b x + a}$ 的“互联分式”．

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22. 阅读：在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如： $\frac{x - 1}{x + 1} ， \frac{x^{2}}{x + 2}$ 这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如： $\frac{1}{x + 1}$ ， $- \frac{2 x}{x^{2} - 1}$ 这样的分式就是真分式，我们知道，假分数可以化为带分数，例如： $\frac{8}{3} = \frac{3 \times 2 + 2}{3} = 3 \frac{2}{3}$ ，类似地，假分式也可以化为“带分式”，即整式与真分式的和的形式，
例如： $\frac{x^{2} + 2 x - 1}{x + 2} = \frac{x (x + 2) - 1}{x + 2} = x - \frac{1}{x + 2} ； \frac{x^{2}}{x + 2} = \frac{(x^{2} + 2 x) - 2 x}{x + 2} = \frac{x (x + 2) - 2 x - 4}{x + 2} = \frac{x (x + 2)}{x + 2} \frac{- 2 (x + 2) + 4}{x + 2} = x - 2 + \frac{4}{x + 2}$ ．

请根据上述材料，解答下列问题：

(1)、填空： $①$ 分式 $\frac{2}{x + 2}$ 是分式 $($ 填“真”或“假” $)$ ；
$②$ 把下列假分式化成一个整式与一个真分式的和 $($ 差 $)$ 的形式：
$\frac{x^{2} + 2 x - 13}{x - 3} =$ $+$ ．

(2)、把分式 $\frac{x^{2} + 2 x - 13}{x - 3}$ 化成一个整式与一个真分式的和 $($ 差 $)$ 的形式，并求 $x$ 取何整数时，这个分式的值为整数．

(3)、一个三位数 $m$ ，个位数字是百位数字的两倍，另一个两位数 $n$ ，十位数字与 $m$ 的百位数字相同，个位数字与 $m$ 的十位数字相同 $.$ 若这个三位数的平方能被这个两位数整除，求满足条件的两位数 $n$ ．

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23. 阅读材料：小明发现像 $m + n$ ， $\frac{1}{m} + \frac{1}{n}$ ， $m^{2} + n^{2}$ 等代数式，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变.太神奇了！于是他把这样的式子命名为神奇对称式，他还发现像 $m^{2} + n^{2}$ ， $\frac{1}{m} + \frac{1}{n}$ 等神奇对称式都可以用 $m + n$ ， $m n$ 表示.
例如： $m^{2} + n^{2} = {(m + n)}^{2} - 2 m n$ ， $\frac{1}{m} + \frac{1}{n} = \frac{m + n}{m n}$ .

请根据以上材料解决下列问题：

(1)、① $\frac{1}{m n}$ ， ② $m^{2} - n^{2}$ ， ③ $\frac{n}{m}$ ， ④ $x y + y z + x z$ 中，是神奇对称式的有（填序号）；

(2)、已知 $(x - m) (x - n) = x^{2} - p x + q$ .
①若 $p = 3$ ， $q = 2$ ，则神奇对称式 $\frac{1}{m} + \frac{1}{n} =$ ；

②若 $q = \frac{1}{4}$ ，且神奇对称式 $m^{2} + n^{2} + \frac{1}{m} + \frac{1}{n}$ 的值为 $- \frac{1}{2}$ ，求 $p$ 的值.

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24. 【阅读理解】
我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的策略一般都是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．作差法：就是通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小．即要比较代数式 $A 、 B$ 的大小，只要算 $A - B$ 的值，若 $A - B > 0$ ，则 $A > B$ ；若 $A - B = 0$ ，则 $A = B$ ；若 $A - B < 0$ ，则 $A < B$ ．

(1)、【知识运用】
请用上述方法比较下列代数式的大小（直接在空格中填写答案）：①当 $x > y$ 时， $3 x + 5 y$ $2 x + 6 y$ ；②若 $a < b < 0$ ，则 $a^{3}$ $a b^{2}$ ；

(2)、试比较 $5 x^{2} + 4 x - 3$ 与 $2 (3 x^{2} + x + 1)$ 的大小，并说明理由；

(3)、【拓展运用】
甲、乙两班同学同时从学校沿同一路线到离学校 $s (k m)$ 的研学基地参加研学．甲班有一半路程以 $v_{1} (k m / h)$ 的速度行进，另一半路程以 $v_{2} (k m / h)$ 的速度行进；乙班有一半时间以 $v_{1} (k m / h)$ 的速度行进，另一半时间以 $v_{2} (k m / h)$ 的速度行进．设甲、乙两班同学从学校到研学基地所用的时间分别为 $t_{1} (h)$ ， $t_{2} (h)$ ．
①试用含 $s$ ， $v_{1}$ ， $v_{2}$ 的代数式分别表示 $t_{1}$ 和 $t_{2}$ ，则 $t_{1} =$ ▲ ， $t_{2} =$ ▲ ．
②请你判断甲、乙两班中哪一个班的同学先到达研学基地，并说明理由．

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备考2024年浙江中考数学一轮复习专题6.1分式 基础夯实

一、选择题（每题3分，共30分）

二、填空题（每题4分， 共24分）

三、解答题（共8题，共66分）

备考2024年浙江中考数学一轮复习专题6.1分式基础夯实

二、填空题（每题4分，共24分）