备考2024年浙江中考数学一轮复习专题5.1因式分解基础夯实

试卷更新日期：2023-11-07 类型：一轮复习

进入出卷网下载

一、选择题（每题3分，共30分）

1. 下列等式中，从左到右的变形中是因式分解的是（）

A、 $x^{2} - x - 3 = x (x - 1) - 3$ B、 $(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$ C、 $x^{2} - 9 = (x + 3) (x - 3)$ D、 $x - 4 = x (1 - \frac{4}{x})$

查看试题解析
2. 分解因式ab²﹣a，下列结果正确的是（）

A、ab²﹣a＝a（b²﹣1） B、ab²﹣a＝a（b﹣1）² C、ab²﹣a＝a（b+1）（b﹣1） D、ab²﹣a＝a（b+1）²

查看试题解析
3. 下列各式中，没有公因式的是（）

A、 $3 x - 2$ 与 $6 x^{2} - 4 x$ B、 $a b - a c$ 与 $a b - b c$ C、 $2 {(a - b)}^{2}$ 与 $3 {(b - a)}^{3}$ D、 $m x - m y$ 与 $n y - n x$

查看试题解析
4. 多项式 $(2 a + 1) x^{2} + 3 x$ ，其中a为整数.下列说法正确的是（）

A、若公因式为3x，则 $a = 1$ B、若公因式为5x，则 $a = 2$ C、若公因式为3x，则 $a = 3 k + 1$ ( k为整数) D、若公因式为5x，则 $a = 5 k + 1$ ( k 为整数)

查看试题解析
5. 定义：两个自然数的平方和加上这两个自然数乘积的两倍即可得到一个新的自然数，我们把这个新的自然数称为“完全数”.例如：2²+3²+2×2×3＝25，其中“25”就是一个“完全数”.则任取两个自然数可得到小于200且不重复的“完全数”的个数有（）

A、14个 B、15个 C、26个 D、60个

查看试题解析
6. 多项式x²+ax+12分解因式为（x+m）（x+n），其中a，m，n为整数，则a的取值有（）

A、3个 B、4个 C、5个 D、6个

查看试题解析
7. 已知 $a - b = 3 ， b + c = - 5$ ，则代数式 $a c - b c + a^{2} -$ ab的值为（）

A、-15 B、-2 C、-6 D、6

查看试题解析
8. 一次课堂练习，王莉闰学做了如下4道分解因式题，你认为王莉做得不够完整的一题是（）

A、 $x^{2} y - x y^{2} = x y (x - y)$ B、 $x^{3} - x = x (x^{2} - 1)$ C、 $x^{2} - 2 x y + y^{2} = {(x - y)}^{2}$ D、 $x^{2} - y^{2} = (x - y) (x + y)$

查看试题解析
9. 生活中我们经常用到密码，如到银行取款．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式 $x^{4} - y^{4}$ 因式分解的结果是 $(x - y) (x + y) (x^{2} + y^{2})$ ，当取 $x = 9$ ， $y = 9$ 时，各个因式的值是： $(x - y) = 0$ ， $(x + y) = 18$ ， $(x^{2} + y^{2}) = 162$ ，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．类似地，对于多项式 $4 x^{3} - x y^{2}$ ，当取 $x = 10$ ， $y = 10$ 时，用上述方法可以产生一个六位数密码．则这个密码可以是（）

A、102030 B、103020 C、101030 D、102010

查看试题解析
10. 对任意一个两位数n，如果n满足个位与十位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”的十位上的数字与个位上的数字互换位置后，得到一个新两位数：把所得的新两位数与原两位数的和与11的商记为F（n）．例如n＝23．互换十位与个位上的数字得到32，所得的新两位数与原两位数的和为23+32＝55，55÷11＝5，所以F（23）＝5．若s，t都是“相异数”，其中s＝10x+3，t＝50+y（1≤x≤9，1≤y≤9．x，y都是正整数），当F（s）+F（t）＝15时，则 $\frac{F (s)}{F (t)}$ 的最大值为（）

A、2 B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{11}{4}$ D、4

查看试题解析

二、填空题（每题4分，共24分）

11. 多项式 $8 x^{2} y^{2} + 12 x y^{3} z$ 因式分解时，应提取的公因式为.

查看试题解析
12. 若两个多项式有公因式，则称这两个多项式为关联多项式，若 $x^{2} - 25$ 与 ${(x + b)}^{2}$ 为关联多项式，则b为.

查看试题解析
13. 现有下列多项式：① $1 - a^{2}$ ；② $a^{2} - 2 a b + b^{2}$ ；③ $4 a^{2} - 9 b^{2}$ ；④ $3 a^{3} - 12 a$ ．在因式分解的过程中用到“平方差公式”来分解的多项式有．（只需填上题序号即可）

查看试题解析
14. 已知多项式P ， Q的乘积为 $4 a^{2} - b^{2}$ ，若 $P = b - 2 a$ ，则 $Q =$ ．

查看试题解析
15. 已知二次三项式 $x^{2} + b x + c$ 可以因式分解为 $(x - 1) (x - 5)$ ，则 $b + c$ 的值为．

查看试题解析
16. 若 $m^{2} = n + 2023 ， n^{2} = m + 2023$ ，且 $m \neq n$ ，则代数式 $m^{3} - 2 m n + n^{3}$ 的值为．

查看试题解析

三、计算题

17. 分解因式：

(1)、 $3 x^{2} - 9 y$ ；

(2)、 $(a - b)^{2} + 2 b - 2 a$ ；

(3)、 $- a b + 2 a^{3} b - a^{5} b ．$

查看试题解析

四、解答题（共4题，共26分）

18. 甲、乙两个同学分解因式 $x^{2} + a x + b$ 时，甲看错了 $b$ ，分解结果为 $(x + 2) (x + 4)$ ；乙看错了 $a$ ，分解结果为 $(x + 1) (x + 9)$ ，求 $a + b$ 的值．

查看试题解析
19. 已知多项式① $x^{2} - 2 x y$ ， ② $x^{2} - 4 y^{2}$ ， ③ $x^{2} - 4 x y + 4 y^{2}$ ．

(1)、把这三个多项式因式分解；

(2)、老师问：“三个等式 $① + ② = ③$ ； $① + ③ = ②$ ； $② + ③ = ①$ 能否同时成立？”圆圆同学说：“只有当 $x = y = 0$ 时，三个等式能同时成立，其他x ， y的值都不能使之成立．”你认为圆圆同学的说法正确吗？为什么？

查看试题解析
20. 已知三个整式 $x^{2} + 4 x$ ， $4 x + 4$ ， $x^{2}$ ．

(1)、从中选出两个进行加法运算，使所得整式可以因式分解，并进行因式分解；

(2)、从中选出两个分别作为分式的分子与分母，要求这个分式不是最简分式，并对这个分式进行约分．

查看试题解析

21. 因式分解

{(3 x + y)}^{2} - {(x + 3 y)}^{2}

.小禾因式分解后，通过代入特殊值检验时，发现左右两边的值不相等.下面是他的解答和检验过程，请认真阅读并完成相应的任务.

小禾的解法： $(3 x + y)^{2} - (x + 3 y)^{2}$

$= (3 x + y + x + 3 y) (3 x + y - x + 3 y)$ ①

$= (4 x + 4 y) (2 x + 4 y)$ ②

$= 8 (x + y) (x + 2 y)$ ③

小禾的检验：当 $x = 0 ， y = 1$ 时，

$(3 x + y)^{2} - (x + 3 y)^{2}$

$= 1^{2} - 3^{2}$

$= - 1 - 9$

$= - 8$

∵ $- 8 \neq 16$

∴分解因式错误.

$8 (x + y) (x + 2 y)$

$= 8 \times 1 \times 2$

$= 16$

任务：

(1)、小禾的解答是从第几步开始出错的，并帮助他指出错误的原因.

(2)、请尝试写出正确的因式分解过程.

查看试题解析

五、实践探究题（共3题个，共34分）

22. 浙教版数学课本七下第四章《因式分解》4.3“用乘法公式分解因式”中这样写到，“我们把多项式a²+2ab+b²及a²-2ab+b²叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等．
例如：分解因式：x²+2x-3=（x²+2x+1）-4=（x+1）²-4=（x+1+2）（x+1-2）=（x+3）（x-1）；求代数式2x²+4x-6的最小值：2x²+4x-6=2（x²+2x-3）=2（x+1）²-8，可知当x=-1时，2x²+4x-6有最小值，最小值是-8．根据阅读材料，用配方法解决下列问题：

(1)、分解因式：m²-4m-5=；

(2)、求代数式-a²+8a+1的最大值；

(3)、当a，b为何值时，多项式a²-4ab+5b²+2a-2b+ $\frac{11}{4}$ 有最小值，并求出这个最小值；

(4)、设a为实数，b为正整数，当多项式a²-4ab+5b²+2a-2b+ $\frac{11}{4}$ 取得最小整数时，则a= ， b=

查看试题解析
23. 阅读材料：我们把多项式 $a^{2} + 2 a b + b^{2}$ 及 $a^{2} - 2 a b + b^{2}$ 叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值，最小值等．
例如：分解因式： $x^{2} + 2 x - 3 = (x^{2} + 2 x + 1) - 4 = {(x + 1)}^{2} - 4 = (x + 1 + 2) (x + 1 - 2) = (x + 3) (x - 1)$ ；

又例如：求代数式 $2 x^{2} + 4 x - 6$ 的最小值：∵ $2 x^{2} + 4 x - 6 = 2 (x^{2} + 2 x - 3) = 2 {(x + 1)}^{2} - 8$ ，

又∵ ${(x + 1)}^{2} \geq 0$ ；

∴当 $x = - 1$ 时， $2 x^{2} + 4 x - 6$ 有最小值，最小值是 $- 8$ ．

根据阅读材料，利用“配方法”，解决下列问题：

(1)、分解因式： $a^{2} + 6 a + 8 =$ ．

(2)、已知实数 $a$ ， $b$ 满足 $a^{2} - 8 b = 12 a - b^{2} - 52$ ，求 $2 a + b$ 的值；

(3)、当 $x =$ 、 $y =$ 时，多项式 $- 2 x^{2} - 2 x y - y^{2} + 8 x - 7$ 的最大值．

查看试题解析
24. 【发现问题】数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助我们更容易理解数学问题．现有图1中的A，B，C三种卡片若干，用这些卡片可以拼成各式各样的图形，根据这些图形的面积的不同表示可以将一些多项式因式分解．

例：用1张A卡片，2张B卡片，1张C卡片拼成如图2的图形，用两种方法表示该图形的面积，可以得到等式 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ ，这种把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解．

(1)、【小试牛刀】
请把表示图3面积的多项式因式分解（直接写出等式即可）．

(2)、【自主探索】
请利用图1的卡片，将多项式 $2 a^{2} + 5 a b + 3 b^{2}$ 因式分解，并画出图形．

(3)、【拓展迁移】
事实上，拼图不仅限于平面图形，利用立体图形的体积也可以将一些多项式因式分解．请你用此方法从体积角度简要说明如何把 $a^{3} + 4 a^{2} b + 3 a b^{2}$ 进行因式分解并写出因式分解结果．

查看试题解析